Résolution d’équations et inéquations avec exponentielles et logarithmes
Comment résoudre des équations ou inéquations faisant intervenir des logarithme
et des exponentielles ?
Pour cela il y a deux méthodes possibles.
1. Trouver un moyen de faire disparaitre les logarithmes ou les exponentielles.
Par exemple, si l’on cherche à résoudre: $$\ln(x+5) +\ln(x) =\ln(2x^2+x)\quad \text{ pour } x>0,$$ alors on rassemble les termes : $\ln(x(x+5)) = \ln(2x^2+x)$ et ici il faut se rappeler que le moyen d’éliminer les logarithmes et d’appliquer sa fonction inverse, l’exponentielle.
En effet par la propriété $\exp (\ln (x)) = x$, en appliquant des deux côtes de l’équation l’exponentielle on déduit que $$\ln(x(x+5)) = \ln(2x^2+x) \text{ si et seulement si } x(x+5) = 2x^2+x.$$ On simplifie : $x+5 = 2x+1$ et on trouve $x=4$.
Pour cette méthode, il faut donc utiliser les propriétés du logarithme et de l’exponentielle pour tous les faire disparaitre.
Si ce n’est pas possible on passe à la méthode suivante.
2. Réaliser une étude de fonction.
Cela peut amener à utiliser le TVI ou le corollaire du TVI pour dire qu’il existe des solutions et où elles se trouvent. Cette méthode est bien plus générale mais ne donne pas de solution exacte.
Par exemple si on veut savoir si le problème suivant admet des solutions : $$\ln(x)
= x-2, \quad \text{ pour } x>0.$$ Pour cela on pose $f(x) = x-2-\ln(x)$ et on cherche les annulations de cette fonction. Elle est dérivable comme somme de fonctions dérivables. On a $$f'(x) =1-\frac{1}{x},\quad \text{ pour } x>0.$$
Ainsi, pour $x<1$, $f'(x)<0$ et pour $x \geq 1$ $f'(x) \geq 0$.
Donc $f$ décroit puis croit et $f(1) = -1$. Comme $$\underset{x \to 0}{\lim}f(x) = +\infty\quad \text{ et } \quad \underset{x \to +\infty}{\lim}f(x) = +\infty,$$ on peut ainsi conclure en utilisant deux corollaires du TVI que $f$ admet une unique solution sur $]0,1[$ et une unique solution sur $ ]1,+\infty[$
Question flash ⚡️
Résoudre pour $x$ réel l’équation $e^{3x+1} = e^4$.
C’est pas grave, la prochaine fois sera la bonne! Il faut commencer par composer de chaque côté par le logarithme pour simplifier les exponentielles : $ln(e^{3x+1}) = ln(e^4)$ et donc $3x+1 =4$. De la on obtient en isolant $x$ : $x=1$
Question flash ⚡️
Si je vous demande de trouver si le problème suivant admet une solution : $\ln(x+1) \leq 4x+2$. Quelles méthodes on peut utiliser ?
Bien joué !! On ne peut pas directement résoudre cette inégalité comme on n’a pas uniquement des $\ln$ ou des exponentielles. On va donc réaliser une étude de fonction. On pose $f(x) = \ln(x+1) – (4x+2)$ on l’étudie et on trouve les intervalles où pourraient se trouver les solutions.
C’est pas grave.
Question flash ⚡️
Si je vous demande de trouver si le problème suivant admet une solution : $\ln(x+1) \leq 2\ln(x)$ pour $x>0$. Quelles méthodes on peut utiliser ?
Bien joué !! En fait on a une méthode algébrique pour y arriver. En effet, en utilisant les propriétés de $\ln$, on a $2\ln(x) = \ln(x^2)$ et de la notre problème se réécrit $\ln(x+1) \leq \ln(x^2)$ et donc on a juste à résoudre $x+1 \leq x^2$. Sinon on à juste a tout mettre du même côté et étudier la fonction. En effet, il est facile de dériver notre expression. On pose donc $f(x) = \ln(x+1)-2\ln(x)$ et par une étude de fonction on conclut.
Tu en as peut être oublié une.
Bien joué !! Il fallait commencer par composer de chaque côté par le logarithme pour simplifier les exponentielles : $ln(e^{3x+1}) = ln(e^4)$ et donc $3x+1 =4$. De la on obtient en isolant $x$ : $x=1$