Pairs et impairs

Nous allons nous demander dans ce cours quelle est la parité de $n^2$ en fonction de celle de $n\in\mathbb{Z}$.

1. Propriété des nombres pairs

Soit $n\in\mathbb{Z}$. Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.

Si $n$ est pair, alors on peut écrire $n=2k$, et donc $n^2=(2k)^2=2^2k^2=2(2k^2)$, et comme $2k^2\in\mathbb{Z}$, alors $n^2$ est pair.

 Question flash ⚡️

$378^2$ est :

2. Propriété des nombres impairs

Soit $n\in\mathbb{Z}$. Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.

Si $n$ est impair, alors on peut écrire $n=2k+1$, et donc, en utilisant l’identité remarquable :
$n^2=(2k+1)^2=(2k)^2+2\times(2k)\times1+1^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$,
et comme $2k^2+2k\in\mathbb{Z}$, alors $n^2$ est impair.

 Question flash ⚡️

$123^2$ est :

Nous avons donc traité l’intégralité des cas possible, étant donné qu’un entier $n\in\mathbb{Z}$ est nécessairement soit pair soit impair. Or, ces deux propriétés combinées nous permettent d’en écrire une troisième un peu plus puissante :

3. Propriété (équivalence)

Soit $n\in\mathbb{Z}$. Alors $n^2$ a la même parité que $n$.

Autrement dit :

• $n^2$ est pair si et seulement si $n$ est pair.
• $n^2$ est impair si et seulement si $n$ est impair

L’implication “$n$ pair $\Longrightarrow$ $n^2$ pair” est réside dans la première propriété.

Réciproquement, si $n^2$ est pair, on a a priori deux choix possibles pour $n$ : soit $n$ est pair, soit $n$ est impair. Or le deuxième cas est impossible, car d’après la deuxième propriété, si $n$ était impair, alors $n^2$ serait impair. Donc nécessairement, $n$ est pair.

L’implication “$n$ impair $\Longrightarrow$ $n^2$ impair” est réside dans la deuxième propriété.

Réciproquement, si $n^2$ est impair, on a a priori deux choix possibles pour $n$ : soit $n$ est pair, soit $n$ est impair. Or le premier cas est impossible, car d’après la première propriété, si $n$ était pair, alors $n^2$ serait pair. Donc nécessairement, $n$ est impair.

 Question flash ⚡️

Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $n^2$ est impair. Alors $n$ est :

Généralisation 🌶️

En fait, tout ce que l’on a fait là reste valable pour n’importe quelle puissance $k\in\mathbb{N}^*$ : $n$ est pair si et seulement si $n^k$ est pair, et $n$ est impair si et seulement si $n^k$ est impair, mais la démonstration de cette propriété plus générale n’est pas encore à ton programme.