Sujet Zéro 2021

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que, pour tout entier naturel $n,$ \begin{align} u_n=1-(\dfrac{1}{4}^n \text{ et } v_n=1+(\dfrac{1}{4}^n \end{align} On considère de plus une suite $(w_n)$ qui, pour tout entier naturel $n,$ vérifie $u_n \leqslant w_n \leqslant v_n.$
   On peut affirmer que :

   a. Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont géométriques.	b. La suite $(u_n)$ est minorée par 1.
   c. La suite $(w_n)$ converge vers $1.$	d. La suite $(w_n)$ est croissante.

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f (x) = xe^{x2}. La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f’$ définie sur $\mathbb R$ par:

   a. $f'(x) = 2xe^{x2}.$	b. $f'(x) = (1+2x)e^{x2}.$
   c. $f'(x) = (1+2x^2)e^{x2}.$	d. $f'(x) = (2+ x^2)e^{x2}.$

3. Que vaut $\lim \limits_{ n \to + \infty }\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}
4. On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[−1 ; 1]$ telle que
   \begin{align} h(-1)=0 \mspace{20mu} h(0)=0 \mspace{20mu} h(1)=0. \end{align} On peut affirmer que :
   
   1. La fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[−1 ; 0].$
   2. La fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[−1 ; 1].$
   3. Il existe au moins un nombre réel a dans l’intervalle $[0; 1]$ tel que $h(a) = 1.$
   4. L’équation $h(x) = 1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[−1 ; 1].$
5. 1. $g$ admet un maximum en $−2.$
   2. $g$ est croissante sur l’intervalle $[1; 2].$
   3. $g$ est convexe sur l’intervalle $[1; 2].$
   4. $g$ admet un minimum en $0.$

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $1,$ le milieu $I$ de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F.$ Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$

1. 1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $I$ et $J.$
   2. En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}$, $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$
   3. Montrer que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI).$
   4. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BGI$) est $2x − y + z −2 = 0.$
2. On note d la droite passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI).$
   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d.$
   2. On considère le point $L$ de coordonnées $(\frac{2}{3};\frac{1}{6};\frac{5}{6})$
      Montrer que $L$ est le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI).$
3. On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule \begin{align}V=\dfrac{1}{3} \times B \times h \end{align} où $B$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
   1. Calculer le volume de la pyramide $FBGI.$
   2. En déduire l’aire du triangle $BGI$

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation:
    — la formation avec conduite accompagnée;
    — la formation traditionnelle.
On considère un groupe de $300$ personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire.
Dans ce groupe :
    — $75$ personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée; parmi elles, $50$ ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
    — $225$ personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle; parmi elles, $100$ ont réussi l’examen à la première présentation, $75$ à la deuxième et $50$ à la troisième présentation.
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les évènements suivants :
    $A$ : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée »;
    $R1$ : « la personne a réussi l’examen à la première présentation »;
    $R2$ : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation »;
    $R3$ : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».

1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
   Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.
2. 1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
   2. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{3}.$
   3. La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée?
3. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, $X = 1$ correspond à l’évènement $R1.$
   1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X .$
   2. Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
4. On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les $300$ du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les $300$ personnes du groupe.
   On admet que la probabilité de l’évènement $R3$ est égale à $\dfrac{1}{6}.$
   1. Dans le contexte de cette question, préciser un évènement dont la probabilité est égale à $1−(\dfrac{5}{6})^n$
      On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où p est un nombre réel appartenant à l’intervalle $]0;1[.$
      def seuil(p)
      $\qquad n = 1$
      $\qquad$ while 1-(5/6)**n<=p:
      $\qquad \qquad r=(2+r)/(1+r)$
      $\qquad \qquad n = n+1$ $\qquad$ return $n$
   2. Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil$(0,9)$? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

EXERCICE A

exercice au choix
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
    — la courbe représentative $C_f$ d’une fonction f définie et dérivable sur $]0 ; +∞[;$
    — la tangente $T_A$ à la courbe $C_f$ au point A de coordonnées $(\dfrac{1}{e} ; e);$
    — la tangente $T_B$ à la courbe $C_f$au point B de coordonnées $(1; 2).$
La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(3; 0)$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 3).$
On note $f$ la fonction dérivée de $f$

PARTIE I

1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f'(\dfrac{1}{e})$ et de $f'(1).$
2. En déduire une équation de la droite $T_B$.

PARTIE II

On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0 ; +∞[$ par:
\begin{align} f(x)= \dfrac{2+\ln (x)}{x}. \end{align}

1. Par le calcul, montrer que la courbe $C_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
2. Déterminer la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, et la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $+∞.$
3. Montrer que, pour tout $x ∈]0 ; ∞[,$ \begin{align} f'(x)=\dfrac{-1-\ln (x)}{x^2}. \end{align}
4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +∞[.$
5. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de $f$ On admet que, pour tout $x ∈]0 ; +∞[$ \begin{align} f”(x)=\dfrac{1+2\ln (x)}{x^3}. \end{align} Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.

EXERCICE B

exercice au choix
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de $225 °C.$
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ; +∞[.$
Dans cette modélisation, $f (t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi,$f (0,5)$ représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à $25 °C.$
On admet alors que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $ y’ +6y = 150.$

1. 1. Préciser la valeur de $f (0)$.
   2. Résoudre l’équation différentielle $y’ +6y = 150.$
   3. En déduire que pour tout réel $t \geqslant 0$, on a $f (t) = 200e^{−6t} +25$.
2. Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four:
       — décroît;     — tend à se stabiliser à la température ambiante. La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations?
3. Montrer que l’équation $f (t) = 40$ admet une unique solution dans $[0 ; +∞[$.
   Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à $40 °C$. On note $T_0$ le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
   On donne en page suivante la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
   
4. Avec la précision permise par le graphique, lire $T_0$. On donnera une valeur approchée de $T_0$ sous forme d’un nombre entier de minutes.
5. On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four. Ainsi, pour un entier naturel $n$, Dn désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la n-ième et la (n +1)-ième minute après sa sortie du four. On admet que, pour tout entier naturel $n$: \begin{align} D_n=f(\dfrac{n}{60})-f(\dfrac{n+1}{60}). \end{align}
   1. Vérifier que $19$ est une valeur approchée de $D_0$ à $0,1$ près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
      
   2. Vérifier que l’on a, pour tout entier naturel $n$: \begin{align} D_n=200e^{-0,1n}(1-e^{-0,1}) \end{align} En déduire le sens de variation de la suite $(D_n)$, puis la limite de la suite $(D_n)$.
      Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice?

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats

1. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que, pour tout entier naturel $n,$ \begin{align} u_n = 1−(\dfrac{1}{4})^n \text{ et } v_n = 1+(\dfrac{1}{4})^n. \end{align} On considère de plus une suite $(w_n)$ qui, pour tout entier naturel _n, vérifie $u_n \leqslant w_n \leqslant v_n.$ On peut affirmer que:      b. La suite $(w_n)$ converge vers $1.$
        ||   Application directe du théorème dit « des gendarmes »
2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par: $f (x) = x e^{x^2}. La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f’$ définie sur $\mathbb R$ par:      c. $f'(x) = (1+2x^2)e^{x^2}.$      ||$f'(x) = 1× e^{x^2} + x ×2x e^{x^2} = (1+2x^2) e^{x^2}$
3. Que vaut $\lim \limits_{ n \to + \infty } \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}$      c. $\dfrac{1}{2}.$ $\bigg\rVert\lim \limits_{ n \to + \infty } \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}= \lim \limits_{ n \to + \infty } \dfrac {x^2(1-\frac{1}{x^2})} {x^2(2-\frac {2}{x}+\frac{1}{x^2})}=\lim \limits_{ n \to + \infty } \dfrac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{2}$
4. On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[−1 ; 1]$ telle que
   $h(−1) = 0 \mspace{40mu} h(0) = 2 \mspace{40mu} h(1) = 0.$ On peut affirmer que : c. Il existe au moins un nombre réel a dans l’intervalle $[0; 1]$ tel que $h(a) = 1.$      ||   Application du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle $[0 ; 1].$
5. On suppose que g est une fonction dérivable sur l’intervalle $[−4 ; 4].$ On donne ci-contre la représentation graphique de sa fonction dérivée $g’.$ On peut affirmer que: c.$g$ est convexe sur l’intervalle $[1; 2].$       $\bigg\rVert \text{ La fonction } g’ \text{ est croissante sur l’intervalle } [1 ; 2], \text{ donc la fonction } g \text{ est convexe sur cet intervalle.}$

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $1$, le milieu $I$ de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F.$ Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$ Les sommets du cube ont pour coordonnées : $A\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},B\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},C\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},E\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},C\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},F\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 1\end{pmatrix},H\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\text{ et }G\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.$

1. 1. • Le point $I$ est le milieu de $[EF]$ donc $I$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\0 \\ 1\end{pmatrix}$
      Le point $J$ est le symétrique de $E$ par rapport à $F,$ donc $J$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\0 \\ 1\end{pmatrix}$
   2. On en déduit les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}\begin{pmatrix} 2 \\-1 \\ 1\end{pmatrix},\overrightarrow{BI}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\0 \\ 1\end{pmatrix} \text { et } \overrightarrow{BJ}\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 1\end{pmatrix}$
   3. • Les vecteurs $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$ ne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan $(BGI).$ • $\overrightarrow{DJ} . \overrightarrow{BI}=-1+0+1=0$ donc $\overrightarrow{DJ} \bot \overrightarrow{BI}$
      • $\overrightarrow{DJ} . \overrightarrow{BG}=0-1+1=0$ donc $\overrightarrow{DJ} \bot \overrightarrow{BG}$
      Donc le vecteur $\overrightarrow{DJ}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGI),$ donc il est normal au plan $(BGI).$
   4. • Le vecteur $\overrightarrow{DJ}\begin{pmatrix} 2 \\-1 \\ 1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(BGI)$ donc le plan $(BGI)$ a une équation de la forme $2x − y + z + d = 0.$
      • Le point $B$ appartient au plan $(BGI)$ donc les coordonnées de $B$ vérifient l’équation du plan donc: $ 2x_B − y_B + z_B + d = 0$, ce qui équivaut à $2−0+0+ d = 0$, ce qui veut dire que $d = −2.$ Donc une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est $2x − y + z −2 = 0.$
2. On note $d$ la droite passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI).$
   1. La droite $d$ est orthogonale au plan $(BGI),$ et $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI),$ donc $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur directeur de la droite $d.$
      Le point $F$ appartient à la droite $d$ donc la droite $d$ est l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x ; y ; z)$ tels que $\overrightarrow{FM}$ et $\overrightarrow{DJ}$ soient colinéaires.
      $\overrightarrow{FM}$ et $\overrightarrow{DJ}$ colinéaire $ \iff \overrightarrow{FM} =t. \overrightarrow{DJ} \iff \begin{cases} x −1 = t ×2 \\ y −0 = t ×(−1) \\ z −1 = t ×1 \end{cases}$
      Donc la droite $d$ a pour équation $\begin{align} \begin{cases} x = 1 +2t \\ y =- t \\ z= t +1 \end{cases} ,t \in \mathbb R \end{align}$
      
   2. On considère le point $L$ de coordonnées $(\frac{2}{3};\frac{1}{6};\frac{5}{6})$ • Pour prouver que $L ∈ d$, on cherche $t$ pour que $\begin{cases} \frac{2}{3}=1+2t \\ \frac{1}{6}=-t \\ \frac{5}{6}=1+t \end{cases}$
      On trouve $t = −\dfrac{1}{6}$ donc $L ∈ d.$
      • Le plan $(BGI)$ a pour équation $2x − y +z −2 = 0$; or $2x_L − y_L +z_L −2 =\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6} = 0$, donc $L ∈ (BGI).$
      Le point $L$ est donc le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI).$
3. 1. La pyramide $FBGI$ a pour base le triangle rectangle $FBG,$ et pour hauteur $IF.$ • $IF =\dfrac{1}{2}$
      • Le triangle rectangle $FBG$ a pour aire $\dfrac{FG \times FB}{2}=\dfrac{1}{2}.$
      Le volume de la pyramide $FBGI$ est donc $V=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$
   2. La droite $d$ est orthogonale au plan $(BGI)$ et coupe ce plan en $L.$ Le point $F$ appartient à la droite $d,$ donc on peut dire que la distance $FL$ est la distance du point $F$ au plan $(BGI),$ autrement dit c’est la hauteur de la pyramide $FBGI$ dont le triangle $BGI$ est la base.
      $FL^2=(\frac{2}{3}-1)^2+(\frac{1}{6}-0)^2+(\frac{5}{6}-1)^2=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ donc $FL=\dfrac{1}{\sqrt 6}$
      On appelle $A$ l’aire du triangle $BGI.$ On exprime le volume de la pyramide $FBGI :$
      $V=\frac{1}{3} \times FL \times A \iff \frac{1}{12}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{\sqrt 6} \times A \iff \frac{3 \times \sqrt 6}{12}=A \iff A=\frac{\sqrt 6}{4}$
      L’aire du triangle BGI est égale à $\dfrac{\sqrt 6}{4}$

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :      — la formation avec conduite accompagnée;      — la formation traditionnelle. On considère un groupe de $300$ personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe:      — $75$ personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée; parmi elles, $50$ ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.      — $225$ personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle; parmi elles, $100$ ont réussi l’examen à la première présentation, $75$ à la deuxième et $50$ à la troisième présentation. On interroge au hasard une personne du groupe considéré. On considère les évènements suivants :      A : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée »;      R1 : « la personne a réussi l’examen à la première présentation »;      R2 : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation »;      R3 : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».

1. On modélise la situation par un arbre pondéré.
2. 1. La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation est:
      $P (A ∩ R_2) = P(A)× P_A (R_2) =\dfrac{75}{300} \times \dfrac{25}{75}=\dfrac{25}{300}=\dfrac{1}{12}.$
   2. La probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $P (R_2)..$
      D’après la formule des probabilités totales:
      $P (R_2) = P (A ∩ R_2)+ P (\overline{A} ∩ R_2)=\dfrac{25}{300} + \dfrac{125}{300}\times \dfrac{75}{125} =\dfrac{25}{300} + \dfrac{75}{300}=\dfrac{1}{3}.$
   3. La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. La probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée est:
      $P_{R_2}(A) = \dfrac{P (A ∩ R_2)}{P (R_2)}=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.$
3. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite.
   Ainsi, $X = 1$ correspond à l’évènement $R1.$
   1. La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est:

   $x_i$	$1$	$2$	$3$
   $p_i = P(X = x_i )$	$P(R_1)$	$P(R_2)$	$P(R_3)$

   • $P (R_1) = P (A ∩ R_1)+ P (\overline{A} ∩ R_1) =\dfrac{75}{300} \times \dfrac{50}{75} + \dfrac{255}{300}\times \dfrac{100}{255} =\dfrac{50}{300} + \dfrac{100}{300}=\dfrac{150}{300}=\dfrac{1}{2}.$
   • $P (R_2)=\dfrac{1}{3}$
   • $P (R_3) = P (A ∩ R_3)+ P (\overline{A} ∩ R_3) =0+\dfrac{255}{300} \times \dfrac{50}{255} =\dfrac{50}{300}=\dfrac{1}{6}.$
   Donc la loi de $p$
   

   $x_i$	$1$	$2$	$3$
   $p_i = P(X = x_i )$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$

   2. L’espérance de cette variable aléatoire est: $E(X ) = \sum{(x_i × p_i)} = 1×\dfrac{1}{2}+2×\dfrac{1}{3}+3×\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{3} \approx 1,67.$
      Cela veut dire que le nombre de passages pour réussir l’examen est en moyenne de $1,67.$
   3. On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les $300$ du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les $300$ personnes du groupe.
      On admet que la probabilité de l’évènement $R_3$ est égale à $\dfrac{1}{6}.$
      1. On cherche un évènement dont la probabilité est égale à $1−(\frac{5}{6})^n.$
         $P(R_3) = \dfrac{1}{6}$ donc $P(\overline{R_3}) = 1 − \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}.$ Le nombre 56 est donc la probabilité de l’événement « $R1$ ou $R2$ », c’est-à-dire la probabilité qu’une personne prise au hasard réussisse l’examen à la première tentative ou à la deuxième.
         La probabilité que $n$ personnes réussissent l’examen à la première ou à la deuxième tentative est de $(\dfrac{5}{6})^n.$
         L’événement de probabilité $1-(\dfrac{5}{6})^n.$ est l’événement contraire du précédent, donc correspond à l’événement « au moins une personne n’a pas réussi l’examen à la première ou à la deuxième tentative », c’est-à-dire « au moins une personne a réussi l’examen à la troisième tentative ».
         On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où $p$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $]0;1[.$
         def seuil()
         $\qquad n = 1$
         $\qquad$ while 1-(5/6)**n:
         $\qquad \qquad r=(2+r)/(1+r)$
         $\qquad \qquad n = n+1$ $\qquad$ return $n$
      2. La valeur renvoyée par seuil$(0.9)$ est la première valeur de n pour laquelle $1-(\dfrac{5}{6})^n > 0,9.$
         On résout cette inéquation:
         $1-(\frac{5}{6})^n > 0,9$
         $\iff 0,1>(\frac{5}{6})^n $
         $\iff \ln (0,1)> \ln((\frac{5}{6})^n) $
         $\iff \ln (0,1)> n\ln(\frac{5}{6}) $
         $\iff \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(\frac{5}{6})} < n\dfrac{\ln (0,1)}{(\frac{5}{6})} \approx 12,6$ donc la commande seuil$(0.9)$ renvoie la valeur $13.$
         Il faut donc prendre $n = 13$ personnes sur les $300$ pour que la probabilité d’en avoir une qui a réussi l’examen à sa troisième tentative soit supérieure à $0,9.$

   EXERCICE A

   exercice au choix
   Principaux domaines abordés
   Logarithme
   Dérivation, convexité, limites
   Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :      • la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +∞[;$      • la tangente TA à la courbe $C_f$ au point A de coordonnées $(\dfrac{1}{r} ; e);$      • la tangente $T_B$ à la courbe $C_f$ au point $B$ de coordonnées $(1; 2).$ La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(3; 0)$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 3).$ On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ PARTIE I
   1. • La droite $T_A$ est tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ de coordonnées $(\dfrac{1}{e} ; e)$; elle a donc comme coefficient directeur $f'(\dfrac{1}{e})$. La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses donc son coefficient directeur est nul. On peut donc déduire que $f'(\dfrac{1}{e})=0.$ • La droite $T_B$ est tangente à la courbe $C_f$ au point $B$ de coordonnées $(1; 2),$ donc elle a pour coefficient directeur $f'(1).$ La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(3; 0)$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 3),$ donc on peut en déduire que son coefficient directeur est $\dfrac{3-0}{0-3}=1$ On a donc $f'(1) = −1.$
   2. La droite $T_B$ a pour coefficient directeur $−1$ et $3$ pour ordonnée à l’origine, donc elle a pour équation: $y = −x +3.$
   PARTIE II On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0 ; +∞[$ par : $f (x) = \dfrac{2+\ln(x)}{x}.$
   1. •     $f(\frac{1}{e})= \dfrac{2+\ln(\frac{1}{e})}{\frac{1}{e}}= e (2−\ln(e)) == e (2−1) = e$ donc $A ∈ C_f$
      •     $f (1) = \dfrac{2+\ln(1)}{1}=2$ donc $B ∈ C_f.$
      •     La courbe $C_f$ coupe l’axe des abscisses en un point dont l’abscisse est solution de l’équation $f (x) = 0.$ On résout dans $]0 ; +∞[$ cette équation.
          $f(x)=0 \iff \dfrac{2+\ln(1)}{1}=0 \iff 2+\ln(x)=0 \iff \ln(x)=-2 \iff x=e{-2}$ •    Donc la courbe $C_f$ coupe l’axe des abscisses en un point unique de coordonnées $(e^{−2} ; 0).$
   2. Calculs des limites. \begin{align} \left. \begin{array}{ll} \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}(2+ln(x)) = −∞ \\ \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}= +∞ \end{array} \right \}\iff = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}(2+ln(x))\times \dfrac{1}{x}=−∞ \text{ donc } \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}}f(x)=0 \end{align} \begin{align} \left. \begin{array}{ll} \lim \limits_{ n \to + \infty }\dfrac{2}{x} = 0 \\ \lim \limits_{ n \to + \infty }\dfrac{\ln(x)}{x}= 0 \end{array} \right \}\iff = \lim \limits_{ n \to + \infty } \dfrac{2}{x} +\dfrac{\ln(x)}{x}=0 \text{ donc } \lim \limits_{ n \to + \infty }f(x)=0 \end{align}
   3. Pour $x ∈]0 ; ∞[$
      $ f'(x) =\dfrac{\frac{1}{x}\times x–(2+ \ln (x))\times 1}{x^2}=\dfrac{1-2-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}.$
   4. $f'(x)$ est du signe de $−1−\ln(x)$; $−1−\ln(x) > 0 \iff −1 > \ln(x) \iff x < e^{−1}$
      On dresse le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +∞[ :$
   5. On admet que, pour tout $x ∈]0 ; +∞[, f”(x) =\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}$
      La fonction $f$ est convexe sur les intervalles sur lesquels $f”$ est positive.
      Sur $]0 ; +∞, x3 > 0$ donc $f”(x) \geqslant 0 \iff \dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} \geqslant 0 \iff 1+2\ln(x) \geqslant 0 \iff \ln(x) \geqslant −\dfrac{1}{2} \iff \geqslant e^{-\frac{1}{2}}$
      Donc le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est $[e^{-\frac{1}{2}} ; +∞[$.

   EXERCICE B

   exercice au choix
   Principaux domaines abordés
   Équations différentielles
   Fonction exponentielle; suites
   Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de $225 °C.$ On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four. On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ; +∞[.$ Dans cette modélisation, $f (t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four. Ainsi, $f (0,5)$ représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four. Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à $25 °C.$ On admet alors que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $y’ +6y = 150.$
   1. 1. $f (0)$ représente la température d’une baguette lors de sa sortie du four, c’est-à-dire $225 ◦C$
      2. Pour résoudre l’équation, on la met sous la forme $y’ = ay +b$ avec $a$ et $b$ des réels. On obtient:
         $y’= −6y +150 \iff y’= ay + b$ avec $ \left \{ \begin{align} a =-6 \\b=150\end{align}\right.$
         On sait alors que les solutions de cette équation sont toutes les fonctions de la forme:
         \begin{align} f (t) = − \dfrac{b}{a}+C e^{at}, C ∈ \mathbb R \end{align} Les solutions de l’équation différentielle sont donc toutes les fonctions de la forme: \begin{align} f (t) = − \dfrac{150}{-6}+C e^{-6t} \\ f (t) = − 25+C e^{-6t} \end{align}
      3. La solution de l’équation différentielle a été obtenue en question $b$. Il reste à exploiter la condition initiale $f (t = 0) = f (0) = 225$ d’après la valeur trouvée à la question a. La fonction qui satisfait donc le modèle de l’exercice est la solution de l’équation: \begin{align}f (0) = 225 \iff C e^0 +25 = 225 \iff C +25 = 22 \iff C = 200\end{align} Donc on a bien, pour tout réel $t \geqslant 0 :$ \begin{align} f (t) = 200e^{-6t} +25 \end{align}
   2. Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four décroît et tend à se stabiliser à la température ambiante.    — Vérifions d’abord que la fonction $f$ décroît. $f$ est d’abord bien dérivable pour tout réel $t \geqslant 0$ comme composée de fonctions dérivables et: pour tout réel $t \geqslant 0, f'(t) = −1200e^{−6t}$ Or, pour tout réel $t \geqslant 0 :$ $\left \{ \begin{align} e^{−6t} >0\\ -1200<0 \end{align} \Rightarrow f'(t) < 0 \Rightarrow \text{ est bien décroissante (strictement)} \right.$
         — Pour vérifier que la température tend à se stabiliser à la température ambiante $(25 ◦C),$ nous allons calculer la limite de la fonction $f$ en $+∞ :$
      $\lim \limits_{ t \to + \infty }e^{−6t}=0 \underset{\text{par produit}} \iff \lim \limits_{ t \to + \infty }200e^{−6t}=0 \underset{\text{par somme}} \iff \lim \limits_{ t \to + \infty }200e^{−6t}+25=25=\lim \limits_{ t \to + \infty }f(t) $
      La fonction $f ,$ qui représente la température de la baguette (en $◦C$) au bout du temps, a pour limite $25$ en $+∞.$ Cela signifie donc bien que la température tend à se stabiliser à la température ambiante de $25 ◦C.$
      Donc la fonction $f$ fournit un modèle en accord avec ces observations
   3. La fonction $f$ est continue et décroissante strictement donc monotone sur $[0 : +∞[.$ Par ailleurs, $f (0) = 225$ et $\lim \limits_{ n \to + \infty }f (t) = 25$ donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique élément $c ∈ [0;+∞[ tel que f (c) = 40.$
      Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à $40 °C.$ On note $T_0$ le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
      On donne la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
   4. La courbe $C_f$ semble atteindre $40$ vers $0,43$ heure soit $0,43×60 = 25,8$ minutes. On trouve donc une valeur approchée de $26$ minutes.
   5. On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four. Ainsi, pour un entier naturel $n,$ Dn désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la n-ième et la (n +1)-ième minute après sa sortie du four.
      On admet que, pour tout entier naturel $n : D_n = f(\dfrac{n}{60})=f(\dfrac{n+1}{60}).$
      1. On cherche une valeur approchée de $D_0.$
         $\begin{align} D_0 = f(\dfrac{0}{60})-f(\dfrac{1}{60}). \\ =f(0)-f(\dfrac{1}{60}) \\ 200e^0+\cancel{25}-(200e^{-\frac{6}{60}}+\cancel{25})\\ =200-200e{-\frac{6}{60}}\\ \approx 19,03 \end{align}$
         Donc $19$ est bien une valeur approchée de $D_0$ à $0,1$ près. Cela signifie que la diminution de température qui se fait lors de la première minute après la sortie du four est d’environ $19 ◦C.$
         Au bout d’une minute, la baguette est donc à $225−19 = 206 ◦C.$
         
      2. . $D_n = f(\dfrac{n}{60})-f(\dfrac{n+1}{60}). $
         $=200e^{-6\times \frac{n}{60}}+cancel{25}-(200e^{-6\times \frac{n+1}{60}}+25) $
         $=200e^{-0,1n}-200e^{\frac{-6n}{60}+(\frac{-6}{60})}$
         $=200e^{-0,1n}-200e^{-0,1n}-e^{-0,1}$
         $D_n=200e^{-0,1n}(1-200e^{-0,1}-)$
         Pour étudier le sens de variation de la suite $(D_n)$, on étudie le signe de $D_{n+1} − D_n.$ Pour tout entier naturel $n :$
         $D_{n+1} − D_n = 200e^{-0,1(n+1)}(1− e^{-0,1})−200e^{-0,1n} (1− e^{-0,1}) $
         $= 200^{-0,1n} × e^{-0,1}(1− e^{-0,1})−200e^{-0,1n} (1− e^{-0,1}) $
         $D_{n+1} − D_n = 200e^{-0,1n} (1− e^{-0,1})[e^{-0,1} −1]$
         Étudions le signe de cette expression pour tout entier naturel $n :$ $\left \{ \begin{align} 200e^{−0,1n} \geqslant 0 \\ 1-e^{−0,1} \geqslant 0 \\ e^{−0,1}-1 \leqslant 0 \end{align} \underset{\text{par produit}}\iff D_{n+1} −D_n \leqslant 0 \Rightarrow\text{ la suite }(D_n) \text{ est décroissante.} \right.$
         Calculons alors la limite de cette suite :
         $\left \{ \begin{align} \lim \limits_{ n \to + \infty } 200e^{−0,1n} = 0 \\ \lim \limits_{ n \to + \infty } 1-e^{−0,1} =1-e^{−0,1} \\ \lim \limits_{ n \to + \infty } e^{−0,1}-1 =e^{−0,1}-1 \end{align} \underset{\text{par produit}}\iff \lim \limits_{ n \to + \infty D_n =0} \right.$
         Nous trouvons une limite de $0$ pour $D_n.$ Puisque la baguette tend à se stabiliser à la température ambiante, la diminution de température entre la n-ième et la $(n + 1)$-ième minute va tendre vers $0.$ Le résultat était bien prévisible dans le contexte de l’exercice.

   Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$

   Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.

   
   

   Partie A

   Voir la correction
   

   Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :

   • si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test);
   • si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).

   On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme.
   On note D l’évènement « l’athlète est dopé » et $T$ l’évènement « le test est positif». On admet que la probabilité de l’évènement $D$ est égale à $0,08$.
   
   

   1. Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré.
   2. Démontrer que $P(T ) = 0,083$.
   3. 1. Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé?
      2. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$. Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justifier.



Partie B

Voir la correction



Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

1. Dans cette question $1$. on suppose que les organisateurs décident de contrôler $5$ athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
   On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.
   1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$ . Préciser ses paramètres.
   2. Calculer l’espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   3. Quelle est la probabilité qu’au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif?
   
   
2. Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$? Justifier.