Probabilités totales
On a vu dans la page précédente qu’avec un système complet d’évènements, on a des évènements disjoints. La formule de la probabilité d’une union d’évènements se simplifie :
$$P(\Omega) = P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) = 1$$
Regardons l’arbre pondéré suivant :
On a directement par lecture de l’arbre $P(A_1)$, $P(A_2)$, etc.
Mais comment faire pour calculer $P(B)$ ?
Le présenter sous forme d’arbre nous donne directement que $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ est un système complet d’évènement et c’est là qu’intervient alors la formule des probabilités totales !
Formule des probabilités totales
On considère une expérience aléatoire d’univers $\Omega$ et un évènement $B$. On note $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ une partition de $\Omega$. Alors :
$$P(B) = P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)$$
On peut la traduire en français, sur un arbre pondéré, la probabilité d’un évènement qui est présent sur plusieurs chemins est la somme des probabilités de tous ces chemins.
On peut la traduire en français, sur un arbre pondéré, la probabilité d’un évènement qui est présent sur plusieurs chemins est la somme des probabilités de tous ces chemins.
Question flash ⚡️
Dans un lycée, 60 % des élèves sont inscrits dans un club de sport. Parmi eux, on compte 55 % de filles. Parmi ceux qui ne sont pas inscrits dans un club de sport, 40 % sont des garçons. On choisit un élève du lycée au hasard. On note $C$ l’évènement “l’élève est dans un club de sport” et $F$ l’évènement “l’élève est une fille”. Que vaut alors $P(F)$ ?
Probabilités totales Lire la suite »
En effet, grâce à la formule des probabilités totales, vu que $C$ et $\bar{C}$ forment un système complet d’évènements, $P(F) = P(C \cap F) + P(\bar{C} \cap F) = P(C) \times P_C(F) + P(\bar{C}) \times P_{\bar{C}}(F)$
$= 0,6 \times 0,55 + (1 – 0,6) \times (1 – 0,4)$
$= 0,6 \times 0,55 + 0,4 \times 0,6 = 0,57$