L’ombre d’un bâton sur le sol 🏖️
1. Ombre d’un bâton sur le sol
[insert_checkmark]Considérons un bâton incliné par rapport au sol, et supposons que le soleil est au zénith.
Comme le bâton est incliné, il va projeter une ombre sur le sol.
Ici, le bâton est représenté par le vecteur vert, et le sol est représenté par le vecteur bleu.
L’ombre du bâton est ici représentée en rouge. On l’appelle projection orthogonale du bâton sur le sol. Le terme “orthogonal” vient du fait que le rayon de lumière qui projette l’ombre est orthogonal au sol.
Question flash ⚡️
Plus le bâton est incliné, plus la projection est
Faisons un schéma plus géométrique de la situation :
Ici, $\overrightarrow{OH}$ est la projection orthogonale de $\overrightarrow{OB}$ selon la direction $(OA)$.
Question flash ⚡️
Dans cette situation, de quoi dépend la longueur $OH$ ?
La longueur $OB$ du bâton influe sur la longueur de sa projection. En fait, on peut même facilement voir qu’elles sont proportionnelles. L’inclinaison du bâton, donc l’angle $\theta$ influe également sur la longueur de la projection. En revanche, la longueur $OA$ n’influe pas. Le vecteur $\vec{OA}$ sert ici uniquement à définir la direction selon laquelle $\vec{OB}$ est projeté.
2. Calcul de la projection
Essayons maintenant de calculer cette projection. Pour ce faire, il suffit en fait de se rappeler du cercle trigonométrique.
Ici, le cercle est de rayon $OB$. On peut alors exprimer la longueur $OH$ en fonction du rayon du cercle et de l’angle $\theta$ selon une formule trigonométrique.
Question flash ⚡️
Comment s’exprime la longueur $OH$ en fonction des autres données de la figure ?
D’après les formules du cercle trigonométrique, l’abscisse d’un point du cercle est donnée par le produit de son rayon et du cosinus de l’angle. On a donc $OH=OB\times\cos\theta$.
D’après les formules du cercle trigonométrique, l’abscisse d’un point du cercle est donnée par le produit de son rayon et du cosinus de l’angle. On a donc $OH=OB\times\cos\theta$.
3. Projection sur n’importe quelle direction
Dans l’exemple précédent, on considérait la projection d’un bâton sur le sol, soit, la direction horizontale. En fait, on peut définir la projection d’un vecteur selon n’importe quelle direction.
Il suffit pour cela de disposer d’un vecteur $\overrightarrow{OB}$ à projeter, et d’une droite $(OA)$ sur laquelle projeter.
Question flash ⚡️
Notons $\varphi$ l’angle de $\overrightarrow{OA}$ par rapport à l’horizontale. Que devient la formule précédente pour calculer $OH$ ?
Rien n’a changé ! C’est exactement la même figure vue sous un autre angle, comme si on avait tourné la tête. La formule pour calculer $OH$ reste donc la même, et l’angle $\varphi$ n’a aucune importance !
En fait rien n’a changé ! C’est exactement la même figure vue sous un autre angle, comme si on avait tourné la tête. La formule pour calculer $OH$ reste donc la même, et l’angle $\varphi$ n’a aucune importance !
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