dérivation et tourner sur le cercle
I Premier constat
Nous allons ici relier la dérivation et le fait de tourner autour d’un cercle.
On rappelle les dérivées de $\sin $ et $\cos$ :
$$\sin’ = \cos$$ $$\cos’ = -\sin$$
(schéma avec $4$ états et flèches montrant l’évolution)
Comme on le voit dans le schéma précédent, on se rend compte que toutes les $4$ dérivées on revient à la fonction de départ. Il y a une périodicité des dérivées.
Ainsi, on peut écrire :
$$\sin^{(4n)} = \sin$$
$$\sin^{(4n+1)} = \sin’ = \cos$$
$$\sin^{(4n+2)} = \sin” = \cos’=-\sin$$
$$\sin^{(4n+3)} = \sin”’ = \cos”=-\sin’=-\cos$$
Question flash ⚡️
Donner la fonction : $\sin^{(13)}$
comme $13 = 4 \times 3 +1$, on peut juste lire la formule suivant dans le cas $4n+1$. La réponse est donc $\sin^{(13)} = \cos$
Dérivées du $\cos$🟠🟠⚪
- En vous servant du résultat pour $\sin$ donner les dérivées $4n$, $4n+1$, $4n+2$, et $4n+3$-ième de $\cos$.
- On sait que $\sin’ = \cos$, ainsi, $\cos^{(n)} = {\sin’} ^{(n)} = \sin^{(n+1)}$ Ainsi, $$\cos^{(4n)} = \sin^{(4n+1)} = \cos$$ $$\cos^{(4n+1)} = \sin^{(4n+2)} = -\sin$$ $$\cos^{(4n+2)} = \sin^{(4n+3)} = -\cos$$ $$\cos^{(4n+3)} = \sin^{(4n+4)} = \sin^{(4(n+1))}=\sin$$
II reformulation graphique
On va trouver une interprétation géométrique de ces changements. Tout se base sur les relations de symétries qui relient $\sin$ et $\cos$.
On sait que pour $\theta \in \mathbb{R}$, on a :
$$\cos(\theta -\frac{\pi}{2}) = -\sin(\theta)$$
$$\sin(\theta -\frac{\pi}{2}) = \cos(\theta)$$
On peut donc relier la dérivation au fait de modifier l’angle.
On a :
$$\sin'(\theta) = \cos(\theta) = \sin(\theta-\frac{\pi}{2})$$
$$\cos'(\theta) = -\sin(\theta) = \cos(\theta-\frac{\pi}{2})$$
On peut donc montrer par récurrence que :
$$\sin^{(n)}(\theta) = \sin(\theta-n\frac{\pi}{2})$$
$$\cos^{(n)}(\theta) = \cos(\theta-n\frac{\pi}{2})$$
comme $13 = 4 \times 3 +1$, on peut juste lire la formule suivant dans le cas $4n+1$. La réponse est donc $\sin^{(13)} = \cos$