Aller plus loin

Dans cette partie, nous allons voir comment la notion de vecteur peut être utilisée en physique. A vrai dire, tu commences tout juste à découvrir les vecteurs, donc nous allons introduire seulement un petit aspect du rôle des vecteurs en mécanique, mais tu dois savoir qu’en réalité la notion de vecteur est absolument fondamentale dans tous presque les domaines de la physique !

1. Un point qui bouge

Commençons par introduire un problème que nous voulons étudier. Par exemple, considérons une petite fourmi qui se déplace sur le sol. Géométriquement, on peut représenter cette situation par un point qui bouge dans le plan.

Disons que la fourmi suit une trajectoire quelconque dans le plan. Sur la figure suivante, tu peux faire varier le temps $t$ avec le curseur pour voir la position de la fourmi à chaque instant.

Des questions que l’on peut alors se poser sont alors les suivantes :

• A un instant $t$ donné, dans quelle direction et dans quel sens va la fourmi ?
• A un instant $t$ donné, à quelle vitesse se déplace la fourmi ?

Nous allons voir que l’outil adapté pour répondre à ce genre de questions est bien les vecteurs !

2. Vecteur vitesse

Pour faire émerger les vecteurs de cette situation, revenons à la notion de base qui nous a permis d’en arriver là : les translations !

Comme nous l’avons vu, à un vecteur correspond une translation, et réciproquement.

Considérons pour commencer le cas où la fourmi se déplace en ligne droite en allant toujours à la même vitesse $v$. Alors la fourmi effectue bien une translation, et on peut donc lui associer un vecteur.

Plus précisément, regardons deux instants $t_1$ et $t_2$ dans la vie de la fourmi. Nommons $M_1$ le point où se situe la fourmi à l’instant $t_1$ et $M_2$ le point où elle se situe à l’instant $t_2$. Alors, on peut dire que la fourmi effectue une translation de vecteur $\overrightarrow{M_1M_2}$ entre les instants $t_1$ et $t_2$.

Et ce qui est pratique avec cette situation, c’est que d’une part quels que soient les deux instants $t_1$ et $t_2$ que l’on regarde, le $\overrightarrow{M_1M_2}$ aura toujours la même direction et le même sens. Et même, ça ne s’arrête pas là ! Car souviens-toi, on a dit que la fourmi se déplace toujours à la vitesse $v$.

Question flash ⚡️

Quelle est la relation entre $|t_2-t_1|$, $M_1M_2$ et $v$ ?

Transformons alors u peu cette relation. Souviens-toi que la distance $M_1M_2$ peut aussi s’écrire comme la norme du vecteur $\overrightarrow{M_1M_2}$ :

$$M_1M_2=\|\overrightarrow{M_1M_2}\|$$

Ainsi, on peut écrire la vitesse comme :

$v=\dfrac{\|\overrightarrow{M_1M_2}\|}{|t_2-t_1|}=\left\|\dfrac{1}{t_2-t_1}\overrightarrow{M_1M_2}\right\|$

La vitesse $v$ s’écrit donc comme la norme d’un vecteur. Ce vecteur, il semble alors néturel de le renommer vecteur vitesse, non ?

$\vec{v}=\dfrac{1}{t_2-t_1}\overrightarrow{M_1M_2}$

On obtient ainsi un vecteur vitesse $\vec{v}$ dont la norme est la vitesse, et donc la direction et le sens sont la direction et le sens du mouvement de la fourmi. Ainsi, cet objet contient en lui seul toutes les informations que l’on voulait savoir au début !

3. Une translation qui dépend du temps

Revenons désormais à un mouvement quelconque de la fourmi, et analysons la situation à l’aune de ce que nous venons de dire. Nous aimerions bien pour cela définir un vecteur vitesse également, mais cette fois-ci les choses sont plus compliquées…

Question flash ⚡️

Qu’est-ce qui a changé par rapport à la situation précédente ?

En effet, regardons de plus près la situation. Etant donné que la fourmi peut faire des virages un peu dans tous les sens, clairement le vecteur $\overrightarrow{M_1M_2}$ n’a plus toujours la même direction ou le même sens. Et de plus, vu que la fourmi ne va pas toujours à la même vitesse, elle peut parfois ralentir ou accélérer. Ainsi, la relation $M_1M_2=v\times|t_2-t_1|$ n’est plus valable, car selon à quel moment de la trajectoire on est, pour un même écart $|t_2-t_1|$, la distance parcourue $M_1M_2$ peut être petite ou grande selon que la fourmi va lentement ou rapidement à ce moment-là.

Mais heureusement, il existe une astuce pour régler ces deux choses-là à la fois !
En fait, il faut abandonner d’avoir un seul vecteur vitesse $\vec{v}$ pour toute la trajectoire, mais il faut plutôt considérer un vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ qui dépend du temps ! Cela reflète le fait que selon où on est sur la trajectoire, le vecteur vitesse ne sera pas le même.

Comment définir ce vecteur vitesse ? Pour ce faire, on peut réutiliser la même définition qu’avant :

$\vec{v}(t)=\dfrac{1}{t_2-t_1}\overrightarrow{M_1M_2}$

mais en prenant $t_1$ et $t_2$ très proche de $t$. Vu que la trajectoire est plutôt lisse, cela permet de définir précisément le vecteur vitesse.

Ainsi, cette méthode permet de déterminer en chaque point de la trajectoire la direction, le sens et la vitesse de la fourmi, tout cela à la fois, comme tu peux le voir sur la figure suivante en faisant varier le temps $t$. Cette notion est vraiment fondamentale en mécanique, la branche de la physique qui s’intéresse au mouvement des objets.