Intégrale d'une fonction quelconque

Exercice 1🟢​⚪​⚪

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=xe^{x}
\quad$ et $\quad g(x)=x^2e^x$

1. Montrer que pour $x \geq 1$, $f(x) \leq g(x)$
2. Qui est plus grand ? $\int_1^3f(x)dx $ ou $\int_1^3g(x)dx$.

1. Comme $1 \leq x$, $x \leq x^2$ et par positivité de $e^x$, $xe^x \leq x^2e^x$, $f(x) \leq g(x)$
2. Par propriété de croissance de l’intégrale : $\int_1^3f(x)dx \leq \int_1^3g(x)dx$

Exercice 2​🟠🟠​⚪​

Calculer les intégrales suivantes :

1. $I_1=\int_{-1}^{2}\left(t^3\right) d t$
2. $I_2=\int_{-1}^{1} \dfrac{x}{\sqrt{x^2}+4} \mathrm{~d} x$
3. $I_3=\int_{1}^{2} \dfrac{x+1}{\left(x^{2}+2x\right)} d x$

1. On a $I_1 = \left [ \dfrac{t^4}{4} \right ]_{-1}^{2} = 4-\frac{1}{4} = \frac{15}{4}$
2. On a $I_2 =\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \dfrac{2x}{\sqrt{x^2}+4} \mathrm{~d} x = \frac{1}{2}\left [ \ln(x^2+4)\right ]_{-1}^1 = \frac{1}{2}\left ( \ln(5) – \ln(5) )\right )=0$
3. $I_3 = \frac{1}{2 }\int_{1}^{2} \dfrac{2x+2}{\left(x^{2}+2x\right)} d x = \frac{1}{2 } \left [ \ln(x^2+2x)\right ]_{1}^2 = \frac{1}{2} \left ( \ln(8) – \ln(3) \right )=\dfrac{\ln(\dfrac{8}{3})}{2} $

Exercice 3🟢​⚪​⚪

1. Trouver des réels $a, b$ tels que : $\frac{4 x^{2}+12 x+8}{x+2}=a x+b$
2. En déduire la valeur de : $ \int_{-3}^{0} \frac{4 x^{2}+12 x+8}{x+2} \mathrm{~d} x$

1. On peut réaliser une identification : $\frac{4 x^{2}+12 x+8}{x+2}=a x+b$ si et seulement si $4 x^{2}+12 x+8 = (x+2)(ax+b)$ autrement dit : $4 x^{2}+12 x+8 = ax^2+ (b+2a)x + 2b$ et donc $a=4$ et $b=4$
2. $I=\int_{-3}^{0} \frac{4 x^{2}+12 x+8}{x+2} \mathrm{~d} x = \int_{-3}^{0} 4x+4 \mathrm{~d} x = \left [ 2x^2 + 4x \right ]_{-1}^0$
   $= 2 \times 0^2 + 4\times 0 – \left ( 2\times (-3)^2 + 4 \times (-3)\right ) = 0 – (18-12) = -6$

Exercice 4​🟠🟠​⚪​

1. Trouver des réels $a, b,c$ tels que : $\frac{x^{2}-5 x+6}{x+1}=a x+b+\dfrac{c}{x+1}$
2. En déduire la valeur de : $ \int_{0}^{2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x+1} \mathrm{~d} x$

1. On peut réaliser une identification : $\frac{x^{2}-5 x+6}{x+1}=a x+b+\dfrac{c}{x+1}$ si et seulement si $x^{2}-5 x+6 = (x+1)\left (a x+b+\dfrac{c}{x+1}\right )$
   Autrement dit : $x^{2}-5 x+6 = ax^2 + (b+a)x + b+c$ et donc il faut résoudre le système suivant : $$\begin{cases} a=1 \\ a+b = -5 \\ b+c = 6\end{cases}$$
   On trouve donc $b = -5-a = -6$ et $c = 6-b = 6-(-6) = 12$
   On peut ainsi dire que $\frac{x^{2}-5 x+6}{x+1} = x -6+\dfrac{12}{x+1}$
2. $\int_{0}^{2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x+1} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{2} x -6+\dfrac{12}{x+1} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{2} x -6 \mathrm{~d} x + \int_{0}^{2} \dfrac{12}{x+1} \mathrm{~d} x$ par linéarité.
   On calcule ainsi séparément les deux intégrales : $$\int_{0}^{2} x -6 \mathrm{~d} x = \left [\frac{x^2}{2}-6x\right ]_0^2 = \frac{2^2}{2} – 6\times 2- \left ( \frac{0^2}{2}-6\times0\right ) = 2-12 – 0 = -10$$ et $ \int_{0}^{2} \dfrac{12}{x+1} \mathrm{~d} x = \left [ \frac{1}{12}\ln(x+1)\right ]_0^2 = \frac{1}{12} \left (\ln(3) -\ln(1) \right ) = \dfrac{\ln(3)}{12}$
   On peut donc conclure : $ \int_{0}^{2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x+1} \mathrm{~d} x = -10 + \dfrac{\ln(3)}{12}$