1ere_Probabilités conditionnelles

Exercice 1 🟢​⚪⚪

On considère 3 évènements A, B et C qui forment une partition de l’univers $\Omega$ ainsi que l’évènement E. On donne l’arbre de probabilités suivant :

1. Compléter cet arbre de probabilité.
2. Calculer $P(E)$.

Exercice 2 🟢​⚪⚪

Un grossiste en flacons de parfum souhaite étudier la qualité des flacons qu’il reçoit.
ll a reçu $1500$ flacons d’un certain modèle provenant de deux sites de production différents, le site $A$ et le site $B$.
Sur les $1500$ flacons de ce modèle reçus, $900$ proviennent du site $A$, les autres du site $B$.
Le grossiste s’intéresse à l’aspect du flacon. Parmi les flacons provenant du site $A$, $95\%$ ont un aspect conforme au cahier des charges tandis que $92\%$ des flacons provenant du site $B$ ont un aspect conforme.
Il prélève au hasard un des flacons qu’il a reçus lors de la dernière livraison.
On note:
$A$ l’événement « le flacon provient du site $A$».
$B$ l’événement « le flacon provient du site $B$».
$C$ lévénement « le flacon a un aspect conforme au cahier des charges».

1. Déterminer la probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges.
2. Montrer que la probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est 0,938.

1. On veut donc calculer $P(A \cap C)$. Par la formule des probabilités conditionnelles, on a
   
   $P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = \frac{3}{5} \times \frac{95}{100} = 0,57$.
2. Maintenant, on veut calculer $P(C)$. Par la formule des probabilités totales, on a
   
   $P(C) = P(A \cap C) + P(B \cap C) = 0,57 + \frac{2}{5} \times \frac{92}{100} = 0,57 + 0,368 = 0,938$.

Exercice 3 🟠🟠⚪

Le gérant d’un magasin d’informatique a reçu un lot de clés USB. $5\%$ des boites sont abîmées. Le gérant estime que :
$60\%$ des boites abimées contiennent au moins une clé défectueuse.
$98\%$ des boites non abimées ne contiennent aucune clé défectueuse.
Un client achète une boite du lot.

On désigne par $A$ l’événement “la boite est abimée” et par $D$ l’événement “la boite achetée contient au moins une clé défectueuse”.

Donner les probabilités de $P(A), P(\overline{A}), P_A(D), P_{\overline{A}}(D), P_A(D)$ et $P_{\overline{A}}(D)$. En déduire la probabilité de $D$.

L’énoncé donne directement $P(A) = 0,05$, d’où $P(\overline{A}) = 0,95, P_A(D) = 0,6$ et $P_{\overline{A}}(\overline{D}) = 0,98$.

On en déduit:
\begin{align}
&P_A(\overline{D}) = 1-P_A(D) =0,4 \\
&P_{\overline{A}}(D) = 1 -P_{\overline{A}}(\overline{D}) = 0,02.
\end{align}
D’après la formule des probabilités totales:
\begin{align}
P(D) &= P(A \cap D) + P(\overline{A} \cap D)\\
&=P(A)P_A(D) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(D)\\
&=0,05 \times 0,6 + 0,95 \times 0,02 \\
& = 0,03 + 0,019 \\
&= 0,049
\end{align}

Exercice 4 🟠🟠⚪

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaine a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match. On dispose des informations suivantes :

• $56\%$ des téléspectateurs ont regardé le match ;

• Un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;

• $16,2\%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les événements :

• $M$: « le téléspectateur a regardé le match »;

• $E$: « le téléspectateur a regarde l’émission ».

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.

1. Déterminer la probabilité de $M \cap E$.
2. 1. Vérifier que $P(E) = 0,44x +0,14$.
   2. En déduire la valeur de $x$.
3. Le téléspectateur interrogé n’a pas regarde l’émission. Quelle est la probabilité, arrondie á $10^{-2}$ qu’il ait regardé le match ?

1. On a:
   \begin{align} P(M \cap E) &= P(M) × P_M(E) \\ &= 0, 56 × 0, 25 \\ &=0,14 \end{align}
   1. $M$ et $\overline{M}$ forment un système complet d’évenements fini. D’après la formule des probabilités totales, on a: \begin{align} P(E) = P(M \cap E) + P(\overline{M} \cap E) = 0,14 +0, 44x \end{align}
   2. On sait que $P(E) = 0, 162$. Par conséquent $0, 44x + 014 = 0, 162 \iff 0,44x =0,022 \iff x = 0,05$.
2. On veut calculer: \begin{align} P_E(M) &= \dfrac{P(\overline{E} \cap M)}{1-P(E)} \\ &= \dfrac{0,75×0,56}{0,838} \\ &=0,50 \end{align} La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0, 50$.

Exercice 5 🟠🟠⚪

En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années. En $2017$, le pays comptait $52\%$ de femmes. Cette même année, $92\%$ des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55\%$ étaient des femmes.
On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de $2017$. On note:

• $F$ l’événement « la personne choisie est une femme »;

• $H$ l’évènement « la personne choisie est un homme »;

• $B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».

1. Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des événements $F$ et $B$.
2. 1. Montrer que $P(F \cap B) = 0,506$.
   2. En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en $2017$, sachant que c’est une femme.
3. Calculer $P_H(\overline{B})$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

1. On a $P(F) = 0,52, P(B) = 0,92$ et $P_B(F) = 0,55$
2. 1. On a: \begin{align} P(F \cap B) &= P_B(F) × P(B) \\ &=0, 55 × 0,92 \\ &=0,506 \end{align}
   2. On veut calculer \begin{align} P_F(B)&=\dfrac{P(F \cap B)}{P(F)} \\ &=\dfrac{0,506}{52}\\ &\approx 0,973 \end{align}
      La probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en $2017$, sachant que c’est une femme, est environ égale à $0,973$.
3. On a: $P(\overline{B})=1-P(B)=0,08$. De plus $P_F(B) =0,973$ (valeur arrondie) donc $P_F(\overline{B})=0,027$. Par conséquent, $P(F \cap \overline{B})= 0,027 × 0,52=0,01404$. D’après la formule des probabilités totales on a: \begin{align} & P(\overline{B})=P(H \cap \overline{B})+P(F \cap \overline{B}) \ \iff & 0,08=P(H \cap \overline{B})+0,01404 \ \iff & P(H \cap \overline{B})=0.06596 \end{align} ainsi \begin{align} P_H(\overline{B})=\dfrac{P(H \cap \overline{B})}{P(H)} \end{align} \begin{align} P_H(\overline{B})&=\dfrac{P(H \cap \overline{B})}{P(H)} \ &=\dfrac{0,06596}{1-0,52} \ &\approx 0,137 \end{align} La probabilité qu’une personne n’ait jamais consommé des produits bio en $2017$, sachant que c’est un homme, est environ égale à $0, 137$. On peut aussi raisonner de la façon suivante : d’après la formule des probabilités totales : \begin{align} &P(H)=P(\overline{B} \cap H)+ P(B \cap H) \ &\iff P(\overline{B} \cap H)= P(H)-P(B \cap H)\ \end{align}
   \begin{align} &\iff P(\overline{B} \cap H)=P(H)-(P(B)-P(B \cap F))\ \end{align}
   \begin{align} &\iff P(\overline{B} \cap H)= 0,48-0,92 +0,506\ \end{align}
   \begin{align} &\iff P(B\cap H)=0,066 \end{align}
   
   Par conséquent, on a : \begin{align} P_H(\overline{B})&=\dfrac{P(H \cap \overline{B}}{P(H)} \ &=\dfrac{0,066}{0,48} \approx 0,137 \end{align} donc parmi les hommes français, environ 13,7% n’ont jamais consommé de produits bios.