Aller plus loin

1. Définition du problème

Le but de cette activité est de donner une approximation du nombre $\pi$ par un argument géométrique.

Pour cela on se souviendra que le nombre $\pi$ peut être défini géométriquement comme le rapport entre le périmètre d’un cercle et son rayon. L’idée de cette méthode sera alors d’approximer le périmètre d’un cercle de rayon $R$ donné en l’encadrant par des polygones réguliers.

Regarde la figure suivante :

Nous considérons le polygone rouge, inscrit dans de cercle bleu, et le polygone vert, exinscrit au cercle bleu. On note $p_n$ et $P_n$ leurs périmètres respectifs (où $n$ est le nombre de côtés du polygone). On peut alors facilement se convaincre (et on admettra) l’encadrement suivant :

$p_n<2\pi R<P_n$

La puissance de la méthode réside dans le fait que quand $n$ est de plus en plus grand, l’encadrement se resserre infiniment pour donner des approximations de plus en plus fines du périmètre $2\pi R$ (et donc du nombre $\pi$).

2. Calcul des périmètres

Toute l’idée de la méthode est alors d’exprimer les deux périmètres $p_n$ et $P_n$ en fonction des fonctions trigonométriques.

Cercle inscrit

Introduisons quelques notations supplémentaires sur la figure suivante.

Exercice 1 🟠🟠​⚪

1. Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $\pi$ et $n$.
2. Exprimer $\sin\left(\dfrac{\alpha_n}{2}\right)$ en fonction de $c_n$ et $R$.
3. Exprimer $c_n$ en fonction de $p_n$ et $n$.
4. En déduire une expression de $p_n$ en fonction $R$, $n$ et $\pi$.

1. Le polygone est régulier et a $n$ côtés. Ainsi, pour chaque côté, l’angle au centre vaut $\alpha_n$, et l’ensemble des $n$ côtés forme un tour complet autour du centre, d’où la relation $n\,\alpha_n=2\pi$, puis :
$\alpha_n=\dfrac{2\pi}{n}$

2. Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est égal au quotient du côté opposé par l’hypoténuse. Ainsi, dans le triangle dont les côtés sont $h_n$, $R$ et $\dfrac{c_n}{2}$, on a la relation :
$\sin\left(\dfrac{\alpha_n}{2}\right)=\dfrac{c_n}{2R}$

3. Le polygone est régulier, donc tous les côtés on pour longueur $c_n$. Le périmètre n’est autre que la somme des longueurs des $n$ côtés, d’où :
$p_n=n\,c_n$

4. D’après la question 2, on a : $c_n=2R\sin\left(\dfrac{\alpha_n}{2}\right)$
Remplaçons alors l’angle $\alpha_n$ grâce à la question 1 : $c_n=2R\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$
Finalement, grâce à la question 3, on a :
$p_n=2R\,n\,\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$

Cercle exinscrit

Rajoutons encore d’autres notations sur la figure suivante.

Exercice 2 🟠🟠​⚪

1. Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $\pi$ et $n$.
2. Exprimer $\cos\left(\dfrac{\alpha_n}{2}\right)$ en fonction de $h_n$ et $R$.
3. Exprimer $C_n$ en fonction de $c_n$, $h_n$ et $R$.
4. Exprimer $P_n$ en fonction de $C_n$ et $n$.
5. En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $p_n$ et $h_n$.
6. A l’aide de l’expression de $p_n$ obtenue à l’exercice précédent, en déduire une expression de $P_n$ en fonction de $R$, $n$ et $\pi$.

1. Le raisonnement n’a pas changé par rapport à l’exercice précédent. On a donc toujours :
$\alpha_n=\dfrac{2\pi}{n}$

2. Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle est égal au quotient du côté adjacent par l’hypoténuse. Ainsi, dans le triangle dont les côtés sont $h_n$, $R$ et $\dfrac{c_n}{2}$, on a la relation :
$\cos\left(\dfrac{\alpha_n}{2}\right)=\dfrac{h_n}{R}$

3. Comme les droites $(GF)$ et $(G’F’)$ sont parallèles, d’après le théorème de Thalès, on a $\dfrac{C_n}{c_n}=\dfrac{R}{h_n}$, d’où :
$C_n=\dfrac{R}{h_n}c_n$

4. Le polygone est régulier, donc tous les côtés on pour longueur $C_n$. Le périmètre n’est autre que la somme des longueurs des $n$ côtés, d’où :
$P_n=n\,C_n$

5. En combinant les question 3 et 4, on a : $P_n=\dfrac{R\,n\,c_n}{h_n}$
Or, $n\,c_n=p_n$, d’où la relation :
$P_n=\dfrac{R}{h_n}p_n$

6. D’une part, d’après la question 2, on a : $h_n=R\cos\left(\dfrac{\alpha_n}{2}\right)$
Et d’après la question 1, on peut remplacer $\alpha_n$ pour obtenir : $h_n=R\cos\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$
D’autre part, d’après l’exercice précédent, on a : $p_n=2R\,n\,\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$
D’où, en vertu de la question 5 : $P_n=R\dfrac{2R\,n\,\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}{R\cos\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}$
Soit :
$P_n=2R\,n\,\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$

Conclusion

Finalement, en reprenant l’inégalité $p_n<2\pi R<P_n$ et en simplifiant par $2R$, on obtient l’encadrement de $\pi$ désiré :

$n\,\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)<\pi<n\,\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$

L’intérêt de cette méthode est qu’il existe des entiers $n$ tels qu’on puisse calculer $\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$ et $\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$ sans connaître la valeur de $\pi$.

Exercice 3 🟢​⚪​⚪

Déterminer l’encadrement le plus fin possible en utilisant des valeurs des fonctions trigonométriques en des angles remarquables que tu connais.

Plus $n$ est grand, plus l’encadrement sera fin. Les angles remarquables sont $\pi$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{6}$. Avec $n=6$, on obtient donc :
$6\times\dfrac{1}{2}<\pi<6\times\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Soit : $3<\pi<2\sqrt{3}$

Exercice 4 🔴​🔴​🔴

En admettant les identités $\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|=\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}$ et $\left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|=\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}$, déduire un algorithme itératif permettant d’approximer $\pi$ aussi finement que possible.

Etant données deux bornes pour un $n$ donné, on peut déterminer les deux bornes associées à $2n$. En effet, si l’on note $a_n$ et $b_n$ les deux bornes associées à $n$, on a :
$a_{2n}=2n\sin\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)=2n\sqrt{\dfrac{1-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2}}=2n\sqrt{\dfrac{1-\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)/\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2}}=2n\sqrt{\dfrac{1-\frac{a_n}{b_n}}{2}}=2n\sqrt{\dfrac{b_n-a_n}{2b_n}}$
$b_{2n}=2n\tan\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)=2n\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{n}\right)}=2n\sqrt{\dfrac{1-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{1+\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}}=2n\sqrt{\dfrac{1-\frac{a_n}{b_n}}{1+\frac{a_n}{b_n}}}=2n\sqrt{\dfrac{b_n-a_n}{b_n+a_n}}$

On peut donc proposer l’algorithme suivant, pour calculer $\pi$ à la précision $\epsilon$ :

Entrée : $\epsilon$
$n=6$
$a=3$
$b=2\sqrt{3}$
Tant que $b-a>\epsilon$ :
____ $a=2n\sqrt{\dfrac{b-a}{2b}}$
____ $b=2n\sqrt{\dfrac{b-a}{b+a}}$
____ $n=2n$
Sortie : $a$