Quiz et exercices

Exercice 1 🟢​⚪​⚪

On a représenté ci dessous la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ ainsi que trois de ses tangentes $g$, $h$ et $i$ respectivement aux points d’abscisses $x_1 = -1,8$ et $x_2= -1$ et $x_3 = 0$.
Déterminer graphiquement $f'(x_1), f'(x_2)$ et $f'(x_3)$.

On sait que le nombre dérivée de $f$ en $x = a$ est égal au coefficient directeur de la tangente à $C_f$.

En $A$, la tangente à la courbe est horizontale donc son coefficient directeur est nul.
D’où $f'(x_1) = 0$.

De même, en $C$ le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ a pour coefficient directeur $-2$.
Donc $f'(x_2) = -2$

En $D$, le coefficient de la tangente à $C_f$ a pour coefficient directeur $1$.
D’où $f'(x_3) = 1$.

Exercice 2 🟢​⚪​⚪

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $x=a$.

1. $f(x)= 3x+1$; $a=2$.

2. $f(x)= x^2+4x-1$; $a=1$

1. Pour $h\ne 0, t_a(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
   Ici $a=2$ donc $t_2(h)=\dfrac{f(2+h)+f(2)}{h}$
   Par conséquent $t_2(h)=\dfrac{3(2+h)+1-(3×2+1)}{h}$
   D’où $t_2(h)=\dfrac{6+3h+1-7}{h}$
   Et $t_2(h)=\dfrac{3h}{h}$
   Donc $t_2(h)=3$
   Or $f'(2)=\lim \limits_{ h \to 0 }t_2(h)$
   
   Finalement $f'(2)=3$
   
2. Pour $h\ne 0, t_a(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
   Ici $a=1$ donc $t_1(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
   D’où $t_1(h)=\dfrac{(1+h)^2+4(1+h)-1-(1^2+4×2-1)}{h}$
   Par conséquent $t_1(h)=\dfrac{1+2h+h^2+4+4h-1-4}{h}$
   Donc $t_1(h)=\dfrac{h^2+6h}{h}$
   On en déduit que $t_1(h)=h+6$
   Or $f'(1)=\lim \limits_{ h \to 0 }t_1(h)$
   D’ou $f'(1)=\lim \limits_{ h \to 0 }(h+6)$
   
   Finalement $f'(1)=6$

Exercice 3 🟠🟠​⚪

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $x = a$.

1. $f(x)=2x-3; a=0$
2. $f(x) = 3x^2+2x-1; a=2$

1. Pour $h \ne 0, t(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ici, $a=0$
   Donc $t_0(h)=\dfrac{2(0+h)-3-(2×0+3)}{h}$
   Par conséquent $t_0(h)=\dfrac{2h-3+3}{h}$
   Donc $t_0(h)=\dfrac{2h}{h}$
   Finalement $t_0(h)=2$
   Or $f'(0)=\lim \limits_{ h \to 0 }t_0(h)$
   
   Finalement $f'(0)=2$
   
2. Pour $h \ne 0, t_a(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ici, $a=3$
   Donc $t_3(h)=\dfrac{3(3+h^2)+2(3+h)-1-(3×3^3+2×3-1)}{h}$
   D´où $t_3(h)=\dfrac{3(9+6h+h^2)+6+2h-1-(27+6-1)}{h}$
   Donc $t_3(h)=\dfrac{32+18h+3h^2+2h-32}{h}$
   On en déduit que $t_3(h)=\dfrac{3h^2+20h}{h}$
   D’où $t_3(h)=3h+20$
   Or $f'(3)=\lim \limits_{ h \to 0 }t_3(h)$
   D’où $f'(3)=\lim \limits_{ h \to 0 } 3h+20$
   
   Finalement $f'(3)=20$</li> </ol>

Exercice 4 🟠🟠​⚪

On a représenté ci dessous la fonction inverse définie sur $R^*$. À l’aide de cette représentation graphique, détermine $f'(-1), f'(1/2)$ et $f'(2)$

On sait que le nombre dérivée de $f$ en $x = a$ est égal au coefficient directeur de la tangente à $C_f$.

Pour $x = -1$, le coefficient directeur de la tangente vaut $-1$, donc $f'(-1) = -1$.

Pour $x = 1/2$, le coefficient directeur de la tangente vaut $-4$, donc $f'(1/2)=-4$.

Enfin, pour $x = 2$, le coefficient directeur de la tangente vaut $-1/4$, donc $f'(2) = -1/4$.