Propriétés
Regardons maintenant quelques propriétés de notre nouvelle définition de l’intégrale.
I Propriétés
Relation de Chasles
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Soit $c$ un réel entre $a$ et $b$.
On a la relation de Chasles :
$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x = \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x + \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$
Propriété de linéarité de l’intégrale
Soit $f,g $ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et $\lambda$ un réel.
L’intégrale vérifie la propriété :
$\int_{a}^{b}f(x) + g(x) \mathrm{d} x= \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x + \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x $ $\int_{a}^{b} \lambda \times f(x) \mathrm{d} x = \lambda\times\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x $
Question flash ⚡️
Quelle est la valeur de l’intégrale $\int_0^1 x + x^2 \mathrm{d} x$?
Par linéarité de l’intégrale, comme : $\int_0^1 x \mathrm{d} x = \dfrac{1}{2}$ et $\int_0^1 x^2 \mathrm{d} x = \dfrac{1}{3}$, on déduit que $\int_0^1 x + x^2 \mathrm{d} x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$.
Propriété de positivité de l’intégrale
Elle est juste une conséquence de la définition de l’intégrale dans le cas positif. Soit $f$ une fonction positive continue sur un intervalle $I=[a,b]$.
Alors:
$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \geq 0$
Question flash ⚡️
Quelle est le signe de l’intégrale $\int_0^1 x^2 \mathrm{d} x$
Bien joué ! La fonction $x\mapsto x^2$ est positive sur $[0,1]$ donc par positivité de l’intégrale, l’intégrale est bien positive.
La fonction $x\mapsto x^2$ est positive sur $[0,1]$ donc par positivité de l’intégrale, l’intégrale est positive.
Propriété de croissance de l’intégrale
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I=[a,b]$ tel que $f
\leq g$ sur $I$. Alors:
$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b g(x) \mathrm{d} x $
II Théorème fondamental
Le même théorème fondamental pour les fonctions positives est toujours vrai pour les fonctions de signe quelconque, l’hypothèse fondamentale reste toujours la continuité.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I = [a,b]$. 1. La fonction définie par: $$F_a : x \mapsto \int_a^x f(t) \mathrm{d} t,$$ est une primitive de la fonction $f$. 2. Pour toute fonction primitive $F$ de $f$, on a: $$ \int_a^b f(t) \mathrm{d} t = F(b) – F(a)$$
Ainsi, la méthode pour le calcul de l’intégrale d’une fonction quelconque reste exactement identique à celle pour les fonctions positives!
Question flash ⚡️
Quelle est la valeur de l’intégrale $\int_0^{\frac{3\pi}{2}} sin(x) \mathrm{d} x$?
Bien joué ! La fonction $x\mapsto \sin (x)$ admet bien comme primitive $x\mapsto -\cos (x)$. Ainsi par le théorème fondamental, $\int_0^{\frac{3\pi}{2}} sin(x) \mathrm{d} x = -\cos (\frac{3\pi}{2}) + cos(0) = 1$.
La fonction $x\mapsto \sin (x)$ admet comme primitive $x\mapsto -\cos (x)$. Ainsi par le théorème fondamental, $\int_0^{\frac{3\pi}{2}} sin(x) \mathrm{d} x = -\cos (\frac{3\pi}{2}) + cos(0) = 1$.
Bien joué ! Par linéarité de l’intégrale, comme : $\int_0^1 x \mathrm{d} x = \dfrac{1}{2}$ et $\int_0^1 x^2 \mathrm{d} x = \dfrac{1}{3}$, on déduit que $\int_0^1 x + x^2 \mathrm{d} x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$.