Intégrale d'une fonction quelconque

Maintenant, nous allons nous intéressés au cas général d’une fonction de signe quelconque sur un intervalle $I=[a,b]$.

I Définition

Commençons d’abord par rappeler une propriété du chapitre précédent.

Toutes les fonctions continues admettent des primitives.

Avec cette indication, on peut introduire la définition d’une intégrale pour une fonction de signe quelconque:

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a,b]$ de signe quelconque.
Notons $F$ une primitive de $f$ quelconque (elle existe bien d’après ce qui précéde).
Alors, on appellera intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)- F(a)$ et on notera cette intégrale par: $$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = F(b) – F(a).$$

Rappelons que toutes les primitives d’une fonction sont distinctes à une constante près. Ainsi la différence $F(b) – F(a)$ à la même valeur peut importe la primitive $F$ choisie.  Donc la définition est bien cohérente (elle ne dépend pas du choix d’une primitive).

De plus, dans le cas où $f$ positive, par le théorème du chapitre précédent, cette définition coïncide bien avec la définition donnée pour l’intégrale d’une fonction positive continue.

II Interprétation géométrique

Cette fois l’intégrale ne nous donne pas exactement l’aire sous la courbe de $f$ puisque notre fonction n’est pas de signe fixe, donc on ne peut pas se servir de l’interprétation donnée pour les intégrales de fonctions positives continues qui correspondent exactement à l’aire sous la courbe. En effet, avec cette définition, on a toujours:

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a,b].$
Si $f \geq 0$ sur $I$ , alors l’aire sous la courbe qu’on note $A$, est:
$$A = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x.$$
Si $f \leq 0$ sur $I$ , alors l’aire au dessus de la courbe, qu’on note $B$, s’écrit:
$$B = – \int_a^b f(x) \mathrm{d} x.$$

Maintenant, la question est si on veut avoir l’aire totale en dessous et au dessus de la courbe d’une fonction. L’idée est de simplement se servir de la relation de Chasles. On détermine les différents intervalles où $f$ est positive et les intervalles où elle est négative et, sur chaque intervalle, déterminer l’aire avec la propriété précédente.

Question flash ⚡️

Quelle est la valeur de l’intégrale de la fonction $f$ du graphique $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x $ ?