Aller plus loin

1. Définition

Tu as déjà vu la notion de tangente par le passé, dans l’étude des triangles rectangles. Comme dans le cas des fonctions sinus et cosinus, on peut définir la fonction tangente :

Définition

Pour tout réel $x\in\mathbb{R}$ tel que $x\neq\pi n+\dfrac{\pi}{2}$ pour tout entier $n$ (c’est-à-dire pour $x$ différent de $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{5\pi}{2}$, etc.), on définit la fonction tangente par :

$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Contrairement aux fonctions sinus et cosinus qui sont définies sur tout $\mathbb{R}$, la fonction tangente n’est pas définie sur les $\pi n+\dfrac{\pi}{2}$ car le cosinus est nul en ces points, et on ne peut pas diviser pas $0$…

Exercice 🟢​⚪​⚪

Calculer la valeur de la fonction tangente en $-\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{4}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$.

On connaît les valeurs de sinus et cosinus en ces valeurs, donc il suffit de faire les quotients. On trouve alors :
$\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$
$\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}$
$\tan\left(0\right)=0$
$\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$
$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$
$\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

2. Parité et périodicité

Comme les fonctions sinus et cosinus sont $2\pi$-périodiques, alors leur quotient (i.e. la fonction tangente) est également $2\pi$-périodique. Mais on peut en fait dire mieux !

Comme tu l’as vu lors d’un exercice, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$ et $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$. Alors, en faisant le quotient, les signes “$-$” s’annulent et on a $\tan(x+\pi)=\tan(x)$. D’où la propriété suivante :

Périodicité

Pour tout $x$ dans le domaine de définition de tangente, on a :

$\tan(x+\pi)=\tan(x)$

On dit que la fonction tangente est $\pi$-périodique.

Concernant la parité, elle se déduit simplement de celle de sinus et cosinus. En effet, on a :
$\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x)$
D’où la propriété :

Parité

Pour tout $x$ dans le domaine de définition de tangente, $-x$ est aussi dans ce domaine de définition, et on a :

$\tan(-x)=-\tan(x)$

On dit que la fonction tangente est impaire.

3. Etude et représentation graphique

Comme la fonction tangente est $\pi$-périodique, on peut restreindre l’étude de la fonction tangente à n’importe quel intervalle de période $\pi$, par exemple $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$.

On déduit alors des signes des fonctions sinus et cosinus le tableau de signes de la fonction tangente :

Tableau de signes

De même, on déduit des variations de sinus et cosinus les variations de tangente :

Tableau de variations

Sur l’intervalle $[0,\pi/2[$, la fonction sinus est croissante et positive et la fonction cosinus est décroissante et positive. Ainsi, la fonction tangente est le quotient d’une fonction croissante positive par une fonction décroissante positive. C’est donc une fonction croissante positive.
On sait donc que la fonction tangente est croissante positive sur l’intervalle $[0,\pi/2[$ et de plus, $\tan(0)=0$. Comme enfin, la fonction tangente est impaire, alors elle est croissante négative sur l’intervalle $]-\pi/2,0]$, d’où le tableau de variations ci-dessus.

Terminons enfin par la représentation graphique.

Représentation graphique

On remarque bien que la fonction tangente n’est pas définie pour tous les $\pi n+\dfrac{\pi}{2}$, mais qu’elle a des limites infinies en ces points.