Exercices ✍️
Exercice 1 🟢⚪⚪
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de normes respectives $1$, $2$ et $3$ tels que $(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\pi}{4}$ et $(\vec{v},\vec{w})=\dfrac{\pi}{6}$.
Que vaut $\vec{v}\cdot\left(\vec{u}+\vec{w}\right)$ ?
Par bilinéarité et symétrie du produit scalaire, on a : $\vec{v}\cdot\left(\vec{u}+\vec{w}\right)=\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}$
Or :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\vec{u},\vec{v})=1\times 2\times\cos\dfrac{\pi}{4}=1\times 2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$\vec{v}\cdot\vec{w}=\|\vec{v}\|\times\|\vec{w}\|\times\cos(\vec{v},\vec{w})=2\times 3\times\cos\dfrac{\pi}{6}=2\times 3\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
Donc : $\vec{v}\cdot\left(\vec{u}+\vec{w}\right)=\sqrt{2}+3\sqrt{3}$
Exercice 2 🟢⚪⚪
Soient trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ de normes respectives $1$, $2$ et $2\sqrt{2}$ et vérifiant $(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\pi}{4}$ et $(\vec{u},\vec{w})=\dfrac{2\pi}{3}$.
Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}+\vec{w}$ sont orthogonaux.
$\begin{align*}
\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)
&=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w} \\
&=1\times2\times\cos\dfrac{\pi}{4}+1\times2\sqrt{2}\times\cos\dfrac{2\pi}{3} \\
&=1\times2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1\times2\sqrt{2}\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\sqrt{2}-\sqrt{2} \\
&=0
\end{align*}$
Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}+\vec{w}$ sont orthogonaux.
Exercice 3 🟠🟠⚪
On considère un carré $ABCD$ et les points $E$ et $F$ milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[BC]$.
Montrer que les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.
On a $\overrightarrow{EB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
$ABCD$ est un carré donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux et par conséquent $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$.
De plus, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $AB=BC$.
$\begin{align*} \overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{EF}&=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}\right) \\ &=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BF} \\ &=\overrightarrow{BA}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{BA}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\vec{BC}\right)+\overrightarrow{AD}.\left(\dfrac{1}{2}\vec{AB}\right)+\overrightarrow{AD}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right) \\ &=-\dfrac{1}{2}AB^2+0+0+\dfrac{1}{2}BC^2 \\ &=0\end{align*}$
Par conséquent, les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.