réception abdou 15 mai 2022

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats

En $2020,$ une influenceuse sur les réseaux sociaux compte $1 000$ abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi: chaque année, elle perd $10 \%$ de ses abonnés auxquels s’ajoutent $250$ nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel $n$, on note un le nombre d’abonnés à son profil en l’année $(2020+n),$ suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = 1000.$

1. Calculer $u_1.$
2. Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,9u_n +250.$
3. La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l’exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite $(10).$
   def suite()
   $\qquad n = 1000$
   $\qquad u=1000$
   $\qquad$ for $i$ in range(n) :
   $\qquad \qquad u = 0,9*u + 250$
   $\qquad \text{return } u$
4. 1. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n, u_n \leqslant 2500.$
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   3. Déduire des questions précédentes que la suite $(u_n)$ est convergente.
5. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n −2500$ pour tout entier naturel $n.$
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = −1500.$
   2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que: \begin{align} u_n = −1500×0,9n +2500. \end{align}
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
6. Ecrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d’abonnés dépassera $2 200.$
   Déterminer cette année.

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête $8 cm$ et de centre $Ω.$
Les points $P, Q$ et $R$ sont définis par $\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AQ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{FR}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{FG}.$
On se place dans le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ avec: $\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{8}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{j}=\dfrac{1}{8}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{k}=\dfrac{1}{8}\overrightarrow{AE}.$

Partie I

1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point $R$ sont $(8; 2; 8).$
   Donner les coordonnées des points $P$ et $Q.$
2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n} (1 ; −5 ; 1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR).$
3. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x −5y + z −6 = 0.$

Partie II

On note $L$ le projeté orthogonal du point $Ω$ sur le plan $(PQR).$

1. Justifier que les coordonnées du point $Ω$ sont $(4; 4; 4).$
2. Donner une représentation paramétrique de la droite d perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $Ω.$
3. Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $\Bigl(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\Bigr)$
4. Calculer la distance du point $Ω$ au plan $(PQR)$

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats

Un sac contient les huit lettres suivantes : A B C D E F G H ($2$ voyelles et $6$ consonnes).
Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.
On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.

1. Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.
   1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
   2. Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.
Les questions 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes. Pour la suite de l’exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$
2. Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul.
   Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien.
   On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
   
   1. Déterminer la loi de probabilité de $G.$
   2. Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur?
3. Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.
   On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
   2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{−3}$, qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants.
   3. Calculer $P(X \geqslant 5)$ en arrondissant à $10^{−3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu.
   4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant) > 0,9.$

EXERCICE au choix du candidat

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

EXERCICE A

Partie I : lectures graphiques $f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R.$
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’.$
Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0.$
2. 1. Donner les variations de la fonction dérivée $f’.$
   2. En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.

Partie II : étude de fonction La fonction $f$ est définie sur $\mathbb R.0 par \begin{align} f(x)=\ln \Bigr(x^2+x+\dfrac{5}{2}\Bigl) \end{align}

1. Calculer les limites de la fonction $f$ en $+∞$ et en $−∞.$
2. Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x ∈ \mathbb R.$
3. En déduire le tableau des variations de $f .$ On veillera à placer les limites dans ce tableau.
4. 1. Justifier que l’équation $f (x) = 2$ a une unique solution $α$ dans l’intervalle $[−12 ; +∞[$
   2. Donner une valeur approchée de $α$ à $10^{−1}$ près.
5. La fonction $f’$ est dérivable sur $\mathbb R$. On admet que, pour tout $x ∈ \mathbb R, f”(x) =\dfrac{-2x^2-2x+4}{\Bigr(x^2+x+\frac{5}{2}\Bigr)^2}$
   Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe représentative de $f .$

EXERCICE B

Partie I Considérons l’équation différentielle \begin{align} y’ = −0,4y +0,4 \end{align} où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0 ; +∞[.$

1. 1. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
   2. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
   3. Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10.$

Partie II Soit p la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ; +∞[$ par \begin{align} p(t)=\dfrac{1}{g(t)}=\dfrac{1}{1+9e^{-0,4t}} \end{align}

1. Déterminer la limite de $p$ en $+∞.$
2. Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6e^{-0,4t}}{(1+9e^{-0,4t})^2}$ pour tout $t ∈ [0 ; +∞[.$
3. 1. Montrer que l’équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $α$ sur $[0 ; +∞[.$
   2. Déterminer une valeur approchée de $α$ à $10^{−1}$ près à l’aide d’une calculatrice.

Partie III

1. $p$ désigne la fonction de la partie II.
   Vérifier que $p$ est solution de l’équation différentielle $y’ = 0,4y(1− y)$ avec la condition initiale $y(0) = \dfrac{1}{10}$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0 ; +∞[.$
   
2. Dans un pays en voie de développement, en l’année $2020, 10 \%$ des écoles ont accès à internet.
   Une politique volontariste d’équipement est mise en œuvre et on s’intéresse à l’évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.
   On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l’année $2020.$
   La proportion des écoles ayant accès à internet à l’instant t est modélisée par $p(t).$
   Interpréter dans ce contexte la limite de la question II 1 puis la valeur approchée de $α$ de la question II 3. b. ainsi que la valeur $p(0).$

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats

En $2020$, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte $1 000$ abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi: chaque année, elle perd $10 \%$ de ses abonnés auxquels s’ajoutent $250$ nouveaux abonnés. Pour tout entier naturel $n$, on note un le nombre d’abonnés à son profil en l’année $(2020+n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = 1 000.$

1. On a donc $u_1 = 1 000 ×(1− \dfrac{10}{100})+250 = 1 000 ×0,9+250 = 900+250 = 1 150.$
2. Enlever $10 \%$ c’est multiplier par $1− \dfrac{10}{100}= 1−0,10 = 0,90.$
   Le nombre d’abonnés de l’année précédente est donc multiplié par $0,9$; on ajoute ensuite chaque année $250$ nouveaux abonnés, donc pour tout naturel $n:$ \begin{align} u_{n+1} = 0,9u_n +250. \end{align}
3. $u(10)$ donne le nombre d’abonnés au bout de $10$ ans; une calculatrice donne $≈ 1 977.$
4. 1. Initialisation: on a $u_0 = 1 000 \leqslant 2 500$: la relation est vraie au rang $0;$
      Hérédité: on suppose que pour $n ∈ \mathbb N$, on ait $u_n \leqslant 2 500.$
      La multiplication par $0,9 > 0$ respectant l’ordre, on a donc $0,9u_n \leqslant 0,9 ×2 500$ ou $0,9u_n \leqslant 2 250,$ puis en ajoutant $250$ à chaque membre:
      $0,9u_n + 250 \leqslant 2 250 + 250,$ soit $u_{n+1} \leqslant 2 500$: la relation est encore vraie au rang $n +1.$
      La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n ∈ \mathbb N,$ elle est vraie au rang $n +1$: d’après le principe de récurrence, quel que soit $n ∈ \mathbb N, u_n \leqslant 2 500.$
   2. Soit $n ∈ N,$ on a $u{n+1} −un = 0,9u_n +250−u_n = −0,1u_n +250.$
      Or d’après la question précédente: $u_n \leqslant 2 500,$ puis $0,1u_n \leqslant 0,1×2 500$ ou encore $0,1u_n \leqslant 250,$ soit en prenant les opposés : $−250 \leqslant −0,1u_n$ et en ajoutant à chaque membre $250 : 0 \leqslant −0,1u_n +250.$
      On a donc pour $n ∈ \mathbb N, u_{n+1} −u_n \geqslant 0$ ou $u_{n+1} \geqslant u_n$: la suite $(u_n)$ est croissante.
   3. La suite $(u_n)$ est croissante (d’après 4. b.) et majorée par $2 500$ (d’après 4. a.) : elle converge donc vers une limite inférieure ou égale à $2 500.$
5. 1. Pour $n ∈ \mathbb N, v_{n+1} = u_{n+1} −2 500 = 0,9u_n +250−2 500$, soit $v_{n+1} = 0,9u_n −2 250 = 0,9(u_n −2 500) = 0,9v_n.$
      L’égalité vraie quel que soit $n ∈ \mathbb N, v_{n+1} = 0,9v_n$ montre que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = u_0−2 500 = 1 000−2 500 = −1 500.$
   2. On sait que, quel que soit $n ∈ \mathbb N, v_n = v_0 ×0,9n = −1 500 ×0,9n.$
      Or $v_n = u_n −2 500 \iff u_n = v_n +2 500 = 2 500 −1 500 ×0,9n.$
   3. Comme $0 < 0,9 < 1,$ on sait que $\lim \limits_{ n \to + \infty }0,9^n = 0$ et, par suite, par produit de limites, $\lim \limits_{ n \to + \infty }−1 500 ×0,9^n = 0$ et finalement $\lim \limits_{ n \to + \infty }u_n = 2 500.$
6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d’abonnés dépassera $2 200.$
   Déterminer cette année.
   def menace()
   $\qquad n = 0$
   $\qquad u=1000$
   $\qquad \qquad \text{while } u<2200$:
   $\qquad \qquad \qquad u=0,9*u+250$
   $\qquad \qquad \qquad n = n+1$ $\qquad \text{return } n$
   Le programme s’arrêtera la 16e année.

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats

Partie I

1. On a $P(6; 0; 0)$ et $Q(0; 0; 6).$
2. On a $\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix} -6 \\ 0\\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PR}\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 8\end{pmatrix}$
   
   • $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}= −6+0+6 = 0$: les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont orthogonaux.
   • $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR} = 2−10+8 = 0$ : les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{PR}$ sont orthogonaux.
   Conclusion : le vecteur $\overrightarrow{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $PQR$ est normal à ce plan.
3. D’après le résultat précédent:
   $M(x ; y ; z) ∈ (PQR) \iff 1x −5y +1z +d = 0,$ avec $d ∈ \mathbb R.$
   Or $P(6; 0; 0) ∈ (PQR) \iff 1×6−5×0+1×0+d = 0 \iff d = −6.$ Donc $M(x ; y ; z) ∈ (PQR) \iff x −5y + z −6 = 0.$

Partie I

1. • Les plans $(ABCD)$ et $(EFGH)$ sont parallèles, donc les droites $(AC)$ et $(EG)$ sont parallèles;
   • Les droites $(AE)$ et $(CG)$ sont perpendiculaires au plan $(ABCD),$ elles sont donc parallèles.
   Le quadrilatère $(AEGC)$ a ses côtés opposés parallèles; c’est donc un parallélogramme; ses diagonales $[AG]$ et $[CE]$ ont donc le même milieu $Ω.$
   Comme $G(8; 8; 8)$, les coordonnées de $Ω$ sont donc $(\dfrac{0+8}{2}; \dfrac{0+8}{2};\dfrac{0+8}{2}) = (4 ; 4 ; 4).$
2. La droite $(d)$ a donc pour vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ et contient $Ω$, donc:
   $M(x ; y ; z) ∈ (d) \iff \overrightarrow{ΩM} = t\overrightarrow{n}$ , avec $t ∈ \mathbb R$, soit:$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x −4 &= t ×1 \\ y −4 &= t ×(−5) \\ z −4 &= t ×1 \end{aligned} \right. ,t ∈ \mathbb R \iff \left\{ \begin{aligned} x &= 4+ t \\ y &= 4−5t\\ z &= 4+ t \\ \end{aligned} \right. ,t ∈ \mathbb R \end{equation}
3. L est le projeté orthogonal du point $Ω$ sur le plan $(PQR)$ donc la droite $(ΩL)$ est perpendiculaire au plan $(PQR)$, c’est donc la droite $(d).$ $L$ est donc le point commun au plan $(PQR)$ et à la droite $(d),$ ses coordonnées vérifient donc le système:
   \begin{align} \left\{ \begin{aligned} x &= 4+ t \\ y &= 4−5t \\ z &= 4+ t\\ x −5y + z −6 &= 0\\ \end{aligned} ,t \in R \right. \end{align} On a donc :
   \begin{align} x −5y + z −6 = 0 & \iff 4+ t −5(4−5t)+4+ t −6 = 0 \\ & \iff 2+2t −20+25t = 0\\ & \iff 27t = 18\\ & \iff 9×3t = 9×2\\ & \iff 3t = 2\\ & \iff t = \dfrac{2}{3}· \end{align} En reportant cette valeur de t dans les trois premières équations du système, on trouve que $L(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3})$
4. Puisque $L$ est le projeté orthogonal de $Ω$ sur le plan $(PQR)$, la distance de $Ω$ à ce plan est la distance $ΩL;$ or: \begin{align} ΩL^2&=\Bigl(\frac{14}{3}-4\Bigr)^2+\Bigl(\frac{2}{3}-4\Bigr)^2+\Bigl(\frac{14}{3}-4\Bigr)^2 \\ &=\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^2+\Bigl(-\frac{10}{3}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^2\\ &=\dfrac{4+100+4}{9} \\ &=\dfrac{108}{9} =12. \end{align} On a donc $ΩL = \sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt 3.$

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats

1. 1. Il y a $7$ tirages contenant la lettre $A,$ puis
      $6$ tirages contenant la lettre $B$ (le tirage $AB$ étant le même que le tirage $BA$).
      $5$ tirages contenant la lettre $C,$ etc.
      Il y a donc : $7+6+5+4+3+2+1 = \dfrac{7×8}{2}= 7×4 = 28$ tirages différents.
   2. Les tirages gagnant sont les $6$ tirages contenant la lettre $A$ et une consonne et les $6$ contenanr la lettre $E$ et une consonne : il y a donc $6+6 = 12$ tirages gagants.
      La probabilité que le joueur gagne à ce jeu est donc égale à $ \dfrac{12}{28}=\dfrac{4×3}{4×7}=\dfrac{3}{7}.$
2. 1. On a $P(G = 10−k) = \dfrac{3}{7}$ et $P(G = −k) = \dfrac{4}{7}.$ D’où le tableau:
      

      $G$	$-K$	$10-K$
      $p(G=…)$	$\dfrac{4}{7}$	$\dfrac{3}{7}$

   2. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $G$ est égale à $E(G) = −k × \dfrac{4}{7}+(10−k)× \dfrac{3}{7}=\dfrac{−4k +30−3k}{7}=\dfrac{30−7k}{7}.$
      Le jeu est favorable au joueur si:
      $E(G) > 0 \iff \dfrac{30−7k}{7} \iff 30−7k > 0 \iff 7k < 30 \iff k < \dfrac{30}{7}.$
      $\dfrac{30}{7} \approx 4,3.$
      La somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ne doit pas dépasser $4 €$.
3. 1. Le tirage par un joueur est indépendant de celui des autres et chacun a une probabilité de gagner de $\dfrac{3}{7}; X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p =\dfrac{3}{7}.$
   2. On a $p(X = 4) = \bigl(\begin{smallmatrix} 4 \\ 10 \end{smallmatrix}\bigr) \Bigl(\dfrac{3}{7}\Bigr)^4\Bigr(1− \dfrac{3}{7}\Bigl)^{10−4} = 210 ×\Bigl(\dfrac{3}{7}\Bigr)^4 ×\Bigl(\dfrac{4}{7}\Bigr)^6 \approx 0,2466$, soit $0,247$ au millième près.
   3. La calculatrice donne $p(X \leqslant 4) ≈ 0,560$ donc
      $p(X \geqslant 5) = 1− p(X \leqslant 4) ≈ (1−0,560).$
      Finalement: $p(X \geqslant 5) ≈ 0,440.$
      La probabilité qu’il y ait au moins $5$ gagnants sur $10$ joueurs est d’environ $0,440.$
   4. La calculatrice donne:
      $p(X \leqslant 5) ≈ 0,782$ et $p(X \leqslant 6) ≈ 0,921,$ donc le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$ est donc $n = 6.$

EXERCICE au choix du candidat

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Partie I : lectures graphiques $f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R.$
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f.$

1. On lit $f'(0) = 0,4 = \dfrac{2}{5}$
2. 1. D’après la figure :
      
      • $f(x)$ est croissante si $x ∈ [−2 ; 1]$
      • $f'(x)$ est décroissante si $x < −2$ et si $x > 1.$
   2. $f’\bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr)$
      Donc $f'(x) > 0$ sur l’intervalle $[−2 ; 1];$ la fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[−2 ; 1].$
      

Partie II : étude de fonction La fonction $f$ est définie sur $\mathbb R$ par \begin{align} f (x) = \ln \Bigl(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\Bigr). \end{align}

1. • On a $\lim \limits_{ x \to + \infty } x^2 + x + \dfrac{5}{2}= +∞$, d’où par composition de limites $\lim \limits_{ x \to + \infty }f (x) = +∞.$
   • D On a $x^2 + x + \dfrac{5}{2}= x^2\Bigl(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\Bigr).$
   Donc $f (x) = \ln x^2 \Bigl(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\Bigr) = \ln x^2 + \ln \Bigl(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\Bigr).$ Or $\lim \limits_{ x \to – \infty }\dfrac{1}{x}= \lim \limits_{ x \to – \infty } \dfrac{5}{2x^2x}=0,$ donc $\lim \limits_{ x \to – \infty }1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{5}{2x^2}=1$ et $\lim \limits_{ x \to – \infty }\ln \Bigl(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{2x^2}\Bigr)=\ln 1=0$
   Finalement :
   $\lim \limits_{ x \to – \infty }f(x)=\lim \limits_{ x \to – \infty }\ln x^2=+\infty $
2. On a $f (x) = \ln u(x),$ avec $u(x) = x^2 + x + \dfrac{5}{2}.$
   $u$ étant dérivable sur $\mathbb R$ et pour le trinôme $x^2 + x + \dfrac{5}{2}, ∆ = 1−10 = −9 < 0,$ donc $x^2 + x + \dfrac{5}{2}> 0$ quel que soit le réel $x.$
   La fonction $\ln u$ est donc dérivable sur $\mathbb R$ et sur cet intervalle:
   $(\ln u)’ = u'(x) \dfrac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{2}}$
   Conclusion : quel que soit $x ∈ \mathbb R, f'(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{2}}$
3. On a vu que $x^2 + x + \dfrac{5}{2}> 0$ sur $\mathbb R$; le signe de $f'(x)$ est donc celui de $2x +1:$
   • $f'(x) > 0 \iff 2x +1 > 0 \iff x > -\dfrac{1}{2}$: la fonction $f$ est croissante sur ¸$]−\dfrac{1}{2} ; +∞[·$
   • $f'(x) < 0 \iff 2x +1 < 0 \iff x < -\dfrac{1}{2}$: la fonction $f$ est décroissante sur $]¸−∞ ; −12[.$
   On a $f \Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)=\ln \Bigl( \Bigl(-\dfrac{1}{2} \Bigr)^2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\Bigr)=\ln \Bigl(\dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{2} +\dfrac{5}{2} \Bigr)=\ln \dfrac{9}{4} .$
   D’où le tableau de variations de $f$:
4. 1. Dans la tableau précédent $f \Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr) = ln 94 ≈ 0,81.$
      Sur l’intervalle $[−12 ; +∞[$ la fonction $f$ est continue car dérivable et comme $2 ∈ [\ln \frac{9}{4} ; +∞[$, il existe d’après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $α ∈ [−\dfrac{1}{2} ; +∞[$ tel que $f (α) = 2.$
   2. La calculatrice donne : $f (1) ≈ 1,5$ et $f (2) ≈ 2,14,$ donc $α ∈]1 ; 2[;$ $f (1,7) ≈ 1,96$ et $f (1,8) ≈ 2,02,$ donc $α ∈]1,7 ; 1,8[;$ $f (1,76) ≈ 1,995$ et $f (1,77) ≈ 2,002,$ donc $α ∈]1,76 ; 1,77[.$ Conclusion $α ≈ 1,8$ à $10^{−1}$ près.
5. La fonction a un point d’inflexion si en ce point sa dérivée seconde s’annule en changeant de signe.
   On a $f'(x) = \dfrac{2x +1}{x^2 + x + \frac{5}{2}}$: cette fonction est dérivable car le dénominateur ne s’annule pas, donc sur $\mathbb R:$
   \begin{align} f”(x)&=\dfrac{2(x^2 + x + \frac{5}{2})−(2x +1)(2x +1)}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2} \\ &=\dfrac{2x^2 +2x +5−4x^2 −4x −1}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2} \\ &=\dfrac{−2x^2 −2x +4}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2}\\ &=\dfrac{−2(x^2 −x +2)}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2}; \\ f”(x)&= \dfrac{−2[(x+\frac{1}{2})-\frac{1}{4} −2]}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2}\\ &= \dfrac{−2[(x+\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}]}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2}\\ &= \dfrac{−2(x+\frac{1}{2}+\frac{3}{2})(x+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}]}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2}\\ &= \dfrac{−2(x+2)(x+1)}{(x^2 + x + \frac{5}{2})^2}\\ \end{align} Comme $(x^2 + x + \frac{5}{2})^2> 0$, quel que soit le réel $x,$ le signe de $f”(x)$ est celui du numérateur $−2(x +2)(x −1) = 2(x +2)(1− x),$ soit celui du trinôme $(x +2)(1− x).$ On en déduit leTableau de signes :

On constate que la dérivée seconde s’annule en changeant de signe en $−2$ et en $1.$ La courbe a donc deux points d’inflexion.

Exercice B

Partie I \begin{align} y’ = −0,4y +0,4 \end{align}

1. 1. $y = K $, avec $K ∈ \mathbb R$ est solution de l’équation, si, avec $y’ = 0,0 = −0,4K +0,4 \iff 0,4K = 0,4 \iff K = 1$
   2. On sait que les solutions de l’équation différentielle $y’ = −0,4y$ sont les fonctions définies par: $t \mapsto y = Ce^{−0,4t},$ avec $C ∈ \mathbb R$;
      Les solutions de l’équation $y’ = −0,4u +0,4$ sont donc les fonctions: \begin{align} t \mapsto y = 1+Ce^{−0,4t},\text{ avec }C ∈ \mathbb R. \end{align}
   3. $g$ définie par $g(t) = 1+Ce^{−0,4t}$ vérifie:
      $g(0) = 10 \iff 1+C^{−0,4 \times 0} = 10 \iff 1+C = 10 \iff C = 9.$
      On a donc $g(t) = 1+9e^{−0,4t}$

Partie II

1. On sait que $\lim \limits_{ t \to + \infty }e^{−0,4t} = 0,$ donc $\lim \limits_{ t \to + \infty }p(t) = 1.$
2. $g$ somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$ est dérivable et sur cet intervalle:
   $g'(t) = −0,4×9e^{−0,4t} = −3,6e^{−0,4t}.$
   Or :
   $p(t)=\dfrac{1}{g(t)} \Rightarrow \dfrac{g'(t)}{(g(t))^2}=-\dfrac{ −3,6e^{−0,4t}}{(1+9e^{−0,4t})^2}=-\dfrac{ 3,6e^{−0,4t}}{(1+9e^{−0,4t})^2}$ pour tout $t ∈ [0 ; +∞[.$
3. 1. Le résultat précédent montre que, comme $3,6 >, e^{−0,4t} >\text{ quel que soit le réel } y$
      $(1+9^{−0,4t})^2 > 0, p'(t) > 0$ sur $[0 ; +∞[$: la fonction $p$ est strictement croissante sur cet intervalle.
      Or $p(0) =\dfrac{1}{1+9}=^dfrac{1}{10}= 0,1$, et $\lim \limits_{ t \to + \infty }p(t) =\dfrac{1}{1}= 1.$
      Par application du théorème des valeurs intermédiaires comme $\dfrac{1}{2}∈ [0 ; 1]$, il existe un réel unique $α ∈ [0 ; +∞[$ tel que $p(α) = \dfrac{1}{2}$
   2. La calculatrice donne :
      $p(5) ≈ 0,45$ et $p(6) ≈ 0,55$, donc $5 < α < 6$;
      $p(5,4) ≈ 0,491$ et $p(5,5) ≈ 0,501$, donc $5,4 < α < 5,5$;
      $p(5,49) ≈ 0,499$ et $p(5,50) ≈ 0,501$, donc $5,49 < α < 5,50$.
      Conclusion $α ≈ 5,5$ à $10−1$ près.
      

Partie III

1. $p'(t)=\dfrac{ 3,6e^{−0,4t}}{(1+9e^{−0,4t})^2}$ d’après la question 2.
   $0,4p(t)(1−p(t))=0,4×\dfrac{1}{1+9e^{−0,4t}}×\Bigl(1-\dfrac{1}{1+9e^{−0,4t}} \Bigr)^2=0,4 × \dfrac{9e^{−0,4t}}{1+9e^{−0,4t}} = \dfrac{3,6e^{−0,4t}}{(1+9e^{−0,4t})^2}$
   donc $p$ est solution de l’équation différentielle.
   De plus on a vu que $p(0) =\dfrac{1}{10}.$
2. $\lim \limits_{ t \to + \infty }p(t) = 1$ signifie qu’à long terme toutes les écoles auront accès à internet.
   • $α ≈ 5,5$ signifie qu’au bout de $5$ ans et demi la moitié des écoles aura accès à internet.
   • $p(0) = 0,1$ signifie qu’en $2020, 10 \%$ des écoles ont accès à internet.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par \begin{align} f (x) = (x^2 −2x −1)e^x. \end{align}
   1. La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f ‘(x) = (2x −2)e^x.$
   2. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $]−∞ ; 2].$
   3. $\lim \limits_{ x \to – \infty }f (x) = 0.$
2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f (x) =\dfrac{3}{5+e^x}.$
   Sa courbe représentative dans un repère admet:
   1. une seule asymptote horizontale;
   2. une asymptote horizontale et une asymptote verticale;
   3. deux asymptotes horizontales.
3. On donne ci-dessous la courbe $C_f”$ représentant la fonction dérivée seconde $f”$ d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[−3,5 ; 6].$
   1. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[−3 ; 3].$
   2. La fonction $f$ admet trois points d’inflexion.
   3. La fonction dérivée $f’$ de $f$ est décroissante sur l’intervalle $[0; 2].$
4. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 −17n +20.$
   
   1. La suite $(u_n)$ est minorée.
   2. La suite $(u_n)$ est décroissante.
   3. L’un des termes de la suite $(u_n)$ est égal à $2021.$
5. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n,u_{n+1} = 0,75u_n +5.$
   On considère la fonction « seuil » suivante écrite en Python:
   def seuil :
   $\qquad u=2$
   $\qquad n = 0$
   $\qquad \qquad \text{while } u<45$:
   $\qquad \qquad \qquad u=0,75*u+5$
   $\qquad \qquad \qquad n = n+1$ $\qquad \text{return } n$
   Cette fonction renvoie:
   1. la plus petite valeur de n telle que $u_n ⩾ 45$;
   2. la plus petite valeur de n telle que $u_n < 45$;
   3. la plus grande valeur de n telle que $u_n ⩾ 45$

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats

On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que $AB = AD = 1$ et $AE = 2$, représenté ci- dessous.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$. Le point $K$ est le milieu du segment $[DC]$. Le point $L$ est défini par: $\overrightarrow{DL}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AI}.N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL).$
On se place dans le repère orthonormé (A ;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AI}).
On admet que le point $L$ a pour coordonnées $(0 ; 1 ; \dfrac{3}{2}).$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AL}$.
2. 1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(6 ; −3 ; 2)$ est un vecteur normal au plan $(AKL).$
   2. En déduire une équation cartésienne du plan $(AKL).$
   3. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite $∆$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(AKL).$
   4. En déduire que le point $N$ de coordonnées $\Bigl(\dfrac{18}{49} ; \dfrac{40}{49} ; \dfrac{49}{6}\Bigr ) est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule: \begin{align} V = \dfrac{1}{3}×(aire de la base)×hauteur. \end{align}
3. 1. Calculer le volume du tétraèdre $ADKL$ en utilisant le triangle $ADK$ comme base.
   2. Calculer la distance du point $D$ au plan $(AKL).$
   3. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $AKL.$

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs!».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3×3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.
Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

1. Justifier qu’il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
2. Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$
3. Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève $1 €$ sur son compte en banque.
   Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5 €$. Le jeu est-il favorable au joueur?
4. Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
   1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.
   2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{−3}$, de l’évènement $(X = 5).$
   3. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{−3}$, de l’évènement $(X ⩾ 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

EXERCICE au choix du candidat

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

EXERCICE – A

Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale $20$ mètres. Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale. Partie I : modèle discret Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$ mètre. Pour tout entier naturel $n$, on note un la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l’observation. On a ainsi $u_0 = 1.$ Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité: \begin{align} u_{n+1} = u_n +0,05(20−u_n) \text{ pour tout entier naturel } n. \end{align}

1. Vérifier que $u_1 = 1,95.$
2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,95u_n +1.$
   2. On pose pour tout entier naturel $n, v_n = 20−u_n.$
      Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n, u_n = 20−19×0,95n.$
3. Déterminer la limite de la suite $(u_n).$

Partie II : modèle continu Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour.
D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle \begin{equation}\label{eq}\tag{E} y’= 0,05(20− y) \begin{equation} où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0 ; +∞[$ et $y’$ désigne sa fonction dérivée.
Soit la fonction $L$ définie sur l’intervalle $[0 ; +∞[$ par \begin{align} L(t) = 20−19e^{−0,05t}. \end{align}

1. Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu’on a également $L(0) = 1.$
2. On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L’$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant $t.$
   1. Comparer $L'(0)$ et $L'(5).$
   2. Calculer la limite de la fonction dérivée $L’$ en $+∞.$
      Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice?

EXERCICE – B

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1 ; +∞[$ par \begin{align} f (x) = x −\ln(x −1). \end{align} On considère la suite $(u_n)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f (u_n)$ pour tout entier naturel $n.$ Partie I : La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $(u_n).$

	A	B
$1$	$n$	$u_n$
$2$	$0$	$10$
$3$	$1$	$7,802 775 42$
$4$	$2$	$5,885 444 74$
$5$	$3$	$4,299 184 42$
$6$	$4$	$3,105 509 13$
$7$	$5$	$2,360 951 82$
$8$	$6$	$2,052 767 5$
$9$	$7$	$2,001 345 09$
$10$	$8$	$2,000 000 9$

1. uelle formule a été saisie dans la cellule $B3$ pour permettre le calcul des valeurs approchées de $(u_n)$ par recopie vers le bas?
2. À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $(u_n).$

Partie II : On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]1 ; +∞[$ par \begin{align} f (x) = x −\ln(x −1). \end{align}

1. Calculer $\lim \limits_{ x \to 1 }f (x).$ On admettra que $\lim \limits_{ x \to 1 }f (x)= +∞.
2. 1. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f.$ Montrer que pour tout $x ∈]1 ; +∞[, f'(x) = \dfrac{x −2}{x −1}$
   2. En déduire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $]1 ; +∞[$, complété par les limites.
   3. Justifier que pour tout $x ⩾ 2, f (x) ⩾ 2.$

Partie III :

1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n ⩾ 2$ pour tout entier naturel $n.$
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On note $ℓ$ sa limite.
4. On admet que $ℓ$ vérifie $f (ℓ) = ℓ$. Donner la valeur de $ℓ.$

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats

1. \begin{align} f (x) = (x^2 − 2x − 1)e^x. \end{align} On a $f (x) = x^2e^x − 2xe^x − e^x.$
   On sait que $\lim \limits_{ x \to – \infty }e^x = 0$, puis que $
   $\lim \limits_{ x \to + \infty } 2xe^x = 0$
   $\lim \limits_{ x \to + \infty } x^2e^x = 0$, d’où par somme de limites : $\lim \limits_{ x \to + \infty } f (x) = 0.$ Réponse C.
2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f (x) = \dfrac{3}{5+ e^x}.$
   On a $\lim \limits_{ x \to + \infty }f (x) = \dfrac{3}{5}$: la droite d’équation $y = \dfrac{3}{5}$ est asymptote horizontale au voisinage de moins l’infini;
   On a $\lim \limits_{ x \to + \infty } f (x) = 0$: l’axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de plus l’infini. Réponse C.
3. On voit sur la figure que $f”(−3) = f”(2) = f”(5) = 0$ : la dérivée seconde s’annule trois fois donc la fonction $f$ admet trois points d’inflexion. Réponse B.
   \begin{align} n^2−17n+20 &=\Bigl(n-\frac{17}{2}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{17}{2}\Bigr)^2+20 \\ &=\Bigl(n-\frac{17}{2}\Bigr)^2-\frac{289}{4}+\frac{80}{4} \\ &=\Bigl(n-\frac{17}{2}\Bigr)^2-\frac{209}{4} \\ &=\Bigl(n-\frac{17-\sqrt 209}{2}\Bigr)\Bigl(n+\frac{17+\sqrt 209}{2}\Bigr) \end{align} On a donc quel que soit $n, u_n ⩾ − \frac{209}{ 4}$ : la suite est donc minorée. Réponse A.
4. Réponse A.

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats

1. Avec $C(1; 1; 0)$ et $D(0; 1; 0)$, on obtient $K(\frac{1}{2} ; 1 ; 0)$, donc $\overrightarrow{AK}(\frac{1}{2} ; 1 ; 0)$ et on a $\overrightarrow{AL}(0;1;\frac{3}{2})$
2. 1. $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AK}=3 − 3 + 3 = 0$
      $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AK}= 0 − 3 + 3 = 0$: le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan AKL, il est donc orthogonal à ce plan; c’est donc un vecteur normal à ce plan.
   2. On a donc $M(x ; y ; z) ∈ (AKL) \iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0 \iff 6x −3y +2z + d = 0$, avec $d ∈ \mathbb R$ et comme $A$ appartient à ce plan on a : $0+0+0+ d = 0.$
      Conclusion: $M(x ; y ; z) ∈ (AKL) \iff 6x −3y +2z = 0.$
   3. La droite $∆$ contient $D$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ , donc:
      $M(x ; y ; z) ∈ ∆ \iff$ il existe $t ∈ R,\overrightarrow{DM}=t \overrightarrow{n} \iff \left \{\begin{align} x &= 6t \\y −1 &= −3t \\ z &= 2t \end{align} , t ∈ \mathbb R \right.$ $\iff \left \{\begin{align} x &= 6t \\y &=1 −3t \\ z &= 2t \end{align} , t ∈ \mathbb R \right.$
   4. Le point $N$ est donc le point commun au plan $(AKL)$ et à la droite $∆,$ donc ses coordonnées $(x ; y ; z)$ vérifient le système: \begin{align} \left \{\begin{aligned} x &= 6t \\y &=1 −3t \\ z &= 2t\\ 6x-3y+2z&=0 \end{aligned} , \right. t ∈ \mathbb R &\Rightarrow 6×6t + (−3)× (1−3t)+2×2t = 0 \\ &\Rightarrow 36t − 3 + 9t + 4t = 0 \\ &\iff 49t = 3 \\ &\iff t=\dfrac{3}{49} \end{align} en remplaçant dans les trois premières équations du système, on obtient: \begin{align} \left \{ \begin{aligned} x=6 \times \dfrac{3}{49} \\ y=1-3 \times \dfrac{3}{49} \\ z=2 \times \dfrac{3}{49} \end{aligned} \right. \iff \left \{ \begin{aligned} x=\dfrac{18}{49} \\ y=\dfrac{40}{49} \\ z= \dfrac{6}{49} \end{aligned} \right. \text{ Conclusion: } N \Bigl(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\Bigr) \end{align}
3. 1. Le triangle $ADK$ est rectangle en $D$; on a par définition $AD = 1$ et $DK =\frac{1}{2}$
      Donc $A(ADK) = \dfrac{AD \times AK}{2} \dfrac{1}{4}$
      D’autre part $DL = \dfrac{3}{2}$, donc
      $V(ADKL) =\dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{3}{2}}{3}=\dfrac{1}{8}$
   2. On a: $\overrightarrow{DN} \Bigl(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49}-1;\dfrac{6}{49} \Bigr)$, soit $\overrightarrow{DN}\Bigl(\dfrac{18}{49};\dfrac{-9}{49};\dfrac{6}{49} \Bigr)$, donc:
      $DN^2=\Bigl( \frac{18}{49} \Bigr)^2+\Bigl( \frac{-9}{49} \Bigr)^2+\Bigl( \frac{6}{49} \Bigr)^2=\dfrac{18^2+9^2+6^2}{49^2}=\dfrac{324+81+36}{49^2}=\dfrac{441}{49^2}=\dfrac{21^2}{49^2}=\Bigl(\dfrac{21}{49} \Bigr)^2$
      Donc $DN=\dfrac{21}{49}=\dfrac{3}{7}$
   3. En prenant comme base le triangle $AKL$, on a:
      $V(ADKL) =\dfrac{A(AKL)×DN}{3}$, soit $\dfrac{1}{8}=\dfrac{A(AKL)×\frac{3}{7}}{3}$, d’où $A(AKL) = 7×\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}(u.a).$

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats

1. Il ya a $C_9^3=\dfrac{9!}{3! × (9-3)!}=\dfrac{9×8×7}{3×2}3×4×7=84$ façons différentes de choisir $3$ cases différentes parmi $9.$
2. Il y a $3$ lignes, $3$ colonnes et $2$ diagonales donc $8$ combinaisons gagnantes.
   La probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{8}{84}=\dfrac{4×2}{4×21}=\dfrac{2}{21}$
   
3. Soit X la variable aléatoire égale au montant algébrique de la somme gagnée. On a $P(X = 4) =\dfrac{2}{21}$ et $P(X = −1) = \dfrac{19}{21}$.
   On a donc $E(X ) = 4× \dfrac{2}{21}+(−1)× \dfrac{19}{21}=\dfrac{8−19}{21}= −\dfrac{11}{21}≈ −0,524.$
   En moyenne sur un grand nombre de parties un joueur perd $58$ centimes d’euro par partie. Le jeu est défavorable au joueur.
4. 1. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés suit une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p =\dfrac{2}{20}.$
   2. On a $p(X = 5) = \bigl(\begin{smallmatrix} 20 \\4 \end{smallmatrix}\bigr)×\Bigl(\dfrac{2}{21}\Bigr)^2×\Bigl(\dfrac{19}{21}\Bigr)^{20-5} \approx 0,0271,$ soit $0,027$ à $10^{-3}$ prés.
   3. On a $p(X ⩾ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 −\Bigl(\dfrac{2}{20}\Bigr)^0 × \Bigl(\dfrac{19}{20}\Bigr)^20\approx (1-0,1351)\approx0,8649$ soit $0,865$ à $10^{-3}$ prés.

EXERCICE au choix du candidat 5 points
Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

EXERCICE – A

Partie I : modèle discret

1. On a pour $n = 0, u1 = u_0 +0,05(20−u_0) = 1+0,05×19 = 1+0,95 = 1,95.$
2. 1. Pour tout naturel $n, un+1 = u_n+0,05(20−u_n) = u_n+1−0,05u_n = u_n(1−0,05)+1 =0,95u_n +1.$
   2. Pour tout naturel $n, v_{n+1} = 20−u_{n+1} = 20−(0,95u_n +1) = 20−0,95u_n −1$
      $ =19−0,95u_n = 0,95×20−0,95u_n = 0,95(20−u_n) = 0,95v_n.$ Conclusion: pour tout naturel $n, v_{n+1} = 0,95v_n$: cette égalité montre que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de terme initial $v_0 = 20 − u_0 = 20 − 1 = 19$ et de raison $0,95.$
   3. On sait que pour tout $n ∈ n \mathbb N, v_n = v_0 × q^n, q$ étant la raison, soit $v_n = 19×0,95n.$
      Or $v_n = 20−u_n \iff u_n = 20− v_n = 20−19×0,95n.$
3. On vient de démontrer que pour tout naturel $n, u_n = 20−19×0,95n.$
   Comme $0 < 0,95 < 1$, on sait que $\lim \limits_{ x \to + \infty }0,95^n = 0$, d’où par somme de limites: \begin{align} \lim \limits_{ x \to + \infty }u_n=20. \end{align}

Partie II : modèle continu
\begin{equation}\label{eq}\tag{E} y’= 0,05(20− y) \end{equation}

1. $L$ est la somme de fonctions dérivables sur $[0 ; +∞[$ et sur cet intervalle:
   $L'(t) = −0,05×(−19e^{−0,05t}) = 0,95^{e−0,05t}.$
   Donc $L$ est solution de $(E)$ si:
   \begin{align} y’= 0,05(20 − y) &\iff 0,95e^{−0,05t} = 0,05(20−((20−19^{e−0,05t}))\\ &\iff 0,95e^{−0,05t} =0,05(19e^{−0,05t}) \\ &\iff 0,95e^{−0,05t} = 0,95e^{−0,05t} \\ &\text{qui est vraie.} \end{align} De plus $L(0) = 20−19e^{−0,05×0} = 20−19×1 = 1.$
2. 1. $L'(0) = 0,95e^{−0,05×0} = 0,95×1 = 0,95.$
      $L'(5) = 0,95^{e−0,05×5} = 0,95×e^{−0,25} ≈ 0,74.$br> Donc $L'(0) > ‘(5).$
   2. On sait que $\lim \limits_{ t \to + \infty }e^{−0,05t} = 0$, donc $\lim \limits_{ t \to + \infty }L'(t) = 0.$
      Ce résultat est bien en cohérence avec la description du modèle de croissance du bambou: celui-ci a une taille croissante $(L'(t) > 0)$ de $1 m$ (taille initiale) à $20 m$ (taille finale), la dérivée donc la vitesse de croissance se rapprochant de zéro.
      

EXERCICE – B

\begin{align} f (x) = x −\ln(x −1). \end{align} On considère la suite $(u_n)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f (u_n)$ pour tout entier naturel $n.$
Partie I

1. Il faut écrire dans la cellule $B3 : =B2 – \ln(B2 – 1) .$
2. On peut penser que la suite est décroissante et a pour limite $2.$

Partie II

1. On a $\lim \limits_{ x \to 2 }x−1 = 0$, donc $\lim \limits_{ x \to 1 } \ln(x−1) = −∞$ et enfin par somme de limites $\lim \limits_{ x \to 1} f (x) = +∞.$
   Rem. : la droite d’équation $x = 1$ est asymptote verticale à la représentation graphique de la fonction $f .$
   
2. 1. Sachant que $(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u’}, u(x)$ étant une fonction de $x$ ne s’annulant pas sur l’intervalle $]1 ; +∞[$, on a donc:
      $f'(x) = 1−\dfrac{ 1}{x −1}=\dfrac{x-1-1}{x-1}=\dfrac{x-2}{x-1}$ sur l’intervalle $]1 ; +∞[.$
   2. Sur l’intervalle $]1 ; +∞[$ on a bien entendu $x > 1$, donc le signe de $f (x)$ est celui du dénominateur $x −2 :$
      $x − 2 > 0 \iff x > 2 : f ‘(x) > 0 $ sur $]2 ; +∞[;$ la fonction $f$ est croissante sur $]2 ; +∞[;$
      $x − 2 < 0 \iff x < 2 : f'(x) > 0$ sur $]1 ; 2[;$ la fonction $f$ est décroissante sur $]1 ; 2[;$
      $x−2 = 0 \iff x = 2 : f ‘(2) = 0$ la fonction $f$ a un minimum $f (2) = 2−\ln 1 = 2−0 =2$ sur $]1 ; +∞[.$ D’où le tableau de variations :
   3. La question précédente a montré que $f (2) = 2$ est le minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $]1 ; +∞[$, donc a fortiori sur l’intervalle $]1 ; +∞[.$
      On a donc pour tout $x ⩾ 2, f (x) ⩾ 2.$

Partie III

1. Initialisation : on a $u_0 = 10 ⩾ 2$: la proposition est vraie au rang $0.$
   Hérédité : supposons que pour $n ∈ \mathbb N$, on ait : $u_n ⩾ 2.$
   Par croissance de la fonction $f$ , on a donc $f (u_n) ⩾ f (2)$, c’est-à-dire:
   $u_{n+1} ⩾ 2$ : la proposition est donc vraie au rang $n +1.$ Conclusion : La proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n ∈ \mathbb N$ elle est vraie au rang $n +1 :$ d’après le principe de récurrence la proposition:
   « $u_n ⩾ 2$ pour tout entier naturel $n$ » est vraie.
2. Pour $n ∈ \mathbb N$, calculons $u_{n+1} −u_n = f (u_n)−u_n = u_n −\ln(u_n −1)−u_n = −\ln(u_n −1).$
   Or d’après la question précédente, quel que soit $n ∈ \mathbb N, u_n ⩾ 2$, donc $u_n −1 ⩾ 2−1,$ ou $u_n −1 ⩾ 1,$ donc $\ln(u_n −1) ⩾ 0$ et enfin $−\ln(u_n −1) ⩽ 0.$ Conclusion : quel que soit $n ∈ \mathbb N, u_{n+1} −u_n ⩽ 0$ ou $n+1 ⩽ u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.
3. On a donc démontré dans les deux questions précédentes que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$: elle converge donc vers une limite $ℓ$, telle $ℓ ⩾ 2.$
4. $f (ℓ) = ℓ \iff ℓ − ln(ℓ − 1) = ℓ \iff 0 = ln(ℓ − 1) \iff 1 = ℓ − 1$ (par croissance de la fonction logarithme népérien), d’où $2 = ℓ.$
   La suite $(u_n)$ converge vers le nombre $2.$

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +∞[$ par: \begin{align} f (x) = \dfrac{e^{2x}}{x}· \end{align} On donne l’expression de la dérivée seconde $f’$ de $f ,$ définie sur l’intervalle $]0 ; +∞[$ par: \begin{align} f”(x) = \dfrac{2e^{2x}(2x^2 −2x +1)}{x3}· \end{align}

1. $f$ est dérivable comme fonction quotient de fonctions dérivables, le dénominateur étant non nul sur l’intervalle $]0 ; +∞[.$
   On a $f ‘(x) = \dfrac{2e^{2x} × x −1×e^{2x}}{x^2} =\dfrac{e^{2x}(2x −1)}{x^2}.$ Réponse c.
2. Comme sur l’intervalle $]0 ; +∞[, x2 > 0$ et $e^{2x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x −1.$
   $f'(x) = 0 \iff 2x −1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}.$
   $f'(x) < 0 \iff 2x −1 < 0 \iff x < \dfrac{1}{2}$
   : la fonction $f$ est décroissante sur $]0 ; 12[.$
   $f ‘(x) > 0 \iff 2x −1 > 0 ⇐⇒ x > \dfrac{1}{2}$: la fonction $f$ est croissante sur $]\dfrac{1}{2} ; +∞[.$
   Conclusion: $f(\frac{1}{2})$ est le minimum de la fonction sur $]0 ; +∞[$. Réponse c.
3. On a $f (x) = 2× \dfrac{e^{2x}}{2x}.$
   En posant $X = 2x$, on a $\lim \limits_{ x \to + \infty }2x = \lim \limits_{ x \to + \infty }X = +∞.$
   On sait que $\lim \limits_{ x \to + \infty }\dfrac{e^X}{X}= +∞$, donc $\lim \limits_{ x \to + \infty }f (x) = +∞$: Réponse a.
4. Sur $]0 ; +∞[, x3 > 0$ et $2e^{2x} > 0$, donc le signe de $f”(x)$ est celui du trinôme $2x^2 −2x +1.$
   Or $2x^2 −2x +1 = 2 \Bigl(x^2 − x + \dfrac{1}{2}\Bigr) = 2\Bigl(x − \frac{1}{2}\Bigr)^2 − \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 2\Bigl(x − \frac{1}{2}\Bigr)^2 + \dfrac{1}{2}·$ Donc $f ”(x)$ somme de deux nombres positifs est positive sur $]0 ; +∞[$. La fonction est donc convexe sur $]0 ; +∞[.$: Réponse b.

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante. PARTIE I

2. 1. On a $P(D ∩T ) = P(D)×PD (T ) = 0,05×0,98 = 0,049.$
   2. On a de même: $P(\overline{D} ∩ T) = P (\overline{D})×P_{\overline{D}}(T ) = 0,95×0,3 = 0,0285.$
      D’près la loi des probabilités totales :
      $P(T ) = P(D ∩T )+P (\overline{D} ∩T) = 0,049+0,0285 = 0,0775.$
3. La valeur prédictive positive du test est égale à: $P_T (D) =\dfrac{P(T ∩D)}{P(T )}=\dfrac{P(D ∩T )}{P(T )}=\dfrac{0,049}{0,0775}≈ 0,6322,$ soit $0,632$ au millième près.
   Comme $0,632 < 0,95$ on peut en déduire que le test n’est pas efficace.

PARTIE II

1. Le choix de l’échantillon étant assimilé à un tirage avec remise et avec une probabilité constante de choisir un produit défectueux avec une probabilité de $0,05,$ on peut donc dire que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10 et p = 0,05$
2. On a $p(X = 0) = 0,050 ×0,9520.$
   Donc la probabilité cherchée est $p(X \geqslant 1) = 1p(X = 0) = 1 − 0,9520 ≈ 0,642,$ soit $0,64$ au centième près.
3. On a $E = n × p = 20×0,05 = 1.$
   Cela signifie que sur un grand nombre de tirages d’échantillons on trouvera $1$ pièce défectueuse sur $20$ pièces tirées.

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats I – Premier modèle
En $10$ minutes la température a augmenté de $1,3−(−19)= 1,3+19 = 20,3$ soit une augmentation de $2,03 °C.$
Selon ce premier modèle l’augmentation de la température serait au bout de $25$ minutes de $25×2,03 = 50,75 (°C).$
Les gâteaux seraient donc à une température de $−19 + 50,75 = 31,75(°C)$ alors que la température ambiante est de $25 °C$: c’est impossible, donc ce modèle n’est pas pertinent. II – Second modèle

1. On a \begin{align} T_{n+1} − T_n = −0,06 × (T_n −25) &\iff T_{n+1} − T_n = −0,06T_n + 1,5 \\ &\iff T_{n+1} = T_n −0,06T_n +1,5 \\ &\iff T_{n+1} = 0,94T_n +1,5. \end{align}
2. Avec $n = 0,$ la relation précédente donne $T_1 = 0,94×(−19)+1,5 = 1,5−17,86 = −16,36;$
   Avec $n = 1,$ la relation précédente donne $T_2 = 0,94 × (−16,36) + 1,5 = 1,5 − 15,3784 =−13,8784.$
   
3. Initialisation $T_0 = −19 \leqslant 25$. L’inégalité est vraie au rang $0.$
   Hérédité Supposons que pour $n ∈ \mathbb N, T_n \leqslant 25$ alors en multipliant par $0,94 :$
   $0,94T_n \leqslant 0,94×25,$ soit $0,94T_n \leqslant 23,5.$
   D’où en en ajourant à chaque membre $1,5 :$
   $0,94T_n +1,5 6 23,5+1,5,$ soit finalement $T_{n+1} \leqslant 25$: l’inégalité est vraie au rang $n.$
   Conclusion : l’inégalité est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n,$ elle l’est aussi au rang $n +1.$
   D’après le principe de récurrence : quel que soit $n ∈ \mathbb N, T_n \leqslant 25.$
   Ceci correspond à une évidence : la température des gâteaux ne peut dépasser la température ambiante.
4. On sait que quel que soit $n ∈ \mathbb N, T_{n+1} −T_n = −0,06×(T_n −25).$
   D’après la question précédente $Tn \leqslant 25$ soit en multipliant par $0,06 :$
   $0,06T_n \leqslant 0,06×25,$ ou $0,06T_n \leqslant 1,5$
   et en prenant les opposés : $−1,5 \leqslant −0,06T_n$ et enfin en ajoutant à chaque membre $1,5 :$
   $0 \leqslant −0,6T_n +1,5.$
   On a donc démontré que quel que soit $n ∈ \mathbb N, T_{n+1} − T_n \geqslant 0$ : la suite $(T_n)$ est donc croissante.
5. On a donc démontré que la suite $(T_n)$ est croissante et majorée par $25$ : elle converge donc vers une limite $ℓ$ telle que $ℓ \leqslant 25.$
6. On pose pour tout entier naturel $n, U_n = T_n −25.$
   1. Quel que soit $n ∈ \mathbb N, U_{n+1} = T_{n+1} −25 = 0,94T_n +1,5−25$ ou encore $U_{n+1} = 0,94T_n − 23,5 = 0,94 \Bigl(T_n − \dfrac{23,5}{ 0,94}\Bigr) = 0,94(T_n −25)$, soit finalement $T_{n+1} = 0,94U_n:$ cette égalité montre que la suite $(U_n)$ est une suite géométrique de raison $0,94$ et de premier terme $U_0 = T_0 −25 = −19−25 = −44.$
   2. On sait que quel soit $n ∈ \mathbb N, U_n =U_0 ×0,94^n$ ou
      $U_n = −44×0,94^n.$
      Or $U_n = T_n −25 \iff T_n =U_n +25$ ou encore $T_n = −44×0,94^n +25,$ soit finalement:
      \begin{align} T_n = 25−44×0,94^n, \text{ quel que soit } n ∈ \mathbb N \end{align}
   3. Comme $0 < 0,94 < 1,$ on sait que $\lim \limits_{ x \to + \infty }0,94^n = 0$, d’où par somme de limites : \begin{align} \lim \limits_{ x \to + \infty }Tn = ℓ = 25. \end{align}
7. 1. On a $T_ {25} = 25−44×0,97^{25 }≈ 15,632$ soit environ $16°C.$
   2. La calculatrice donne $T_{17} ≈ 9,63$ et $T_{18} ≈ 10,55,$ donc Cécile devra déguster son gâteau entre la $17^e$ et la $18^e$ minute après sa sortie.
   3. .
      
      def seuil()
      $\qquad n = 0$
      $\qquad T=-19$
      $\qquad \qquad \text{while } T<10$:
      $\qquad \qquad \qquad T=0,94T+1,5$
      $\qquad \qquad \qquad n = n+1$ $\qquad \text{return } n$

EXERCICE au choix du candidat 5 points Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : Exercice A ou Exercice B< br> Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.
EXERCICE A Dans un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{ı} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k})$ on considère

• le point A de coordonnées $(1; 3; 2)$

• le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\Bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\Bigr).$

• la droite d passant par l’origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\overrightarrow{u} .$

Le but de cet exercice est de déterminer le point de d le plus proche du point $A$ et d’étudier quelques propriétés de ce point.
On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

1. $M(x ; y ; z) ∈ (d) \iff \overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{u} , avec t ∈ \mathbb R$, soit: $\begin{align} \left \{ \begin{aligned} x&=t \\ y&=t \\ z&=0 \end{aligned} , t ∈ \mathbb R. \right. \end{align}$
2. 1. De $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} t-i \\ t-3\\ 0-2\end{pmatrix}$, on calcule:
      $AM^2 = (t −1)^2 +(t −3)^2 +(−2)^2 = t^2 +1−2t +t^2 +9−6t +4 = 2t^2 −8t +14.$
   2. $2t^2 −8t +14 = 2(t^2 −4t +7) = 2[(t −2)^2 −4+7] = 2[(t −2)^2 +3].$
      La plus petite valeur de ce trinôme est obtenue quand le carré est nul, soit pour $t = 2.$
      On a $2t^2 −8t +14 \geqslant 6$, soit $AM^2 \geqslant 6 ⇒ AM \geqslant \sqrt 6.$
      La plus petite distance est $AM_0 = \sqrt 6$ avec $M_0(2 ; 2 ; 0).$
3. On a $\overrightarrow{AM_0} \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ -2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d).$ On a $\overrightarrow{AM_0} · \overrightarrow{u} = 1 − 1 + 0 = 0$: les vecteurs sont orthogonaux donc les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.
4. $\overrightarrow{u}$ est orthogonal au plan horizontal d’équation $z = 0.$ Comme $A’$ et $M_0$ appartiennent à ce plan le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{A’M_0}.$
   Donc le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AA’M_0)$,donc la droite $(d)$ est orthogonale au plan $(AA’M_0)$. Le point $M_0$ est donc le projeté orthogonal de $O$ sur le plan $(AA’M_0)$, donc $OM_0$ est la distance la plus courte du point $O$ au plan $(AA’M_0).$
5. Aire de la base $AA’M_0$ : on a $AA’ = 2$ et $A’M_0^2 = (2 − 1)^2 + (2 − 3)^2 + 0^2 = 1 + 1 = 2.$ D’où $A’M_0 = \sqrt 2.$
   On a donc $A(AA’M_0)= \dfrac{2× \sqrt 2}{2}=\sqrt 2.$
   D’autre part $OM_0^2 = 2^2 +2^2 = 8$, d’où $OM_0 = \sqrt 8 = \sqrt {4×2} = 2\sqrt 2 = h.$
   Finalement $V = (AA’M_0) =\dfrac{\sqrt 2 ×2\sqrt 2}{3}=\dfrac{4}{3}.$

EXERCICE B On considère l’équation différentielle $(E) y’ = y +2xe^x$

1. De $u(x) = x^2e^x$, on déduit que $u'(x) = 2xe^x +x^2e^x = e^x (x^2 +2x) = x(x +2)e^x.$
   Donc $u$ solution de $(E)$ si et seulement si:
   $u’ = u +2xe^x \iff 2xe^x +x^2e^x = x^2e^x +2xe^x$ qui est vraie: $u$ est une solution particulière de $(E).$
2. Soit $g(x) = f (x)−u(x)$
   1. $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ si et seulement si:
      $f'(x) = f (x)+2xe^x (1).$ Or $g(x) = f (x) − u(x) \iff f (x) = g(x) + u(x)$, d’où on déduit, les deux fonctions étant dérivables sur $\mathbb R : f'(x) = g'(x)+u'(x).$
      L’égalité $(1)$ devient : $g'(x)+u'(x) = g(x)+u(x)+2xe^x (2).$
      Or on a vu dans la question précédente que $u'(x) = u(x)+2xe^x$
      L’équation $(2)$ devient donc : $g'(x) = g(x)$, ce qui signifie que la fonction $g$ est solution de l’équation différentielle : $y’ = y.$
   2. On sait que les solutions de l’équation différentielle $y’ = y$ sont les fonctions définies par $x 7 \mapsto K e^x, K ∈ \mathbb R.$
      Donc on a $g(x) = K e^x, K ∈ \mathbb R$ et $f (x) = K e^x +2xe^x.$
      Les solutions de l’équation $(E)$ : $f (x) = (K +2)e^x, K ∈ \mathbb R.$
3. Étude de la fonction $u$
   1. On a $u'(x) = x(x +2)e^x.$ Comme $e^x > 0$, quel que soit $x ∈ \mathbb R$, le signe de $u'(x)$ est celui du trinôme $x(x +2)$ qui a pour racines $−2$ et $0.$
      On sait que ce trinôme est positif, sauf entre les racines:
      $u'(x) > 0$ sur $] −∞ ; −2[∪[0 ; +∞[;$ $u'(x) < 0$ sur $] −2 ; 0[;$ $u'(−2) = u'(0) = 0.$
   2. De la question précédente il suit que u est croissante sauf sur $] − 2 ; 0[$ où elle est décroissante, $u(−2) = 4e^{−2}$ et $u(0) = 0$ étant les deux extremums de la fonction sur $\mathbb R.$
   3. $u’$ est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, donc elle est dérivable et sur cet intervalle:
      $u”(x) = (2x +2)e^x +(x^2 +2x)e^x = e^x (x^2 +4x +2).$
      Comme $e^x > 0$, quel que soit $x ∈ \mathbb R$, le signe de $u”(x)$ est celui du trinôme $x^2+4x+2 = (x +2)^2 −4+2 = (x +2)^2 −2 = (x +2)^2 −(\sqrt 2)^2 = (x +2+ \sqrt 2)(x +2− \sqrt 2)/$
      Les racines de ce trinôme sont donc $−\sqrt 2 −2$ et $−\sqrt 2+2.$ Le trinôme donc $u”(x)$ sont négatifs entre les racines.
      Conclusion: la fonction est concave sur l’intervalle $]-\sqrt 2 −2 ; +\sqrt 2−2[.$

EXERCICE 1

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +∞[$ par: \begin{align} f (x) = e^{2x}{x} \end{align} On donne l’expression de la dérivée seconde $f”$ de $f$, définie sur l’intervalle $]0 ; +∞[$ par: \begin{aling} f ”(x) = \dfrac{2e^{2x}(2x^2 −2x +1)}{x} \end{align}

1. La fonction $f’$, dérivée de $f$, est définie sur l’intervalle $]0 ; +∞[$ par:

   a. $f'(x) = 2e^{2x}$	b. $f'(x) = \dfrac{e^{2x}(x −1)}{x^2}$
   c. $f'(x) = \dfrac{e^{2x}(2x −1)}{x^2}$	d. $f'(x) = \dfrac{e^{2x}(1+2x)}{x^2}$

2. La fonction $f$:

   a. est décroissante sur $]0 ; +∞[$	b. est monotone sur $]0 ; +∞[$
   c. admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$	d. admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$

3. La fonction $f$ admet pour limite en $+∞$:

   a. $+ \infty$

   b. $0$

   c. $1$

   d. $e^{2x}$

4. La fonction $f $:

   a. est concave sur $]0 ; +∞[$	b. est convexe $]0 ; +∞[$
   c. est concave sur $]0 ; \frac{1}{2}]$	d.est représentée par une courbe admettant un point d’inflexion.

EXERCICE 2

Commun à tous les candidats

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $5 \%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.
Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles: « positif » ou bien « négatif ».
On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.
On note $p(E)$ la probabilité d’un évènement $E.$
On considère les évènements suivants:

• $D$ : « la pièce est défectueuse »;

• $T$ : « la pièce présente un test positif »;

• $D$ et $T$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que:

• La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle est défectueuse est égale à $0,98$;

• la probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à $0,97$.

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE I

1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
2. 1. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
   2. Démontrer que : $p(T ) = 0,0775.$
3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95.$
   Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.

PARTIE II

On choisit un échantillon de $20$ pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.
On rappelle que : $p(D) = 0,05.$

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.
   On donnera un résultat arrondi au centième.
3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu.

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats

Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu’elle a achetés surgelés.
Elle sort les gâteaux du congélateur à $−19 °C$ et les apporte sur la terrasse où la température est de $25 °C.$
Au bout de $10$ minutes la température des gâteaux est de $1,3 °C.$

I – Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante c’est-à-dire que l’augmentation de la température est la même minute après minute.
Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux $25$ minutes après leur sortie du congélateur.
Ce modèle semble-t-il pertinent?

II – Second modèle

On note Tn la température des gâteaux en degré Celsius, au bout de n minutes après leur sortie du congélateur; ainsi $T_0 = −19.$
On admet que pour modéliser l’évolution de la température, on doit avoir la relation suivante
Pour tout entier naturel $n, T_{n+1} −T_n = −0,06×(T_n −25).$

1. Justifier que, pour tout entier $n$, on a $T_{n+1} = 0,94T_n +1,5$
2. Calculer $T_1$ et $T_2$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n \leqslant 25.$
En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible?
4. Étudier le sens de variation de la suite $(T_n)$.
5. Démontrer que la suite $(T_n)$ est convergente.
6. On pose pour tout entier naturel $n, U_n = T_n −25.$
1. Montrer que la suite $(U_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_0.$
2. En déduire que pour tout entier naturel $n, T_n = −44×0,94^n +25.$
3. En déduire la limite de la suite $(T_n).$ Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
7. 1. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d’une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur.
      Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux? On donnera une valeur arrondie à l’entier le plus proche.
   2. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu’elle aime déguster lorsqu’ils sont encore frais, à la température de $10 °C.$ Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
   3. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l’entier $n$ pour laquelle $T_n \geqslant 10.$

      def suite() $\qquad n = 0$ $\qquad T=………….$ $\qquad$ while $T=………….$ $\qquad \qquad T=………….$ $\qquad \qquad n=n+1$ $\qquad \text{return } $

      Décrire le rôle du programme cicontre écrit en langage Python, dans lequel la variable n est un entier naturel et la variable P un nombre réel.

   EXERCICE au choix du candidat 5 points

   
   Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
   Il indique sur sa copie l’exercice choisi : Exercice A ou Exercice B
   Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.
   

   EXERCICE A

   Principaux domaines abordés:
   Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé; orthogonalité dans l’espace
   Dans un repère orthonormé $(O ;\overrightarrow{ı} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k})$ on considère
   • le point $A$ de coordonnées $(1; 3; 2)$
   • le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}$
   • la droite $d$ passant par l’origine $O$ du repère et admettant pour vecteur directeur
   Le but de cet exercice est de déterminer le point de d le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.
   On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
   
   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d.$
   2. Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d,$ le point $M$ ayant pour coordonnées $(t ; t ; 0).$
      1. On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M.$ Démontrer que: \begin{align} AM^2 = 2t^2 −8t +14. \end{align}
      2. Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2 ; 2 ; 0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale.
         On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
   3. Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales.
   4. On appelle $A’$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d’équation cartésienne $z = 0.$ Le point $A’$ admet donc pour coordonnées $(1 ; 3 ; 0).$
      Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA’M_0)$ le plus proche du point $O,$ origine du repère.
   5. Calculer le volume de la pyramide $OM_0A’A.$
      On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}Bh$, où $B$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

   EXERCICE A

   Principaux domaines abordés:
   Équations différentielles; fonction exponentielle.
   On considère l’équation différentielle \begin{align}\tag{E} y’ = y +2xe^x \end{align} On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.
   
   1. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $u(x) = x^2e^x.$ On admet que $u$ est dérivable et on note $u’$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E).$
   2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R.$ On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \begin{align} g(x) = f (x)−u(x) \end{align}
      1. Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l’équation différentielle: $y’ = y.$
         On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
      2. À l’aide de la résolution de l’équation différentielle $y’ = y$, résoudre l’équation différentielle $(E).$
   3. Étude de la fonction $u$
      1. Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\mathbb R.$
      2. Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\mathbb R$ (les limites ne sont pas demandées).
      3. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.
    

   ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

   Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

   EXERCICE 1

   Commun à tous les candidats

   Le plan $P$ d’équation cartésienne $x +my −2z +8 = 0$ où m est un nombre réel.
   Question 1: On voit que pour $t = 5$, les coordonnées du point de la droite $D’$ sont $(11 ; −9 ; −22)$ soit les coordonnées de $M2.$

   Réponse b.

   Question 2: Un vecteur directeur de la droite $D’$ est: $ \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\6 \end{pmatrix}$

   Réponse c.

   Question 3:
   Un vecteur directeur de la droite $D$ est $ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\4 \end{pmatrix}$ colinéaire au vecteur $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$
   Un vecteur directeur de la droite $D’$ est $ \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\-6 \end{pmatrix}$ colinéaire au vecteur $\dfrac{1}{3} \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\-2 \end{pmatrix}$ 1 ou encore colinéaire au vecteur $-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix}-1 \\+1\\2\end{pmatrix}$ Les droites $D$ et $D’$ ayant des vecteurs directeurs colinéaires au même vecteur sont donc parallèles.
   De plus en remplaçant $t$ par $\dfrac{5}{3}$ dans l’équation paramétrique de $D’$ on obtient $x = 1, y = 1$ et $z = −2.$
   Les droites sont parallèles et ont un point commun : elles sont donc confondues.

   Réponse d.

   Question 4
   $P$ a pour vecteur normal $ \overrightarrow{p}\begin{pmatrix} 1 \\ m\\-2 \end{pmatrix}$
   $D$ est parallèle au plan $P$ si $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{p}$ sont orthogonaux, soit:
   $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{p} = 0 \iff −2×1+2×m +4×(−2) = 0 \iff −2+2m −8 = 0 \iff 2m = 10 \iff m = 5.$

   Réponse c.

   EXERCICE 2

   Commun à tous les candidats

   Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
   1. 1. On traduit la situation par un arbre pondéré.
      2. Il faut trouver $P(M ∩T ) = P(\overline{M})×PM (T ) = 0,4×0,9 = 0,36.$
      3. On a de même $P (\overline{M} ∩T) = P (\overline{M})×P_\overline{M}(T ) = 0,6×0,15 = 0,09.$
         D’après la loi des probabilités totales:
         $P(T ) = P(M ∩T )+P (\overline{M} ∩T) = 0,36+0,09 = 0,45.$
      4. Il faut trouver $P_T (M) = \dfrac{P(M ∩T )}{P(T )}=\dfrac{0,36}{0,45}=\dfrac{36}{45}=\dfrac{9×4}{9×5}=\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{10}= 0,8.$
   2. 1. On suppose que le nombre de chats est assez important pour que l’on puisse assimiler le choix des $20$ chats à un tirage avec remise.
         La variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et de probabilité $p = 0,45$ trouvé à la question 1. c..
      2. On a $p (X = 5) =\bigl(\begin{smallmatrix} 20 \\ 5 \end{smallmatrix}\bigr)× 0,455 × (1 − 0,45)^{20−5} = 15504 × 0,45^5 × 0,55^{15} ≈ 0,0365$ soit environ $0,037.$
      3. La calculatrice donne $P(X < 9) ≈ 0,414.$
      4. On sait que l’espérance $E = n × p = 20×0,45 = 9.$
         Cela signifie que sur un grand nombre d’échantillons il y aura en moyenne $9$ chats positifs par échantillon de $20.$
   3. 1. On a encore une loi binomiale de paramètres n et de probabilité d’être positif de $0,45.$
         On a $P(X = 0) = \bigl(\begin{smallmatrix} n \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)×0,45^0 ×0,55^n = 0,55^n.$
         Donc $p_n = 1−P(X = 0) = 1−0,55^n.$
      2. En partant de $n = 0$, le programme calcule $p_n$ et augmente la taille de l’échantillon de $1$ tant que $p_n < 0,99.$
      3. On cherche donc $n$ tel que $1 − 0,55^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,55^n$, d’où par croissance de la fonction logarithme népérien: $\ln(0,01) \geqslant n \ln(0,55) \iff\dfrac{\ln(0,01)}{\ln (0,55)} \leqslant n (\text{car }\ln 001 < 0).$
         Or $\dfrac{\ln 0,01}{ln 0,55}≈ 7,7.$
         Conclusion: le programme renvoie la valeur $8.$

   EXERCICE 3

   Commun à tous les candidats

   Soit la suite $(u_n)$ définie par: $u_0 = 1$ et, pour $n$, $u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n +4}.$
   1. On peut conjecturer que quel que soit $n$, $\dfrac{4}{u_n}= n +4.$
   2. On veut démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n > 0.$
      Initialisation: $u_0 = 1 > 0$: la proposition est vraie au rang $0.$
      Hérédité: supposons qu’il existe $n ∈ \mathbb N$ tel que $un > 0.$
      Alors $u_n +4 > 4 > 0$ donc: $\dfrac{1}{u_n +4}> 0$ et donc $\dfrac{4}{u_n +4}> 0$
      Or $u_n > 0$ (hypothèse de récurrence) donc $\dfrac{4u_n}{u_n +4}> 0.$
      Soit finalement: $u_{n+1} > 0.$; la proposition est vraie au rang $n +1.$
      La proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n ∈ \mathbb N$, elle est vraie au rang $n +1.$
      D’après le principe de récurrence on a démontré que pour tout $n ∈ \mathbb N, u_n > 0.$
   3. Quel que soit $n ∈ \mathbb N, u_{n+1} −u_n = \dfrac{4u_n}{u_n +4}−u_n =\dfrac{4u_n −u_n^2 −4u_n}{u_n +4}= −\dfrac{u^2_n}{u_n +4}.$ Comme $u_n +4 > 4 > 0$ d’où l’inverse $\dfrac{1}{u_n +4}> 0$ et comme $u^2_n > 0,\dfrac{u^2_n}{u_n +4}> 0$ et finalement $−\dfrac{u^2_n}{u_n +4}< 0.$
      On a donc quel que soit $n ∈ \mathbb N, u_{n+1} −u_n < 0$: la suite $(u_n)$ est décroissante.
   4. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$: d’après le théorème de la convergence monotone, la suite est convergente vers un réel $ℓ > 0$
   5. On a pour $n ∈ \mathbb N,$
      $v_{n+1} − v_n = \dfrac{4}{u_{n+1}}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{4}{\dfrac{4u_n}{u_n+4}}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{4(u_n +4)}{4u_n}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{u_n +4}{u_n}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{u_n +4−4}{u_n}=\dfrac{u_n}{u_n}= 1.$
      $v_{n+1} − v_n = 1,$ quel que soit $n ∈ \mathbb N$ montre que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 1.$ Son premier terme est $v_0 =\dfrac{4}{u_0}=\dfrac{4}{1}= 4.$
   6. On sait qu’alors pour $n ∈ \mathbb N, v_n = v_0 +nr = 4+n.$ Or $v_n =\dfrac{4}{u_n} \iff u_n =\dfrac{4}{v_n}$ donc $u_n = \dfrac{4}{4+n}$ quel que soit $n ∈ \mathbb N.$ $u_n =\dfrac{1}{1+ \frac{n}{4}}$, donc comme $\lim \limits_{n \to + \infty }1+\dfrac{n}{4}= +∞, \lim \limits_{ n \to + \infty }u_n = 0.$ La limite de la suite $(u_n)$ est donc $0.$
   EXERCICE AU CHOIX DU CANDIDAT
   Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
   Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
   Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.
   

   EXERCICE A

   Principaux domaines abordés:
   Fonction logarithme; dérivation

   Partie 1

   Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +∞[$ par : $h(x) = 1+ \dfrac{\ln(x)}{x^2}.$
   1. • Limite en $0 : h(x) = 1+ \dfrac{1}{x}×\dfrac{\ln(x)}{x}.$
      On sait que $\lim \limits_{ x \to 0 }\dfrac{1}{x}= +∞$ et que $\lim \limits_{ x \to 0}\dfrac{\ln(x)}{x}= −∞$; donc par produit de limites $\lim \limits_{ x \to 0}h(x) = −∞.$
      • Limite en $+∞$: on sait que $\lim \limits_{ x \to +∞ }\dfrac{1}{x}= 0$ et que $\lim \limits_{ x \to +∞}\dfrac{\ln(x)}{x}= 0$; donc par produit et somme de limites:
      $\lim \limits_{ x \to +∞ }h(x) = 1.$ ( La droite d’équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la représentation graphique de $h$ en $+∞$.)
   2. La fonction est dérivable (admis) sur $]0 ; +∞[$ et sur cet intervalle:
      $h'(x) =\dfrac{\frac{1}{x}× x^2 −2x \ln(x)}{x^4} =\dfrac{x −2x \ln(x)}{x^4} =\dfrac{1−2 \ln(x)}{x^3}.$
   3. Sur $]0 ; +∞[, x > $0 donc $x^3 > 0$ : le signe de $h'(x)$ est donc celui du numérateur $1−2 \ln x.$
      • $1−2 \ln x > 0 \iff 1 > 2 \ln x \iff \dfrac{1}{2}> \ln x \iff \ln x < \dfrac{1}{2},$ soit finalement $x < e^{\frac{1}{2}}$ (ou encore $x < \sqrt e$).
   4. D’après les résultats précédents, on établit le tableau de variations de $h$ sur $]0 ; +∞[.$ $h(e^{\frac{1}{2}})= 1+ \dfrac{\ln(e^{\frac{1}{2}})}{(e^{\frac{1}{2}})^2 }= 1+ \dfrac{\frac{1}{2}}{e} = 1+ \dfrac{1}{2e} ≈ 1,18$
      D’après ce tableau de variations, l’équation $h(x) = 0$ admet une solution unique dans l’intervalle $]0 ; e^{\frac{1}{2}}[.$
      On appelle α cette solution; $h\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr) ≈ −1,8 < 0$ et $h(1) = 1 > 0$ donc $12 < α < 1.$
   5. D’après les questions précédentes, on peut établir le tableau signes de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $]0 ; +∞[ :$

   Partie 2

   On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $]0 ; +∞[$ par: $f_1(x) = x−1− \dfrac{\ln(x)}{x^2}$ et $f_2(x) = x−2−\dfrac{ 2\ln(x)}{x^2}.$
   On note $C_1$ et $C_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$
   1. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0 ; +∞[$, on a:
      \begin{align} f_1(x)− f_2(x) &= x −1−\dfrac{ \ln(x)}{x^2} −\Bigl(x −2− \dfrac{2 \ln( x)}{x^2} \Bigr) \\ &= x −1− \dfrac{\ln( x)}{x^2} − x +2+ \dfrac{2 \ln( x)}{x^2} \\ &= 1+ \dfrac{\ln( x)}{x^2} \\ &= h(x) \end{align}
   2. • On a vu que $h(x) < 0$ sur $]0 ; α[$, donc sur cet intervalle $f_1(x) < f_2(x)$ donc $C_1$ est en dessous de $C_2.$
      • On a vu que $h(x) > 0$ sur $]α ; +∞[$, donc sur cet intervalle $f_1(x) > f_2(x)$ donc $C_1$ est au dessus de $C_2.$
      • $h(α) = 0$ donc $f_1(α) = f_2(α)$; donc $α$ est l’abscisse du point d’intersection de $C_1$ et $C_2.$
      • L’ordonnée de ce point d’intersection est $f (α) = α−1−\dfrac{\ln(α)}{α^2} = α−\Bigl(1+ \dfrac{\ln( α)}{α^2}\Bigr) = α−h(α) = α.$ • Les deux courbes se coupent donc au point de coordonnées $(α ; α).$

   EXERCICE b

   Principaux domaines abordés:
   Fonction exponentielle; dérivation; convexité

   Partie 1

   1. D’après la courbe représentant la fonction dérivée $f’:$
      • la fonction $f’$ est positive sur $]− ∞ ; 1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle;
      • la fonction $f’$ est négative sur $]1 ; +∞[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.
   2. D’après la courbe représentant la fonction dérivée $f’$:
      • la fonction $f’$ est décroissante sur $]−∞ ; 0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle;
      • la fonction $f’$ est croissante sur $]0 ; +∞[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
   On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\mathbb R$ par: $f (x) = (x +2)e^{−x}.$
   1. Pour tout nombre réel $x, f (x) = (x +2)e^{−x} = xe^{−x} +2e^{−x} = \dfrac{x}{e^x}+2e^{−x}.$
      D’après le cours : $\lim \limits_{ x \to + \infty }\dfrac{e^x}{x}= +∞$ donc $\lim \limits_{ x \to + \infty }\dfrac{x}{e^x}=0.$
      De plus $\lim \limits_{ x \to + \infty }e^{−x} = 0$ donc $\lim \limits_{ x \to + \infty }f (x) = 0.$
      On en déduit que la courbe $C$ admet la droite d’équation $y = 0$, c’est-à-dire l’axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+∞.$ On admet que $\lim \limits_{ x \to – \infty }f (x) = −∞.$
   2. 1. $f'(x) = 1×e^{−x} +(x +2)×(−1)e^{−x} = (1− x −2)e^{−x} = (−x −1)e−x.$
      2. Pour tout $x, e^{−x} > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $−x −1$; donc $f'(x)$ s’annule et change de signe en $x = −1.$
         $f (−1) = (−1+2)e^1 = e$; on établit le tableau de variations de $f$ sur $ \mathbb R$:
      3. Sur l’intervalle $[−2 ; −1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et continue car dérivable sur cetintervalle. $f (−2) = 0 < 2$ et $f (−1) = e > 2$ donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f (x) = 2$ admet une solution unique sur l’intervalle $[−2 ; −1].$
   3. $f”(x) = (−1)×e^{−x} +(−x −1)×(−1)e^{−x} = (−1+ x +1)e^{−x} = xe^{−x}$
      $e^{−x} > 0$ pour tout $x$, donc $f”(x)$ est du signe de $x$.
      
      • Sur $]− ∞ ; 0[$, $f”(x) < 0$ donc la fonction $f$ est concave.
      • Sur $]0 ; +∞[$, $f'(x) > 0$ donc la fonction $f$ est convexe.
      • En $x = 0$, la dérivée seconde s’annule et change de signe donc le point $A$ d’abscisse $0$ de $C$ est le point d’inflexion de cette courb
    

   ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

   Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

   EXERCICE 1

   Commun à tous les candidats

   Le plan $P$ d’équation cartésienne $x +my −2z +8 = 0$ où m est un nombre réel.
   Question 1: On voit que pour $t = 5$, les coordonnées du point de la droite $D’$ sont $(11 ; −9 ; −22)$ soit les coordonnées de $M2.$

   Réponse b.

   Question 2: Un vecteur directeur de la droite $D’$ est: $ \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\6 \end{pmatrix}$

   Réponse c.

   Question 3:
   Un vecteur directeur de la droite $D$ est $ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\4 \end{pmatrix}$ colinéaire au vecteur $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$
   Un vecteur directeur de la droite $D’$ est $ \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\-6 \end{pmatrix}$ colinéaire au vecteur $\dfrac{1}{3} \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\-2 \end{pmatrix}$ 1 ou encore colinéaire au vecteur $-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix}-1 \\+1\\2\end{pmatrix}$ Les droites $D$ et $D’$ ayant des vecteurs directeurs colinéaires au même vecteur sont donc parallèles.
   De plus en remplaçant $t$ par $\dfrac{5}{3}$ dans l’équation paramétrique de $D’$ on obtient $x = 1, y = 1$ et $z = −2.$
   Les droites sont parallèles et ont un point commun : elles sont donc confondues.

   Réponse d.

   Question 4
   $P$ a pour vecteur normal $ \overrightarrow{p}\begin{pmatrix} 1 \\ m\\-2 \end{pmatrix}$
   $D$ est parallèle au plan $P$ si $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{p}$ sont orthogonaux, soit:
   $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{p} = 0 \iff −2×1+2×m +4×(−2) = 0 \iff −2+2m −8 = 0 \iff 2m = 10 \iff m = 5.$

   Réponse c.

   EXERCICE 2

   Commun à tous les candidats

   Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
   1. 1. On traduit la situation par un arbre pondéré.
      2. Il faut trouver $P(M ∩T ) = P(\overline{M})×PM (T ) = 0,4×0,9 = 0,36.$
      3. On a de même $P (\overline{M} ∩T) = P (\overline{M})×P_\overline{M}(T ) = 0,6×0,15 = 0,09.$
         D’après la loi des probabilités totales:
         $P(T ) = P(M ∩T )+P (\overline{M} ∩T) = 0,36+0,09 = 0,45.$
      4. Il faut trouver $P_T (M) = \dfrac{P(M ∩T )}{P(T )}=\dfrac{0,36}{0,45}=\dfrac{36}{45}=\dfrac{9×4}{9×5}=\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{10}= 0,8.$
   2. 1. On suppose que le nombre de chats est assez important pour que l’on puisse assimiler le choix des $20$ chats à un tirage avec remise.
         La variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et de probabilité $p = 0,45$ trouvé à la question 1. c..
      2. On a $p (X = 5) =\bigl(\begin{smallmatrix} 20 \\ 5 \end{smallmatrix}\bigr)× 0,455 × (1 − 0,45)^{20−5} = 15504 × 0,45^5 × 0,55^{15} ≈ 0,0365$ soit environ $0,037.$
      3. La calculatrice donne $P(X < 9) ≈ 0,414.$
      4. On sait que l’espérance $E = n × p = 20×0,45 = 9.$
         Cela signifie que sur un grand nombre d’échantillons il y aura en moyenne $9$ chats positifs par échantillon de $20.$
   3. 1. On a encore une loi binomiale de paramètres n et de probabilité d’être positif de $0,45.$
         On a $P(X = 0) = \bigl(\begin{smallmatrix} n \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)×0,45^0 ×0,55^n = 0,55^n.$
         Donc $p_n = 1−P(X = 0) = 1−0,55^n.$
      2. En partant de $n = 0$, le programme calcule $p_n$ et augmente la taille de l’échantillon de $1$ tant que $p_n < 0,99.$
      3. On cherche donc $n$ tel que $1 − 0,55^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,55^n$, d’où par croissance de la fonction logarithme népérien: $\ln(0,01) \geqslant n \ln(0,55) \iff\dfrac{\ln(0,01)}{\ln (0,55)} \leqslant n (\text{car }\ln 001 < 0).$
         Or $\dfrac{\ln 0,01}{ln 0,55}≈ 7,7.$
         Conclusion: le programme renvoie la valeur $8.$

   EXERCICE 3

   Commun à tous les candidats

   Soit la suite $(u_n)$ définie par: $u_0 = 1$ et, pour $n$, $u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n +4}.$
   1. On peut conjecturer que quel que soit $n$, $\dfrac{4}{u_n}= n +4.$
   2. On veut démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n > 0.$
      Initialisation: $u_0 = 1 > 0$: la proposition est vraie au rang $0.$
      Hérédité: supposons qu’il existe $n ∈ \mathbb N$ tel que $un > 0.$
      Alors $u_n +4 > 4 > 0$ donc: $\dfrac{1}{u_n +4}> 0$ et donc $\dfrac{4}{u_n +4}> 0$
      Or $u_n > 0$ (hypothèse de récurrence) donc $\dfrac{4u_n}{u_n +4}> 0.$
      Soit finalement: $u_{n+1} > 0.$; la proposition est vraie au rang $n +1.$
      La proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n ∈ \mathbb N$, elle est vraie au rang $n +1.$
      D’après le principe de récurrence on a démontré que pour tout $n ∈ \mathbb N, u_n > 0.$
   3. Quel que soit $n ∈ \mathbb N, u_{n+1} −u_n = \dfrac{4u_n}{u_n +4}−u_n =\dfrac{4u_n −u_n^2 −4u_n}{u_n +4}= −\dfrac{u^2_n}{u_n +4}.$ Comme $u_n +4 > 4 > 0$ d’où l’inverse $\dfrac{1}{u_n +4}> 0$ et comme $u^2_n > 0,\dfrac{u^2_n}{u_n +4}> 0$ et finalement $−\dfrac{u^2_n}{u_n +4}< 0.$
      On a donc quel que soit $n ∈ \mathbb N, u_{n+1} −u_n < 0$: la suite $(u_n)$ est décroissante.
   4. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$: d’après le théorème de la convergence monotone, la suite est convergente vers un réel $ℓ > 0$
   5. On a pour $n ∈ \mathbb N,$
      $v_{n+1} − v_n = \dfrac{4}{u_{n+1}}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{4}{\dfrac{4u_n}{u_n+4}}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{4(u_n +4)}{4u_n}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{u_n +4}{u_n}−\dfrac{4}{u_n}=\dfrac{u_n +4−4}{u_n}=\dfrac{u_n}{u_n}= 1.$
      $v_{n+1} − v_n = 1,$ quel que soit $n ∈ \mathbb N$ montre que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 1.$ Son premier terme est $v_0 =\dfrac{4}{u_0}=\dfrac{4}{1}= 4.$
   6. On sait qu’alors pour $n ∈ \mathbb N, v_n = v_0 +nr = 4+n.$ Or $v_n =\dfrac{4}{u_n} \iff u_n =\dfrac{4}{v_n}$ donc $u_n = \dfrac{4}{4+n}$ quel que soit $n ∈ \mathbb N.$ $u_n =\dfrac{1}{1+ \frac{n}{4}}$, donc comme $\lim \limits_{n \to + \infty }1+\dfrac{n}{4}= +∞, \lim \limits_{ n \to + \infty }u_n = 0.$ La limite de la suite $(u_n)$ est donc $0.$
   EXERCICE AU CHOIX DU CANDIDAT
   Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
   Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
   Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.
   

   EXERCICE A

   Principaux domaines abordés:
   Fonction logarithme; dérivation

   Partie 1

   Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +∞[$ par : $h(x) = 1+ \dfrac{\ln(x)}{x^2}.$
   1. • Limite en $0 : h(x) = 1+ \dfrac{1}{x}×\dfrac{\ln(x)}{x}.$
      On sait que $\lim \limits_{ x \to 0 }\dfrac{1}{x}= +∞$ et que $\lim \limits_{ x \to 0}\dfrac{\ln(x)}{x}= −∞$; donc par produit de limites $\lim \limits_{ x \to 0}h(x) = −∞.$
      • Limite en $+∞$: on sait que $\lim \limits_{ x \to +∞ }\dfrac{1}{x}= 0$ et que $\lim \limits_{ x \to +∞}\dfrac{\ln(x)}{x}= 0$; donc par produit et somme de limites:
      $\lim \limits_{ x \to +∞ }h(x) = 1.$ ( La droite d’équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la représentation graphique de $h$ en $+∞$.)
   2. La fonction est dérivable (admis) sur $]0 ; +∞[$ et sur cet intervalle:
      $h'(x) =\dfrac{\frac{1}{x}× x^2 −2x \ln(x)}{x^4} =\dfrac{x −2x \ln(x)}{x^4} =\dfrac{1−2 \ln(x)}{x^3}.$
   3. Sur $]0 ; +∞[, x > $0 donc $x^3 > 0$ : le signe de $h'(x)$ est donc celui du numérateur $1−2 \ln x.$
      • $1−2 \ln x > 0 \iff 1 > 2 \ln x \iff \dfrac{1}{2}> \ln x \iff \ln x < \dfrac{1}{2},$ soit finalement $x < e^{\frac{1}{2}}$ (ou encore $x < \sqrt e$).
   4. D’après les résultats précédents, on établit le tableau de variations de $h$ sur $]0 ; +∞[.$ $h(e^{\frac{1}{2}})= 1+ \dfrac{\ln(e^{\frac{1}{2}})}{(e^{\frac{1}{2}})^2 }= 1+ \dfrac{\frac{1}{2}}{e} = 1+ \dfrac{1}{2e} ≈ 1,18$
      D’après ce tableau de variations, l’équation $h(x) = 0$ admet une solution unique dans l’intervalle $]0 ; e^{\frac{1}{2}}[.$
      On appelle α cette solution; $h\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr) ≈ −1,8 < 0$ et $h(1) = 1 > 0$ donc $12 < α < 1.$
   5. D’après les questions précédentes, on peut établir le tableau signes de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $]0 ; +∞[ :$

   Partie 2

   On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $]0 ; +∞[$ par: $f_1(x) = x−1− \dfrac{\ln(x)}{x^2}$ et $f_2(x) = x−2−\dfrac{ 2\ln(x)}{x^2}.$
   On note $C_1$ et $C_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$
   1. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0 ; +∞[$, on a:
      \begin{align} f_1(x)− f_2(x) &= x −1−\dfrac{ \ln(x)}{x^2} −\Bigl(x −2− \dfrac{2 \ln( x)}{x^2} \Bigr) \\ &= x −1− \dfrac{\ln( x)}{x^2} − x +2+ \dfrac{2 \ln( x)}{x^2} \\ &= 1+ \dfrac{\ln( x)}{x^2} \\ &= h(x) \end{align}
   2. • On a vu que $h(x) < 0$ sur $]0 ; α[$, donc sur cet intervalle $f_1(x) < f_2(x)$ donc $C_1$ est en dessous de $C_2.$
      • On a vu que $h(x) > 0$ sur $]α ; +∞[$, donc sur cet intervalle $f_1(x) > f_2(x)$ donc $C_1$ est au dessus de $C_2.$
      • $h(α) = 0$ donc $f_1(α) = f_2(α)$; donc $α$ est l’abscisse du point d’intersection de $C_1$ et $C_2.$
      • L’ordonnée de ce point d’intersection est $f (α) = α−1−\dfrac{\ln(α)}{α^2} = α−\Bigl(1+ \dfrac{\ln( α)}{α^2}\Bigr) = α−h(α) = α.$ • Les deux courbes se coupent donc au point de coordonnées $(α ; α).$

   EXERCICE b

   Principaux domaines abordés:
   Fonction exponentielle; dérivation; convexité

   Partie 1

   1. D’après la courbe représentant la fonction dérivée $f’:$
      • la fonction $f’$ est positive sur $]− ∞ ; 1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle;
      • la fonction $f’$ est négative sur $]1 ; +∞[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.
   2. D’après la courbe représentant la fonction dérivée $f’$:
      • la fonction $f’$ est décroissante sur $]−∞ ; 0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle;
      • la fonction $f’$ est croissante sur $]0 ; +∞[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
   On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\mathbb R$ par: $f (x) = (x +2)e^{−x}.$
   1. Pour tout nombre réel $x, f (x) = (x +2)e^{−x} = xe^{−x} +2e^{−x} = \dfrac{x}{e^x}+2e^{−x}.$
      D’après le cours : $\lim \limits_{ x \to + \infty }\dfrac{e^x}{x}= +∞$ donc $\lim \limits_{ x \to + \infty }\dfrac{x}{e^x}=0.$
      De plus $\lim \limits_{ x \to + \infty }e^{−x} = 0$ donc $\lim \limits_{ x \to + \infty }f (x) = 0.$
      On en déduit que la courbe $C$ admet la droite d’équation $y = 0$, c’est-à-dire l’axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+∞.$ On admet que $\lim \limits_{ x \to – \infty }f (x) = −∞.$
   2. 1. $f'(x) = 1×e^{−x} +(x +2)×(−1)e^{−x} = (1− x −2)e^{−x} = (−x −1)e−x.$
      2. Pour tout $x, e^{−x} > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $−x −1$; donc $f'(x)$ s’annule et change de signe en $x = −1.$
         $f (−1) = (−1+2)e^1 = e$; on établit le tableau de variations de $f$ sur $ \mathbb R$:
      3. Sur l’intervalle $[−2 ; −1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et continue car dérivable sur cetintervalle. $f (−2) = 0 < 2$ et $f (−1) = e > 2$ donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f (x) = 2$ admet une solution unique sur l’intervalle $[−2 ; −1].$
   3. $f”(x) = (−1)×e^{−x} +(−x −1)×(−1)e^{−x} = (−1+ x +1)e^{−x} = xe^{−x}$
      $e^{−x} > 0$ pour tout $x$, donc $f”(x)$ est du signe de $x$.
      
      • Sur $]− ∞ ; 0[$, $f”(x) < 0$ donc la fonction $f$ est concave.
      • Sur $]0 ; +∞[$, $f'(x) > 0$ donc la fonction $f$ est convexe.
      • En $x = 0$, la dérivée seconde s’annule et change de signe donc le point $A$ d’abscisse $0$ de $C$ est le point d’inflexion de cette courb