Parité et imparité

Exercice 1 🟢​⚪​⚪

À partir de la courbe de la fonction représentée, dire si la fonction semble paire, impaire ou ni paire, ni impaire.

1. La courbe de la fonction semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction semble donc paire.

2. La courbe de la fonction ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction ne semble donc ni paire, ni impaire.

3. La courbe de la fonction semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction semble donc impaire.

4. La courbe de la fonction ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction ne semble donc ni paire, ni impaire.

5. La courbe de la fonction semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction semble donc impaire.

6. La courbe de la fonction semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction semble donc paire.

Exercice 2 🟠🟠​⚪

Déterminer dans chacun des cas si la fonction fournie est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

1. La fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=4x^2+5$.
2. La fonction $f_2$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_2(x)=\dfrac{5}{x}+4x^3$.
3. La fonction $f_3$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_3(x)=\dfrac{x-3}{x^2+2}$.
4. La fonction $f_4$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f_4(x)=5x^2-4$.
5. La fonction $f_5$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_5(x)=\dfrac{x^3-x}{4}$.
6. La fonction $f_6$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_6(x)=\dfrac{-2}{x^2}+7$.

1. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $-x\in\mathbb{R}$.
$\begin{align*} f_1(-x)&=4(-x)^2+5 \\
&=4x^2+5\\
&=f_1(x)\end{align*}$
La fonction $f_1$ est donc paire.

2. Pour tout $x\in]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$, $-x\in]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
$\begin{align*} f_2(-x)&=\dfrac{5}{-x}+4(-x)^3 \\
&=-\dfrac{5}{x}-4x^3 \\
&=-\left(\dfrac{5}{x}+4x^3\right) \\
&=-f_2(x)\end{align*}$
La fonction $f_2$ est donc impaire.

3. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $-x\in\mathbb{R}$.
$\begin{align*} f_1(-x)&=4(-x)^2+5 \\
&=4x^2+5\\
&=f_1(x)\end{align*}$
Or $-f_3(x)=-\dfrac{x-3}{x^2+2}$.
La fonction $f_3$ n’est donc ni paire ni impaire.

4. Pour tout $x\in[0;+\infty[$, $-x\not\in[0;+\infty[$.
La fonction $f_4$ est donc ni paire ni impaire.

5. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $-x\in\mathbb{R}$.
$\begin{align*} f_5(-x)&=\dfrac{(-x)^3-(-x)}{4} \\
&=\dfrac{-x^3+x}{4} \\
&=\dfrac{-\left(x^3-x\right)}{4} \\
&=-\dfrac{x^3-x}{4} \\
&=-f_5(x)\end{align*}$
La fonction $f_5$ est donc impaire.

6. Pour tout $x\in]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$, $-x\in]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
$\begin{align*} f_6(-x)&=\dfrac{-2}{(-x)^2}+7 \\
&=\dfrac{-2}{x^2}+7\\
&=f_6(x)\end{align*}$
La fonction $f_6$ est donc paire.