C’est quoi, la parité ?
1. Être pair ou impair
La définition d’un nombre pair est très simple, et tu la connais probablement déjà. 😉
Nombre pair
📘 La parité c’est l’autre nom pour parler de la divisibilité par $2$ !
Soit $n\in\mathbb{Z}$ un entier relatif. On dit que $n$ est pair s’il est divisible par $2$, c’est-à-dire s’il existe un entier $k$ tel que :
$n=2k$
Et qu’est-ce qu’alors un nombre impair ? Un nombre qui n’est pas pair, évidemment. Mais c’est en fait plus que cela. On peut caractériser les nombres impairs bien mieux que cela, et c’est en partie cela qui fait l’intérêt d’étudier la parité !👉
Nombre impair
Soit $n\in\mathbb{Z}$ un entier relatif. On dit que $n$ est impair s’il n’est pas divisible par $2$ (autrement dit s’il n’est pas pair).
De manière équivalente, $n$ est impair si et seulement si il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que :
$n=2k+1$
Supposons que $n$ n’est pas pair. Alors $\dfrac{n}{2}$ n’est pas entier. Soit $k$ le plus grand entier inférieur à $n$. $k$ est alors nécessairement strictement inférieur à $\dfrac{n}{2}$ (car s’il y était égal, $n$ serait pair). Alors on a :
– D’une part, comme $k<\dfrac{n}{2}$, alors $2k<n$, mais comme il s’agit d’une inégalité entre entiers, cela revient à dire que $2k\leq n-1$, soit : $2k+1\leq n$
– D’autre part, $k+1>\dfrac{n}{2}$, car sinon $k$ ne serait pas le plus petit entier inférieur à $\dfrac{n}{2}$.
Alors, $2k+2>n$, mais comme il s’agit d’une inégalité entre entiers, cela revient à dire que $2k+2\geq n+1$.
Soit : $2k+1\geq n$
Finalement, on a à la fois $2k+1\leq n$ et $2k+1\geq n$, donc $n=2k+1$.
Réciproquement, s’il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$, alors $\dfrac{n}{2}=k+\dfrac{1}{2}$, qui n’est pas un entier, donc $n$ est impair.
Questions flash ⚡️
La somme de deux nombres pairs est :
La somme de deux nombres impairs est :
En effet, soient $m$ et $n$ deux nombres impairs. On peut écrire $m=2k+1$ et $n=2\ell+1$, avec $k,\ell\in\mathbb{Z}$, et donc $m+n=(2k+1)+(2\ell+1)=2k+2\ell+2=2(k+\ell+1)$, donc comme $k+\ell+1\in\mathbb{Z}$, alors $m+n$ est pair.
La somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est :
En effet, soient $m$ et $n$ deux nombres pair et impair respectivement. On peut écrire $m=2k$ et $n=2\ell+1$, avec $k,\ell\in\mathbb{Z}$, et donc $m+n=2k+(2\ell+1)=2k+2\ell+1=2(k+\ell)+1$, donc comme $k+\ell\in\mathbb{Z}$, alors $m+n$ est impair.
2. Alternance des nombres pairs et impairs
Si l’on s’intéresse à l’ordre dans lequel apparaissent les nombres pairs et impairs dans $\mathbb{Z}$, on remarque que les nombres pairs et les nombres impairs s’alternent exactement.
Ainsi, un nombre pair est toujours entouré par deux nombres impairs, et un nombre impair est toujours entouré par deux nombres pairs.
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En effet, soient $m$ et $n$ deux nombres pairs. On peut écrire $m=2k$ et $n=2\ell$, avec $k,\ell\in\mathbb{Z}$, et donc $m+n=2k+2\ell=2(k+\ell)$, donc comme $k+\ell\in\mathbb{Z}$, alors $m+n$ est pair.