Exercices : loi d’une variable aléatoire

Exercice 1 ⚪⚪🟢

Dans un restaurant d’entreprise, le consommateur a le choix entre : trois entrées à $2, 3$ et $4$ €, trois plats principaux à $5, 6$ et $7 $€, et deux desserts à $3$ € chacun.
Un consommateur choisit au hasard une entrée, un plat et un dessert.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le prix de son repas.
1) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
2) Quelles sont les issues correspondant à $X = 12$ ?

1) $X$ peut prendre les valeurs $10, 11, 12, 13, 14$.
2) Si on note (e, p, d) la triplette entrée-plat-dessert où e est le prix de l’entrée choisie, p le prix du plat choisi et d le prix du dessert, les issues correspondant à $X = 12$ sont $(2, 7, 3), (3, 6, 3), (4, 5, 3)$.

Exercice 2 ⚪⚪🟢

On lance un dé tétraédrique (4 faces) équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lancer le double du nombre obtenu.
1. Déterminer les valeurs prises par $X$.
2. Déterminer la loi de probabilité en $X$.

1. $X$ peut prendre les valeurs $2, 4, 6, 8$.
2. Le dé étant équilibré, toutes les issues sont équiprobables, donc $P(X = 2) = P(X = 4) = P(X = 6) = P(X = 8) = \dfrac{1}{4}$.

Exercice 3⚪🟠🟠

Un joueur lance un dé parfait. Si le numéro sorti est 2 ou 4, il gagne 1,5 €, si le numéro sorti est impair il gagne 0,5 € et, si le 6 sort, il perd 5 €.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

$X$ peut prendre les valeurs $5, 0.5$ et $1.5$.
On a :
Si le 6 sort, le joueur perd 5 €donc $P(X = -5) = \dfrac{1}{6}$.
Si le numéro sorti est impair il gagne 0,5 € donc $P(X = 0.5) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Si le numéro sorti est 2 ou 4, il gagne 1,5 €, donc $P(X = 1.5) = \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

Exercice 4 🔴🔴🔴

On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus.
Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$.

On note le résultat des deux dés sous cette forme : (d1, d2) où d1 est la valeur du premier dé et d2 la valeur du deuxième dé.
$X$ peut valoir $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
Si $X = 1$, cela veut dire que les deux dés valent $1$ donc qu’on a $(1, 1)$.
Si $X = 2$, cela veut dire qu’un des dés vaut $2$ et l’autre vaut $1$ ou $2$, donc les situations possibles sont : $(1, 2), (2, 1), (2, 2)$.
Si $X = 3$, les situations possibles sont : $(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, 1)$.
Si $X = 4$, les situations possibles sont : $(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 3), (4, 3), (4, 2), (4, 1)$.
Si $X = 5$, les situations possibles sont : $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1)$.
Si $X = 6$, les situations possibles sont : $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), (6, 1)$.
On a $36$ possibilités, donc en comptant le nombre de situations dans chaque cas, on a :
$P(X = 1) = \dfrac{1}{36}$
$P(X = 2) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$
$P(X = 3) = \dfrac{5}{36}$
$P(X = 4) = \dfrac{7}{36}$
$P(X = 5) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}$
$P(X = 6) = \dfrac{11}{36}$