Exercices
Exercice 1 🟢⚪⚪
Pour chacun des nombres suivants, dire s’ils sont pairs ou impairs : $2415+1637$, $37^2$, $\sqrt{36}$, $\dfrac{378}{3}$, $117^2-8$.
1. $2415$ est impair et $1637$ est impair, donc leur somme est paire.
2. $37$ est impair, donc $37^2$ est impair.
3. $\sqrt{36}=6$ est pair.
4. $\dfrac{378}{3}=126$ est pair.
5. $117$ est impair donc $117^2$ est impair, et $8$ est pair, donc $117^2-8$ est la somme d’un nombre impair et d’un nombre pair, donc c’est un nombre impair.
Exercice 2 🟠🟠⚪
- Montrer que la somme de deux entiers consécutifs est impaire.
- Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Parmi deux entiers consécutifs, il y en a forcément un pair et un impair (puisque les entiers pairs et impairs s’alternent de façon un sur deux). Alors
1. Leur somme est la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair, donc c’est un nombre impair.
2. Leur produit est le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair, donc c’est un nombre pair (par transitivité).
Exercice 3 🟠🟠⚪
Montrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.
Soient $a$ et $b$ deux nombres impairs. Alors :
Il existe un entier $k$ tel que $a=2k+1$.
Il existe un entier $\ell$ tel que $b=2\ell+1$.
On a alors :
$ab=(2k+1)(2\ell+1)=4k\ell+2k+2\ell+1=2(2k\ell+k+\ell)+1$
Donc, comme $2k\ell+k+\ell$ est entier, $ab$ est impair.
Exercice 4 🟠🟠⚪
Pour tout entier $n$, montrer que $5n^2+3n$ est pair.
Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair. Donc $5n^2$ et $3n$ sont pairs également (par transitivité), et donc leur somme est paire.
Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Donc $5n^2$ et $3n$ sont impairs également (cf. exercice précédent), donc leur somme est paire.
Ainsi, dans tous les cas, $5n^2+3n$ est pair.
Exercice 5 🟠🟠⚪
Soit $k$ un nombre entier. Déterminer la parité de $(k+1)^2-k^2$.
On a :
$(k+1)^2-k^2=(k^2+2k+1)-k^2=2k+1$
Donc $(k+1)^2-k^2$ est toujours impair.