Définition du produit scalaire

1. Définition

Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Le produit scalaire entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est le nombre réel défini par la formule suivante :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$

Ainsi, le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est un nombre réel, positif ou négatif.
Comme $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ est compris entre $-1$ et $1$, le produit scalaire prend des valeurs entre $-\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$ et $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$.

Questions Flash ⚡️

Plus l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est proche de $90°$, plus le produit scalaire est…

Bravo, bonne réponse !
En effet, pour un angle proche de $90°$, le cosinus est proche de $0$, donc le produit scalaire est proche de $0$, c’est-à-dire petit.
Ce n’est pas encore la bonne réponse.💁

Pour quel angle le produit scalaire est-il maximal ?

Woah tu gères !🎯​
Le cosinus varie entre $-1$ et $1$, donc le produit scalaire est maximal lorsque le cosinus vaut $1$, c’est-à-dire lorsque l’angle vaut $0°$.
Ce n’est pas encore la bonne réponse.💁

2. Lien avec la notion de projection

La définition du produit scalaire est liée à la notion de projection que nous avons abordée précédemment. Reprenons le schéma sur lequel nous avons travaillé.

👆 Tu peux bouger le point $B$ pour voir comment cela influe sur la projection orthogonale (le vecteur en rouge), ainsi que le point $A$ pour orienter la droite différemment.

$\overrightarrow{OH}$ est le projeté orthogonal de $\overrightarrow{OB}$ sur $\overrightarrow{OB}$.

Le produit scalaire $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}$ peut être vu comme le produit de la longueur $OA$ par la longueur $OH$ (avec un signe moins si $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OH}$ sont dans des sens opposés).

  • Si $\overrightarrow{OH}$ et $\overrightarrow{OA}$ sont de même sens :

$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA} = \|\overrightarrow{OH}\|\cdot\|\overrightarrow{OA}\|$

  • Si $\overrightarrow{OH}$ et $\overrightarrow{OA}$ sont de sens opposé :

$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA} = -\|\overrightarrow{OH}\|\cdot\|\overrightarrow{OA}\|$

Autrement dit, pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est le produit de la norme de $\vec{v}$ par la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$.

Question flash ⚡️

Sur le schéma ci-dessus, comment s’exprime la longueur en rouge en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

Bravo, tu as bien compris !✔️​
Comme expliqué ci-dessus, $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est le produit de $\|\vec{v}\|$ par la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$. Donc $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ est égale à la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$, qui est exactelement la quantité recherchée.
Ce n’est pas exactement cela. Pas grave, retente !🤓 Comme expliqué ci-dessus, $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est le produit de $\|\vec{v}\|$ par la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$. Donc $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ est égale à la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$, qui est exactelement la quantité recherchée.

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