propriétés algébriques

Comme on peut le deviner d’après son nom et la notation employée, le produit scalaire partage certains points communs avec le produit usuel des nombres réels.

1. Symétrie

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. Alors on a :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$

On dit que le produit scalaire est symétrique.

Cela vient du fait que deux angles opposés ont le même cosinus : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|u\|\,\|v\|\,\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\|u\|\,\|v\|\,\cos\left(-\left(\vec{v},\vec{u}\right)\right)=\|u\|\,\|v\|\,\cos\left(\vec{v},\vec{u}\right)=\vec{v}\cdot\vec{u}$

Pour interpréter ce résultat géométriquement, considérons deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de même norme. Cela revient à dire que la projection de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ est de même longueur que la projection de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$.

2. Bilinéarité

Soient $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ trois vecteurs et $k$ un nombre réel. Alors on a :

$\vec{w}\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}$
$\left(k\vec{u}\right)\cdot\vec{v}=k\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)=\vec{u}\cdot\left(k\vec{v}\right)$

On dit que le produit scalaire est bilinéaire.

Première et deuxième formules : on se contentera du schéma ci-dessous, qui tire partie du lien entre produit scalaire et projection orthogonale.
Troisième formule :
– Si $k$ est positif, alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de même sens, donc $\left(k\vec{u},\vec{v}\right)=\left(\vec{u},\vec{v}\right)$, donc :
$\left(k\vec{u}\right)\cdot\vec{v}=\|k\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(k\vec{u},\vec{v}\right)=k\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=k\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)$
– Si $k$ est négatif, alors d’une part $\|k\vec{u}\|=-k\|\vec{u}\|$, et d’autre part, $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont de sens opposés, donc $\left(k\vec{u},\vec{v}\right)=\left(\vec{u},\vec{v}\right)+\pi$, donc :
$\left(k\vec{u}\right)\cdot\vec{v}=\|k\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(k\vec{u},\vec{v}\right)=-k\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\left(\vec{u},\vec{v}\right)+\pi\right)=k|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=k\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)$
Ainsi, pour tout $k$, la formule est démontrée. Le raisonnement est le même pour la deuxième partie de la formule.

On peut voir cela comme un équivalent de la distributivité du produit des nombres réels.
Géométriquement, cela revient à dire que la projection d’une somme de vecteurs est égale à la somme des projections de ces vecteurs.