Quiz et exercices

Exercice 1 :

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = x^3$ Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\mathbb R$, $f'(x) = 3x^2$

Pour tout $x$ et pour $h \ne 0$ : $f(h)=\dfrac{f(x+4)-f(x)}{h}$
Donc ici $t(h)=\dfrac{(x+h)^3-x^3}{h}$ \begin{align} \text{on developpe } (x+h)^3 \text{ : } (x+h)^3 =(x+h)^2(x+h) \\ & =(x^2+2xh+h^2)(x+h)\\ & = x^3+x^2h+2x^2h+2xh^2+h^2x+h^3\\ &=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 \end{align} Donc $t(h)=\dfrac{\cancel{x^3}+3x^2h+3xh^2+h^3-\cancel{x^3}}{\cancel{h}}$ $t(h)=\dfrac{\cancel{h}(3x^2+3xh+h^2}{\cancel{h}}$ Finalement $t(h)=3x^2+3xh+h^2$ On sait que $f'(x)=\lim \limits_{h \to 0 }t(h)$
D’ou $f'(x)=\lim \limits_{h \to 0 }3x^2+3xh+h^2$

Finalement $f'(x)=3x^2$

Exercice 2 :

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable en précisant l’ensemble de dérivabilité puis calculer $f'(x)$.

1. $f(x) =2x^2 + 3x$
2. $f(x)= 2x +1$
3. $f(x)=-4x + 6$
4. $f(x) = 3x^5 – 2x^2$
5. $f(x) = 2 \sqrt x + 4x$
6. $f(x) -x^3+x^2 \sqrt 2 + 4x$

1. $f(x) = 2x^2 + 3x$ $f$ est une somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb R$ donc est dérivable sur $\mathbb R$ et $f'(x) = 4x +3$
   
2. $f(x) = 2x +1$ $f$ est une fonction affine dérivable sur $\mathbb R$ et $f'(x) = 2$
   
3. $f(x) =-4x + 6$ $f$ est une fonction affine dérivable sur $\mathbb R$ et $f'(x) = -4$
   
4. $f(x) = 3x^5 – 2x^2$ $f$ est une somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb R$ donc est dérivable sur $\mathbb R$ et $f'(x) = 15x^4 – 4x$
   
5. $f(x)= 2 \sqrt x + 4x$ $f$ est la somme d’une fonction dérivable sur $R^*_+$ et d’une fonction dérivable sur $\mathbb R$ donc elle est dérivable sur $R^*_+$ et $f'(x) =\dfrac{1}{\sqrt x} + 4$
   
6. $f(x) = -x^3+x^2 \sqrt 2 + 4x$ $f$ est la somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$ donc est dérivable sur $\mathbb R$ et $f'(x) = -3x^2 + 2x \sqrt 2 +4$
   

Exercice 3 :

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable en justifiant son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée :

1. $f(x) = 2x\sqrt x $
2. $f(x) = (x^2+1)(x+1)$
3. $f(x) = 1/(x+2) $
4. $f(x) = 2/(x-3) $
5. $f(x) = (2x+1)/(x-2) $
6. $f(x) = 3x^2 / (2x+3)$

1. $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=2x$ dérivable sur $\mathbb R$ et $v(x)=\sqrt x$ dérivable sur $]0;+ \infty[$
   Donc $f$ est dérivable sur $]0;+ \infty[$
   On a $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $ v(x)=\sqrt x$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt x}$
   On sait que $(uv)’=u’v+uv’$
   Donc ici $f'(x)=2× \sqrt x +2x ×\dfrac{1}{2 \sqrt x}$
   D’où $f'(x)=2 × \sqrt x +\dfrac{x}{\sqrt x}$ $f'(x)=2×\sqrt x + \dfrac{\sqrt x × \cancel{\sqrt x}}{\cancel{\sqrt x}}$
   
   Finalement $f'(x)=3\sqrt x$
   
2. $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x^2+1$ dérivable sur $\mathbb R$ et $v(x)=x+1$ dérivable sur $\mathbb R$
   Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb R$
   On a $u(x)=x^2+1$ donc $u'(x)=2x+1$ $v(x)=x+1$ donc $v'(x)=1$
   On sait que $(uv)’=u’v+uv’$
   Donc $f'(x)=(2x+1)(x+1)+(x^2+1)×1$
   $f'(x)=2x^2+2x+x+1+x^2+1$
   
   Finalement $f'(x)=3x^2+3x+2$
   
3. $f$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$ avec $v(x)=x+2$ dérivable sur $\mathbb R$ mais s’annulant en $x=-2$
   Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb R-\{-2\}$
   On a $v(x)=x+2$ donc $v'(x)=1$
   On sait que $(\dfrac{1}{v})’=-\dfrac{v’}{v}$
   
   Donc $f'(x)=-\dfrac{1}{(x+2)^2}$
   
4. $f$ est de la forme $\dfrac{k}{v}$ avec $v(x)=x-3$ dérivable sur $\mathbb R$ et s’annulant en $x=3$
   Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb R -\{3-\}$
   On a $v(x)=x-3$ donc $v'(x)=1$ Et $k=2$
   On sait que $\Bigl(\frac{k}{v}\Bigr)’=-\dfrac{kv’}{v^2}$
   Donc $f'(x)=-\dfrac{2×1}{(x-3)^2}$
   
   Finalement $f'(x)=\dfrac{-2}{(x-3)^2}$
   
5. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x+1$ dérivable sur $\mathbb R$ et $v(x)=x-2$ dérivable sur $\mathbb R$ et s’annulant en $x=2$
   Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb R-\{2\}$
   On a $u(x)=2x+1$ donc $u'(x)=2$
   $v(x)=x-2$ donc $v'(x)=1$
   
   On sait que $\Bigl(\dfrac{u}{v}\Bigr)’=u’v-uv’$
   
   Donc $f'(x)=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)×1}{(x-2)^2}$
   D’ou $f'(x)=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2}$
   
   Finalement $f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}$
   
   
   
6. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x^2$ dérivable sur $\mathbb R$ et $v(x)=2x+3$ dérivable sur $\mathbb R$ et s’annulant en $x=\{-\dfrac{3}{2}\}$
   Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb R-\{-\dfrac{3}{2}\}$
   On a $u(x)=3x^2$ donc $u'(x)=6x$
   $v(x)=2x+3$ donc $v'(x)=2$
   
   On sait que $\Bigl(\dfrac{u}{v}\Bigr)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$
   
   Donc $f'(x)=\dfrac{6x(2x+3)-3x^2×2}{(2x+3)^2}$
   D’ou $f'(x)=\dfrac{12x^2+18x-6x^2}{(2x+3)^2}$
   
   Finalement $f'(x)=\dfrac{6x^2+18x}{(2x+3)^2}$

Exercice 4 :

Dans chaque cas, justifie que f est dérivable en justifiant son ensemble de dérivabilité puis calcule sa dérivée :

1. $f(x)=(3x-1)^6$
2. $f(x)=\sqrt{(8x+1)}$
3. $f(x)=(7-6x)^3$
4. $f(x)=1/(4x-1)^3$

1. $f$ et une fonction polynome donc dérivable sur $\mathbb R$
   On sait que $(f(ax+b))’=a f(ax+b)$
   Donc ici $(f(3x-1))’=3 f(3x-1)$ et $(x^6)=6x^5$
   Donc, par composition $f'(x)=3×6×(3x-1)^5$
   
   Finalement $f'(x)=18(3x-1)^5$
   
2. $f$ est une fonction racine donc $f$ est dérivable si $8x+1>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{8}$ \
   Donc $f$ est dérivable sur$]-\dfrac{1}{8},+\infty[$
   On sait que $(f(ax+b))’=af'(ax+b)$
   Donc $(f(8x+1))’=8f'(8x+1)$ et $(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
   Donc, par composition: $f'(x)=8×\dfrac{1}{2\sqrt{8x+1}}$
   
   Finalement: $f'(x)=\dfrac{4}{\sqrt{8x+1}}$
   
3. $f$ est une fonction polynome donc dérivable sur $\mathbb R$
   On sait que $(f(ax+b))’=a f'(ax+b)$
   Donc ici $(f(7-6x))’=-6f'(7-6x)$ et $(x^3)’=3x^2$
   Donc, par composition: $f'(x)=-6×3(7-6x)^2$
   
   Finalement $f'(x)=-18(7-6x)^2$
   
4. $f$ est une fonction inverse et $4x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$
   Donc $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb R -\{\dfrac{1}{4}\}$
   On remarque que $\dfrac{1}{(4x-3)^3}=(4x-1)^{-3}$ on peut ainsi exprimer $f$ comme une fonction puissance.
   On sait que $(f(ax+b))’=af'(ax+b)$
   Soit ici $(f(4x-1))’=4f'(4x-1)$ et $(x^{-3})’=-3x^{-4}$
   Donc, par composition $f'(x)=4×(-3)(4x-1)^{-4}$
   
   Finalement $f'(x)=\dfrac{-12}{(4x-1)^4}$