Orthogonalité
1. Produit nul de nombres réels
Intéressons-nous un instant au produit des nombres réels.
Question flash ⚡️
Si l’on a deux réels $a$ et $b$, tels que $ab=0$, que peut-on en déduire sur $a$ et $b$ ?
Cette propriété est tellement importante pour les nombres réels qu’elle a un nom : c’est l’intégrité.
2. Produit scalaire nul
On peut alors se demander s’il en va de même pour le produit scalaire.
Question flash ⚡️
Si l’on a deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$, que peut-on déduire sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
Il suffit d’utiliser l’intégrité du produit des nombres réels. Par définition du produit scalaire, on a $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$, donc au moins l’un des trois termes est nul, c’est-à-dire, $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ ou $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$.
Il suffit d’utiliser l’intégrité du produit des nombres réels. Par définition du produit scalaire, on a $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$, donc n’un des trois termes est nul, c’est-à-dire, $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ ou $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$.
Ainsi, nous voyons un premier point sur lequel le produit scalaire ne se comporte pas du tout comme le produit des nombres réels.
En fait, bien que cette propriété semble non intuitive dans les calculs, c’est elle qui fait tout l’intérêt du produit scalaire !
3. Vecteurs orthogonaux
Tentons alors d’expliquer ce que cela signifie que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Définition de l’orthogonalité
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On dit que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si l’un des deux est nul, ou s’il y a un angle droit entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (c’est-à-dire si $\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\pm\frac{\pi}{2}$)
L’intérêt d’introduire la notion de vecteurs orthogonaux réside dans la propriété suivante.
Propriété
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (c’est-à-dire $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$).
Cela est une conséquence immédiate de ce que nous avons dit ci-dessus au paragraphe 2, en rappelant simplement que $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0$ équivaut à $\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\pm\frac{\pi}{2}$.
Cela s’interprète très bien géométriquement : dire que deux vecteurs font un angle droit revient au même que dire que la projection de l’un sur l’autre est nulle.
Pour reprendre l’image d’introduction avec l’ombre du bâton sur le sol, ça revient à dire que le bâton est orthogonal au sol quand il n’a pas d’ombre !