Manipulation des intégrales

I L’intégration par partie (IPP)

Malgré toutes les propriétés que nous avons vu sur les intégrales, des fois, il peut être délicat de trouver une primitive, c’est le cas quand la fonction qu’on cherche à intégrer n’arrive pas à s’exprimer sous la forme d’une formule que l’on connait (par exemple, des multiplications d’un polynôme et d’une exponentielle, division d’un logarithme et d’une exponentielle)

Dans ce cas type de cas on un nouvelle technique qu’on appelle l’intégration par parties.

Formule d’intégration par parties

Soit $f,g$ deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ et de dérivées continues.
On a $$\int_{a}^{b} f'(x)g(x) \mathrm{d} x = {[f(x)g(x)]^b}_a – \int_{a}^{b} f(x)g'(x) \mathrm{d} x$$ On définit $[f(x)g(x)]_a^b$ comme étant égale à $f(b)g(b) – f(a)g(a)$.

En fait, cette expression vient de la formule de la dérivée d’un produit de fonction. On a $(fg)’ = f’g +fg’$ et en utilisant le fait que $\int_{a}^{b} (fg)’ d x = f(b)g(b) – f(a)g(a)$, on obtient : ${[f(x)g(x)]^b}_a = \int_{a}^{b} f'(x)g(x) d x +\int_{a}^{b} f(x)g'(x) d x$ et donc $\int_{a}^{b} f'(x)g(x) d x = {[f(x)g(x)]^b}_a – \int_{a}^{b} f(x)g'(x) d x$

On utilise l’intégration par parties quand on voit que la fonction à intégrer s’écrit comme le produit de deux fonctions avec une première dont on reconnaît une primitive simple et la deuxième fonction une fonction dont la dérivée est encore plus simple.

Voici une liste non exhaustive de cas où on utilise l’intégration par parties :

1. Un polynôme fois une autre fonction :
plus on dérive un polynôme plus il est simple à exprimer ce qui motive l’intégration par parties.  Ainsi pour le calcul des intégrales des fonctions du type $x \mapsto x^n\exp{x}$, on procédera par intégration par parties.

2. Lorsqu’on a des logarithmes fois une autre fonction :
le logarithme a la particularité de changer de classe de fonction lorsqu’on les dérive. En effet,  la dérivée du logarithme est $x \mapsto \dfrac{1}{x}$. Cela nous permet de manipuler l’inverse d’un polynôme et qui est plus agréable à manipuler.

II Exemple d’utilisation de l’IPP

On cherche à calculer l’intégrale suivante : $$\int_e^{2e} ln(x) \mathrm{d} x$$

On ne connaît pas de primitive usuelle du logarithme donc on va procéder par intégration par parties. Tout d’abord remarquons qu’on peut écrire:
$$\int_e^{2e} ln(x) \mathrm{d} x = \int_e^{2e} 1 \times ln(x) \mathrm{d} x $$.
Identifions maintenant les fonctions qu’on a.

Ici, on cherche à dériver le logarithme donc, d’après la formule, on va considèrer que le logarithme c’est la fonction $g$ qui sera dérivée. De plus $x \mapsto x$ est une primitive de la fonction constante $1$, donc : $$ \left\{ \begin{array}{ll} f'(x) = 1 \\ g(x) = ln(x) \end{array} \right. $$

Maintenant qu’on a identifié les différentes parties, regardons en quelles fonctions l’intégrale va se convertir lors de l’intégration par parties :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} f(x) = x \\ g'(x) = \dfrac{1}{x} \end{array} \right. $$

On a bien les fonctions $f : x \mapsto$ et $g : x \mapsto ln(x)$ qui sont bien dérivables et de dérivée continue sur l’intervalle $I = [e,2e]$, donc on peut appliquer l’intégration par parties:
$$\int_e^{2e} ln(x) \mathrm{d} x = [x \times ln(x)]_e^{2e} – \int_e^{2e} x
\times \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x $$

Donc :
$\int_e^{2e} ln(x) \mathrm{d} x = 2e \times ln(2e) – e \times ln(e) – \int_e^{2e} 1 \mathrm{d} x$
$= 2e \times (1 + ln(2)) – e \times 1 – (2e – e) = 2e + 2e\times ln(2) – e – e = 2e\times ln(2)$