Aller plus loin

Dans cette activité, nous allons démontrer quelques résultats sur les médianes, dont le principal est que :

Dans un triangle, les trois médianes d’un triangle concourent en leur centre de gravité.

Graphique intéractif 👆 

En bougeant les points $A$, $B$, et $C$, tu peux observer que les médianes concourent en un point unique.

1. C’est quoi déjà, le centre de gravité ?

Pour commencer, attelons-nous à comprendre ce qu’est le centre de gravité.

Tu as sûrement déjà réalisé que lorsque tu tiens un objet plutôt plan (comme un crayon, un disque, etc.), tu peux trouver un point tel que tu peux faire tenir l’objet en équilibre sur ton doigt en mettant ton doigt pile en-dessous de ce point ☝️ . C’est ce point que l’on appelle le centre de gravité en physique.

Mais comment peut-on définir cette notion en maths ? Intuitivement, on souhaiterait dire que que c’est le point tel que le triangle est “réparti de manière égale” autour de ce point. C’est cela que traduit la définition suivante :

Définition (centre de gravité)

Soit $ABC$ un triangle. On appelle centre de gravité du triangle $ABC$ l’unique point $G$ tel que :

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$

Exercice 🟠🟠​⚪

Démontre que le centre de gravité d’un triangle existe et est unique.

Existence :
Considérons un point $O$ quelconque dans le plan.
Alors $\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ est un vecteur du plan, donc il existe un point $G$ tel que ce vecteur est égal à $\overrightarrow{OG}$, c’est-à-dire :
$\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OG}$
L’astuce ici est alors d’écrire $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG})$, soit :
$\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG})$
Il suffit alors de passer à gauche le membre de droite et de rassembler les termes, ce qui donne :
$\dfrac{1}{3}\left[(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG})\right]=\vec{0}$
Or, $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GA}$, et de même pour les deux autres termes. Ainsi, en rassemblant ces termes et en multipliant l’égalité par $3$, on obtient bien :
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$
Donc le centre de gravité existe bien.

Unicité :
Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe un deuxième centre de gravité $G’$. On a donc :
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$
$\overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}=\vec{0}$
En soustrayant ces deux égalités, on a :
$(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{G’A})+(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{G’B})+(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{G’C})=\vec{0}$
Soit :
$\overrightarrow{GG’}+\overrightarrow{GG’}+\overrightarrow{GG’}=\vec{0}$
C’est-à-dire : $\overrightarrow{GG’}=\vec{0}$, donc $G=G’$
Ainsi, le centre de gravité est bien unique.

2. Les médianes concourent au centre de gravité

Nous allons maintenant démontrer que les trois médianes d’un triangle concourent au centre de gravité du triangle.

Pour cela, il suffit de démontrer que le centre de gravité appartient à chacune des médianes du triangles. Dit autrement, il faut montrer que si l’on prend une médiane dans le triangle, quelle qu’elle soit, alors le centre de gravité appartient à cette médiane.

Considérons donc un triangle $ABC$ quelconque, $G$ son centre de gravité, et regardons la médiane issue de $A$.

👆Fais bouger les points $A$, $B$ et $C$ de la figure ci-dessous.

Exercice 🟠🟠​⚪

Montrer que le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ appartient à la médiane issue de $A$.

Partons de la définition du centre de gravité :
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$
Et utilisons la relation de Chasles : $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}$
Remplaçons cela dans la première relation :
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}$
Par ailleurs, $I$ est le milieu du segment $[BC]$, donc $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$
Ainsi, on a : $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GI}=\vec{0}$
Écrivons, encore d’après la relation de Chasles : $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IA}$, et remplaçons :
$\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{GI}=\vec{0}$
C’est-à-dire : $\overrightarrow{IG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}$
Ainsi, le point $G$ appartient bien au segment $[IA]$, c’est-à-dire à la médiane issue de $A$

On peut illustrer cela avec le schéma suivant. 👆Fais bouger les points $A$, $B$ et $C$ de la figure ci-dessous.

En fait, cet exercice nous a même permis de démontrer quelque chose de plus puissant : non seulement les médianes concourent au centre de gravité $G$, et en plus celui-ci se situe au tiers des médianes ! (c’est-à-dire qu’il coupe les médianes en proportions $1/3$ et $2/3$).