introduction

Exercice 1 🟢​⚪​⚪

On considère trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $AB=4$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$.
Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

$\begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\\ &=4\times 3 \times \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \\ &=12\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &=6\sqrt{2}\end{align*}$

Exercice 2 🟢​⚪​⚪

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de norme $1$, tels que $\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}$.
Que vaut l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ ?

On a $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1$ donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\vec{u},\vec{v})=\cos(\vec{u},\vec{v})$, soit : $\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{1}{2}$.
Cela équivaut à $(\vec{u},\vec{v})=\pm\dfrac{\pi}{3}$ modulo $2\pi$.

Exercice 3 🟠🟠​⚪

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=5$ et $BC=2$.

Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$ est égal au produit de $AB$ par la longueur du projeté orthogonal de $\overrightarrow{AC}$ sur la droite $(AB)$.
Or, le projeté orthogonal du vecteur $\vec{AC}$ sur la droite $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}$, et sa longueur est $AB$.
Ainsi, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=AB\times AB=5\times 5=25$

Exercice 4 🟠🟠​⚪

On donne $BC=4$ et $\widehat{BAD}=30°$. Calculer la longueur $DE$.

Le segment $[DE]$ est le projeté orthogonal du segment $[BC]$ sur la droite $(AE)$.
Comme $\vec{AE}$ est un vecteur directeur de la droite $(AE)$, on a alors :
$DE=\dfrac{\vec{BD}\cdot\vec{AE}}{\|\vec{AE}\|}=\dfrac{BD\times AE\times\cos\widehat{BAD}}{AE}=BD\times\cos\widehat{BAD}=4\times\cos(30°)=4\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$