Manipulation des intégrales

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ : $\mu := \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) d x$

Cette notion est très importante en physique, elle permet de donner une idée de la valeur envoyée d’un signal oscillant et irrégulier.

Inégalité de la moyenne

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $m,M$ deux réels, si $\forall x \in [a,b]$ $ m \leq f(x) \leq M$ :
On a $m(b-a) \leq\int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) $ (on utilise la croissance de l’intégrale) et donc $m \leq \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) d x \leq M $.
Ainsi, la valeur moyenne d’une fonction est bornée par les valeurs extrémales de la fonction.

On peut vérifier graphiquement cette propriété, bougez les points $A$ et $B$ qui correspondent aux valeurs $m$ et $M$ dans l’inégalité, on peut observer que la moyenne est toujours entre les deux valeurs !