Point de vue algébrique
1. Définitions
Pour finir ce chapitre, nous allons voir une propriété intéressante et relativement fréquente chez les fonctions de référence : la parité.
Soit $f$ une fonction telle que $\forall x\in\mathscr{D}_f, -x\in\mathscr{D}_f$. Alors :
$f$ est paire si $\forall x\in\mathscr{D}_f, f(-x)=f(x)$.
$f$ est impaire si $\forall x\in\mathscr{D}_f, f(-x)=-f(x)$.
Attention : une fonction n’est pas forcément paire ou impaire. Il y a plein de fonctions qui ne sont ni paires ni impaires, comme tu pourras le voir ci-dessous !
2. Exemples
Par exemple, la fonction $f:x\mapsto2x$ et impaire, car $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$ et $\forall x\in\mathbb{R},f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x)$
En revanche, la fonction $f:x\mapsto x^2$ est paire, car $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$ et $\forall x\in\mathbb{R},f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
Mais la fonction racine carrée $x\mapsto\sqrt{x}$ n’est ni l’un ni l’autre, car son ensemble de définition ne vérifie même pas la condition $\forall x\in\mathscr{D}_f,-x\in\mathscr{D}_f$.
Questions flash ⚡️
La fonction inverse $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est :
Relis bien les définitions.
La fonction affine $f:x\mapsto3x-2$ est :
En effet, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$ mais $\forall x\in\mathbb{R},f(-x)=3(-x)-2=-3x-2$, qui n’est égal ni à $f(x)=3x-2$ ni à $-f(x)=-3x+2$.
Relis bien les définitions.
La fonction valeur absolue $f:x\mapsto|x|$ est :
En effet, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$ et $\forall x\in\mathbb{R},f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$.
Relis bien les définitions.
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En effet, $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}^*$ et $\forall x\in\mathbb{R}^*,f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$.