Exercices
Exercice 1🟢⚪⚪
Pour les fonctions suivantes, déterminer la fonction dérivée en précisant sur quel intervalle le calcul est possible puis étudier son signe afin d’en déduire le tableau de variation de la fonction.
- $ f(x) = -3x^2+6x-7$
- $f(x) = x^3 – 3x^2 +4x -8 $
- $f(x) = -2x^3 +4x^2-2x $
- $f(x) = x^4-2x^3 +x^2 +3$
1. On a $f(x)=-3x^2+6x-7$
$f$ est une fonction polynome, donc défine et dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$:
$f'(x)=-6x+6$
– On étudie le signe de $f’$ sur $\mathbb R$:
$f'(x) \geqslant 0$
$-6x+6\geqslant 0$
$6x\leqslant 6$
$x \leqslant 1$
Donc $f'(x)\geqslant 0$ sur $]-\infty;1]$ et $f'(x) \leqslant 0$ sur $[1;+\infty[$
– On en déduit le tableau de signes et de variation:
Avec: $f(1)=-3 \times 1^2+6 \times 1 – 7=-4 $
2) On a $f(x)=x^3-3x^2+4x-8$
$f$ est une fonction polynome donc définie est dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$ :
$f'(x)=3x^2-6x+4$
– On étudie le signe de $f’$:
On calcule $\Delta$ avec $\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=(-6)^2-4 \times 3 \times 4$
$\Delta = -12$
$\Delta <0$ donc $f'$ est du signe de $a$ sur $\mathbb R$. D'où $f'(x) \geqslant 0$.
– On en déduit le tableau de signe et de variation:
3) On a $f(x)=-2x^3+4x^2-2x$
$f$ est une fonction polynome, elle est donc définie et dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$:
$f'(x)=-6x^2+8x-2$
On étudie le signe de $f’$:
On calcule $\Delta$:$\Delta=b^2-4ac$
$=8^2-4 \times (-6) \times (-2)$
$=64-48$
$=16$
$\Delta>0$ donc le polynome admet deux racines $x_1$ et $x_2$.
\begin{align} x_1&=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a} && \text{ et } && x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\\ &=\frac {-8-\sqrt 16}{-12} && && =\frac {-8+\sqrt 16}{-12}&\\ x_1&=1 && && x_2 =\frac{1}{3} \end{align} Or un polynome est du signe de $a$ sauf entre ses racines.
On en déduit le tableau de signe et de variation.
avec $f(\frac{1}{3})=-2 \times (\frac{1}{3})^3+4 \times (\frac{1}{3})^2-2 \times \frac{1}{3}$
$=-\frac{2}{27}+\frac{4}{9}-\frac{2}{3}$
$=\frac{8}{27}$
et $f(1)=-2 \times 1 ^3 – 4 \times 1^2-2\times 1=0$
4) On a $f(x)=x^4-2x^3+x^2+3$
$f$ est une fonction polynome donc définie et dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$: $f'(x)=4x^3-6x^2+2x$
On factorise $f’:f'(x)=2x(2x^2-3x+1)$
On étudie le signe des deux facteurs:
\begin{align} 2x>0 && \text{ et } && \Delta = (-3)^2-4 \times 2 \times 1 \\ x>0 && && \Delta=9-8 \\ && && \Delta=1\\ \end{align} $\Delta>0$ donc deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$.
\begin{align} x_1&=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a} && \text{ et } && x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\\ &=\frac {3-\sqrt 1}{4} && && =\frac {3+\sqrt 1}{4}&\\ x_1&=1/2 && && x_2 =1 \end{align} On en déduit le tableau de signe et de variation:
avec $f(0)=3$
$f(1/2)=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+3$
$=\frac{49}{16}$
$f(1)=1-2+1+3=3$
$f$ est une fonction polynome, donc défine et dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$:
$f'(x)=-6x+6$
– On étudie le signe de $f’$ sur $\mathbb R$:
$f'(x) \geqslant 0$
$-6x+6\geqslant 0$
$6x\leqslant 6$
$x \leqslant 1$
Donc $f'(x)\geqslant 0$ sur $]-\infty;1]$ et $f'(x) \leqslant 0$ sur $[1;+\infty[$
– On en déduit le tableau de signes et de variation:
Avec: $f(1)=-3 \times 1^2+6 \times 1 – 7=-4 $
2) On a $f(x)=x^3-3x^2+4x-8$
$f$ est une fonction polynome donc définie est dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$ :
$f'(x)=3x^2-6x+4$
– On étudie le signe de $f’$:
On calcule $\Delta$ avec $\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=(-6)^2-4 \times 3 \times 4$
$\Delta = -12$
$\Delta <0$ donc $f'$ est du signe de $a$ sur $\mathbb R$. D'où $f'(x) \geqslant 0$.
– On en déduit le tableau de signe et de variation:
3) On a $f(x)=-2x^3+4x^2-2x$
$f$ est une fonction polynome, elle est donc définie et dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$:
$f'(x)=-6x^2+8x-2$
On étudie le signe de $f’$:
On calcule $\Delta$:$\Delta=b^2-4ac$
$=8^2-4 \times (-6) \times (-2)$
$=64-48$
$=16$
$\Delta>0$ donc le polynome admet deux racines $x_1$ et $x_2$.
\begin{align} x_1&=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a} && \text{ et } && x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\\ &=\frac {-8-\sqrt 16}{-12} && && =\frac {-8+\sqrt 16}{-12}&\\ x_1&=1 && && x_2 =\frac{1}{3} \end{align} Or un polynome est du signe de $a$ sauf entre ses racines.
On en déduit le tableau de signe et de variation.
avec $f(\frac{1}{3})=-2 \times (\frac{1}{3})^3+4 \times (\frac{1}{3})^2-2 \times \frac{1}{3}$
$=-\frac{2}{27}+\frac{4}{9}-\frac{2}{3}$
$=\frac{8}{27}$
et $f(1)=-2 \times 1 ^3 – 4 \times 1^2-2\times 1=0$
4) On a $f(x)=x^4-2x^3+x^2+3$
$f$ est une fonction polynome donc définie et dérivable sur $\mathbb R$.
– On calcule $f’$: $f'(x)=4x^3-6x^2+2x$
On factorise $f’:f'(x)=2x(2x^2-3x+1)$
On étudie le signe des deux facteurs:
\begin{align} 2x>0 && \text{ et } && \Delta = (-3)^2-4 \times 2 \times 1 \\ x>0 && && \Delta=9-8 \\ && && \Delta=1\\ \end{align} $\Delta>0$ donc deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$.
\begin{align} x_1&=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a} && \text{ et } && x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\\ &=\frac {3-\sqrt 1}{4} && && =\frac {3+\sqrt 1}{4}&\\ x_1&=1/2 && && x_2 =1 \end{align} On en déduit le tableau de signe et de variation:
avec $f(0)=3$
$f(1/2)=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+3$
$=\frac{49}{16}$
$f(1)=1-2+1+3=3$
Exercice 2🟠🟠⚪
Pour les fonctions suivantes, déterminer la fonction dérivée en précisant sur quel intervalle le calcul est possible puis étudier son signe afin d’en déduire le tableau de variation de la fonction.
1) $f(x)=\dfrac{x^2+2x+6}{x-1}$
2) $f(x) = 2x+2 – \dfrac{2}{x-3} $
3) $f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x-1}$
4)$f(x) = \sqrt {x-2} \sqrt {x-4} $
1) $f$ est une fonction quotient: sa valeur interdite est $x-1=0 \iff x=1$.
Elle est donc définie et dérivable sur $\mathbb R-\{1\}$.
On calcule $f’$:
$f$ est de la forme $\bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)’=\dfrac{ u’v-uv’}{v^2}$
avec $u(x) = x^2+2x+6$ donc $u'(x)= 2x+2$
et $v(x)= x-1$ donc $v'(x)=1$.
D’où $f'(x)= \dfrac{(2x+2)(x-1) – (x^2 + 2x+6)×1}{ (x-1)^2} $
$f'(x)=\dfrac{2x^2-2x+2x-2-x^2-2x-6}{ (x-1)^2} $
$f'(x) =\dfrac{x^2-2x-8}{(x-1)^2} $
On étudie le signe de $f’$ :
$(x-1)^2 \geqslant 0$ donc le signe de $f’$ est celui de son dénominateur.
On calcule $\Delta$ de $x² – 2x-8$.
$\Delta =b^2-4ac$
$\Delta=(-2^2)-4 \times 1 \times (-8)$
$\Delta=36$
$\Delta >0$ donc le polynome possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$.
$x_1=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}$ et
$x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a} =\frac {2-\sqrt 36}{2}=\frac {2-\sqrt 36}{2}$
On en déduit :
$x_1=-1$ et $x_2 =4$
On en déduit le tableau de signe et de variation:
\begin{align} \text{Avec } f(-2)&=\dfrac{(-2)^2+2\times (-2)+6}{-2-1}\ &=\dfrac{6}{-3}=-2 \end{align} \begin{align} \text{Et } f(4)&=\dfrac{(4)^2+2\times 4+6}{4-1}\ &=\dfrac{30}{3}=10 \end{align}
2) On a $f(x)=2x+2-\dfrac{2}{x-3}$
$f$ est la somme d’une fonction polynome et d’une fonction quotient.
Sa valeur interdite est: $x-3=0 \iff x = 3$
Elle est donc définie et dérivable sur $\mathbb R-\{1\}$.
– On calcule $f’$:
On sait que $(\frac{1}{v})’=-\frac{v’}{v^2}$.
Avec ici $v(x)=x-3$ donc $v'(x)=1$.
On en déduit que $f'(x)=2-2 \times \frac{-1}{(x-3)^2}$
D’où $f'(x)=2+\frac{2}{(x-3)^2}$
– On étudie le signe de $f’$ :
$(x-3) \geqslant 0$ et $2>0$
On déduit que $2+\dfrac{2}{(x-3)^2} >0$ sur $\mathbb{R}-\{3\}$
D’où le tableau de signe de variation suivant:
3) On a $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x-1}$
– On détermine l’ensemble de définition en cherchant à annuler le dénominateur.
$f$ est une fonction quotient, on résout $x^2+x-1=0$
$\Delta = 1^2-4 \times 1 \times (-1)=9$
$\Delta >0$ donc on obtient deux racines réelles $x_1$ et $x_2$.
\begin{align} x_1&=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a} && \text{ et } && x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\ &=\frac {-1-\sqrt 5}{2} && && =\frac {-1+\sqrt 5}{2}& \end{align} Donc $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb R-\{\frac{-1-\sqrt 5}{2};\frac{-1+\sqrt 5}{2}\}$.
On calcule $f’$:
$f$ est de la forme $(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$.
Avec $u(x)=x^2+x+1$ donc $u'(x)=2x+1$.
$v(x)=x^2+x-1$ donc $v'(x)=2x+1$.
On déduit que $f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+x-1)-(x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2+x-1)^2}$.
$f'(x)=\dfrac{2x^3+2x^2-2x+x^2+x-1-(2x^3+2x^2+2x-x^2-x-1)}{(x^2+x-1)^2}$.
$=\dfrac{-2x+x^2+x-1-2x+x^2+x+1}{(x^2+x-1)^2}$.
D’où $f'(x)=\dfrac{2x^2-2x}{(x^2+x-1)^2}$.
Finalement: $f'(x)=\dfrac{2x(x-1)}{(x^2+x-1)^2}$.
La dénomination est un carré donc positif sur $\mathbb R-\{\frac{-1-\sqrt 5}{2};\frac{-1+\sqrt 5}{2}\}$.
$f’$ est donc du signe de son numérateur:
$2x>0$ et $x-1>0$
$x>0$ et $x>1$
On en déduit le tableau de signe et de variation:
avec $f(0)=\frac{0^2+0+1}{0^2+0-1}=-1$.
et $f(1)=\frac{1^2+1+1}{1^2+1-1}=3$.
4) On a $f(x)=\sqrt{x-2} \sqrt{x-4}$
-$f$ est définie si
$x-2 \geqslant0$ et $x-4 \geqslant 0$
et dérivable si
$x-2 >0$ et $x-4>0$.
Donc $f$ est définie sur $[4;+ \infty[$ et dérivable sur $]4;+\infty[$.
– On calcule $f’$: on pose $u(x)=\sqrt{x-2}$ et $v(x)=\sqrt{x-4}$
$\sqrt{x-2}$ et $\sqrt{x-4}$ sont de la forme $(f(ax+b))’=af'(ax+b)$
donc $u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ et $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-4}}$
Or $f$ est de la forme $(uv’)=u’v+uv’$
-On en déduit que $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4} \times \sqrt{1}{2\sqrt{x-4}}$
$f'(x)=\dfrac{\sqrt{x-4}}{2\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{2\sqrt{x-4}}$
-On étudie le signe de $f’$
On sait que $\sqrt{ax+b}>0$ sur son ensemble de définition $[-\frac{a}{b};+\infty[$.
– On en déduit le tableau de signe et de variation:
Elle est donc définie et dérivable sur $\mathbb R-\{1\}$.
On calcule $f’$:
$f$ est de la forme $\bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)’=\dfrac{ u’v-uv’}{v^2}$
avec $u(x) = x^2+2x+6$ donc $u'(x)= 2x+2$
et $v(x)= x-1$ donc $v'(x)=1$.
D’où $f'(x)= \dfrac{(2x+2)(x-1) – (x^2 + 2x+6)×1}{ (x-1)^2} $
$f'(x)=\dfrac{2x^2-2x+2x-2-x^2-2x-6}{ (x-1)^2} $
$f'(x) =\dfrac{x^2-2x-8}{(x-1)^2} $
On étudie le signe de $f’$ :
$(x-1)^2 \geqslant 0$ donc le signe de $f’$ est celui de son dénominateur.
On calcule $\Delta$ de $x² – 2x-8$.
$\Delta =b^2-4ac$
$\Delta=(-2^2)-4 \times 1 \times (-8)$
$\Delta=36$
$\Delta >0$ donc le polynome possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$.
$x_1=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}$ et
$x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a} =\frac {2-\sqrt 36}{2}=\frac {2-\sqrt 36}{2}$
On en déduit :
$x_1=-1$ et $x_2 =4$
On en déduit le tableau de signe et de variation:
\begin{align} \text{Avec } f(-2)&=\dfrac{(-2)^2+2\times (-2)+6}{-2-1}\ &=\dfrac{6}{-3}=-2 \end{align} \begin{align} \text{Et } f(4)&=\dfrac{(4)^2+2\times 4+6}{4-1}\ &=\dfrac{30}{3}=10 \end{align}
2) On a $f(x)=2x+2-\dfrac{2}{x-3}$
$f$ est la somme d’une fonction polynome et d’une fonction quotient.
Sa valeur interdite est: $x-3=0 \iff x = 3$
Elle est donc définie et dérivable sur $\mathbb R-\{1\}$.
– On calcule $f’$:
On sait que $(\frac{1}{v})’=-\frac{v’}{v^2}$.
Avec ici $v(x)=x-3$ donc $v'(x)=1$.
On en déduit que $f'(x)=2-2 \times \frac{-1}{(x-3)^2}$
D’où $f'(x)=2+\frac{2}{(x-3)^2}$
– On étudie le signe de $f’$ :
$(x-3) \geqslant 0$ et $2>0$
On déduit que $2+\dfrac{2}{(x-3)^2} >0$ sur $\mathbb{R}-\{3\}$
D’où le tableau de signe de variation suivant:
3) On a $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x-1}$
– On détermine l’ensemble de définition en cherchant à annuler le dénominateur.
$f$ est une fonction quotient, on résout $x^2+x-1=0$
$\Delta = 1^2-4 \times 1 \times (-1)=9$
$\Delta >0$ donc on obtient deux racines réelles $x_1$ et $x_2$.
\begin{align} x_1&=\frac{-b-\sqrt \Delta}{2a} && \text{ et } && x_2 =\frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\ &=\frac {-1-\sqrt 5}{2} && && =\frac {-1+\sqrt 5}{2}& \end{align} Donc $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb R-\{\frac{-1-\sqrt 5}{2};\frac{-1+\sqrt 5}{2}\}$.
On calcule $f’$:
$f$ est de la forme $(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$.
Avec $u(x)=x^2+x+1$ donc $u'(x)=2x+1$.
$v(x)=x^2+x-1$ donc $v'(x)=2x+1$.
On déduit que $f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+x-1)-(x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2+x-1)^2}$.
$f'(x)=\dfrac{2x^3+2x^2-2x+x^2+x-1-(2x^3+2x^2+2x-x^2-x-1)}{(x^2+x-1)^2}$.
$=\dfrac{-2x+x^2+x-1-2x+x^2+x+1}{(x^2+x-1)^2}$.
D’où $f'(x)=\dfrac{2x^2-2x}{(x^2+x-1)^2}$.
Finalement: $f'(x)=\dfrac{2x(x-1)}{(x^2+x-1)^2}$.
La dénomination est un carré donc positif sur $\mathbb R-\{\frac{-1-\sqrt 5}{2};\frac{-1+\sqrt 5}{2}\}$.
$f’$ est donc du signe de son numérateur:
$2x>0$ et $x-1>0$
$x>0$ et $x>1$
On en déduit le tableau de signe et de variation:
avec $f(0)=\frac{0^2+0+1}{0^2+0-1}=-1$.
et $f(1)=\frac{1^2+1+1}{1^2+1-1}=3$.
4) On a $f(x)=\sqrt{x-2} \sqrt{x-4}$
-$f$ est définie si
$x-2 \geqslant0$ et $x-4 \geqslant 0$
et dérivable si
$x-2 >0$ et $x-4>0$.
Donc $f$ est définie sur $[4;+ \infty[$ et dérivable sur $]4;+\infty[$.
– On calcule $f’$: on pose $u(x)=\sqrt{x-2}$ et $v(x)=\sqrt{x-4}$
$\sqrt{x-2}$ et $\sqrt{x-4}$ sont de la forme $(f(ax+b))’=af'(ax+b)$
donc $u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$ et $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-4}}$
Or $f$ est de la forme $(uv’)=u’v+uv’$
-On en déduit que $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4} \times \sqrt{1}{2\sqrt{x-4}}$
$f'(x)=\dfrac{\sqrt{x-4}}{2\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{2\sqrt{x-4}}$
-On étudie le signe de $f’$
On sait que $\sqrt{ax+b}>0$ sur son ensemble de définition $[-\frac{a}{b};+\infty[$.
– On en déduit le tableau de signe et de variation:
Exercice 3 🟠🟠⚪
On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;2 [$ par la courbe représentative ci-dessous:
1) Dresse son tableau de variation.
2) Déduis en le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs de $X$.
3) Détermine un intervalle sur lequel $f$ est positive et $f’$ est négative.
4) Détermine un intervalle sur lequel $f$ et $f’$ sont négatives.
1) On dresse le tableau de variation de $f$:
2) On sait que:
$f$ croissante $\iff f'(x) \geqslant 0$ et $f$ décroissante $\iff f'(x) \leqslant 0$.
On déduit le tableau de signes suivant:
3) D’après le tableau de signe de $f'(x)$ et la courbe représentative de $f$, $f'(x) \leqslant 0$ et $f(x)\geqslant 0$, sur $[-1;0]$.
4) D’après le tableau de signe de $f'(x)$ et la courbe représentative de $f$. $f'(x) <0$ et $f(x) \leqslant 0 $ sur $[0:1]$.