2027Bac blanc · Spé maths

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

• 60 % sont des véhicules tout-électrique ;
• 40 % sont des véhicules hybrides rechargeables.

75 % des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52 % des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d'installer une borne de recharge à domicile.

On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants :

• \(E\) : « l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
• \(B\) : « l'acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile ».

Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.

1. Calculer la probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile.
   On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que \(P(B) = 0{,}658\).
3. Un acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique ?
4. On choisit un échantillon de \(20\) acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l'échantillon de \(20\) acheteurs.
   1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).
   2. Calculer \(P(X = 8)\).
   3. Calculer la probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
   4. Calculer l'espérance de \(X\).
   5. La directrice de la concession décide d'offrir l'installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d'en installer une à leur domicile. Cette installation coûte 1 200 €.
      En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d'engager pour cette offre lors de la vente de \(20\) véhicules ?

Partie A

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=30\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+10\).

Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=u_n-20\).

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_1\) et \(u_2\).
2. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
3. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
4. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\).
5. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). Justifier la réponse.

Partie B

Soit \((w_n)\) la suite définie par \(w_0=45\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(w_{n+1}=\dfrac{1}{2}w_n+\dfrac{1}{2}u_n+7\).

1. Montrer que \(w_1=44{,}5\).
2. On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme \(w_n\) pour une valeur de \(n\) donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction.

   1  def suite(n):
   2      U = 30
   3      W = 45
   4      for i in range(1, n+1):
   5          U = U/2 + 10
   6          W = W/2 + U/2 + 7
   7      return W

   L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme \(w_1\). Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme \(w_n\) ?
3. 1. Montrer, par récurrence sur \(n\), que pour tout entier naturel \(n\) on a : \[w_n=10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+34.\]
   2. On admet que pour tout entier naturel \(n\geqslant 4\), on a : \(0\leqslant 10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\leqslant\dfrac{10}{n}\).
      Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite \((w_n)\) ?

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0\,;+\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}+1.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(]0\,;+\infty[\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\). En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe \(\mathcal{C}_f\).
2. Montrer que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0\,;+\infty[\), on a : \(f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}\).
3. En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0\,;+\infty[\).
4. 1. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) possède une unique solution, notée \(\alpha\), sur l'intervalle \(]0\,;+\infty[\).
   2. Donner un encadrement du réel \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}01\).
   3. En déduire le signe de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0\,;+\infty[\).
5. On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x)=\ln(x)\).
   On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthonormé d'origine O. On considère un réel \(x\) strictement positif et le point M de la courbe \(\mathcal{C}_g\) d'abscisse \(x\). On note OM la distance entre les points O et M.
   1. Exprimer la quantité \(\mathrm{OM}^{2}\) en fonction du réel \(x\).
   2. Montrer que, lorsque le réel \(x\) parcourt l'intervalle \(]0\,;+\infty[\), la quantité \(\mathrm{OM}^{2}\) admet un minimum en \(\alpha\).
   3. La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel \(x\) parcourt l'intervalle \(]0\,;+\infty[\), est appelée distance du point O à la courbe \(\mathcal{C}_g\). On note \(d\) cette distance. Exprimer \(d\) à l'aide de \(\alpha\).

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)\).

On considère :

• les points \(\mathrm{C}(3\,;0\,;0)\), \(\mathrm{D}(0\,;2\,;0)\), \(\mathrm{H}(-6\,;2\,;2)\) et \(\mathrm{J}\left(-\dfrac{54}{13}\,;\dfrac{62}{13}\,;0\right)\) ;
• le plan \(\mathcal{P}\) d'équation cartésienne \(2x+3y+6z-6=0\) ;
• le plan \(\mathcal{P}'\) d'équation cartésienne \(x-2y+3z-3=0\) ;
• la droite \((d)\) dont une représentation paramétrique est : \(\left\{\begin{array}{l}x=-8+\frac{1}{3}t\\ y=-1+\frac{1}{2}t\\ z=-4+t\end{array}\right.\), \(t\in\mathbb{R}\).

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : la droite \((d)\) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\) et coupe ce plan en H.

Affirmation 2 : la mesure en degré de l'angle \(\widehat{\mathrm{DCH}}\), arrondie à \(10^{-1}\), est \(17{,}3^{\circ}\).

Affirmation 3 : les plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\) sont sécants et leur intersection est la droite \(\Delta\) dont une représentation paramétrique est : \(\left\{\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=0\\ z=t\end{array}\right.\), \(t\in\mathbb{R}\).

Affirmation 4 : le point J est le projeté orthogonal du point H sur la droite (CD).