Les différents types de raisonnement (Partie 1) 😎
1. Petite introduction
L’histoire des mathématiques peut se résumer en deux points qui se répètent encore et encore :
1- Une personne émet une conjecture.
2- Soit quelqu’un réussit à la prouver, soit quelqu’un réussit à prouver qu’elle est fausse.
Les mathématiques peuvent être résumées en une succession de conjecture que l’on parvient à prouver ou à infirmer. Ces preuves ou infirmation sont le fruit de raisonnements logique.
Ces raisonnements, vous les connaissez, dès que vous résolvez un exercice, vous en utilisez, et ce même sans vous en rendre compte !
Que ce soit le raisonnement par disjonction de cas, par équivalence, par implication, que vous connaissiez déjà, ou encore par récurrence que l’on a découvert dans ce chapitre, on va faire un tour d’horizon de tous ces raisonnements !
2. Les raisonnements que vous avez déjà vus sans le savoir !
Ici, ça va parler disjonction de cas, équivalence, et contraposée. Des mots que vous ne connaissez peut être pas mais qui se cachent dans chacun de vos raisonnements mathématiques !
A- Disjonction de cas
Lorsque l’on souhaite démontrer une propriété dépendant de paramètres, on peut être amené à étudier plusieurs cas selon les valeurs de ces paramètres. On peut distinguer ainsi selon la parité d’un entier, du signe d’un réel (voire en traitant à part le cas de 0 dans certains cas), ou encore de si une fonction monotone est croissante ou décroissante… Bien évidemment, il faut que l’ensemble des cas étudiés recouvrent toutes les valeurs possibles de ces paramètres.
Un exemple très simple dans lequel vous avez déjà utilisé ce type de raisonnement est lorsque vous voulez étudier le signe d’un polynôme.
Voici un premier exemple :
Résoudre l’inéquation $ \dfrac{x^2-5x+6}{x-1} > 0$ sur $\mathbb{R}$.
Faites le avant de voir comment on résoud cet exemple 😉
Question flash ⚡️
Quelle disjonction de cas serait intéressant à faire à vue d’oeil ?
Attention, tu dois dans un premier temps prendre garde à ce que tous les cas soient bien couverts, que l’on en oublie pas un.
Étudions le signe de $x-1$ et de $x^2-5x+6$ séparément :
Étape 1 : $x-1>0 \Leftrightarrow x > 1$
Étape 2 : $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$ (on peut le voir en calculant le discriminant de cette fonction polynomiale de degré 2).
On se rend donc compte qu’on va devoir distinguer selon cinq cas : $x\in \{1,2,3\}$, $x<1$, $1<x<2$, $2<x<3$ et $3<x$.
En faisant un petit tableau de signe, on obtient cela :
Donc l’ensemble solution est $\mathcal{S} = ]1,2[\bigcup ]3,+\infty[$
Maintenant que l’on a pu voir un exemple de rédaction et d’utilisation de ce raisonnement qu’est la disjonction de cas dans un exercice, à votre tour !
Exercice d’application :
Prouver que pour tout $n\in\mathbb{N}, n^3-n$ est divisible par 6.
Soit $n\in\mathbb{N}$, $n^3-n = n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$.
Maintenant, deux possibilités : soit on fait une disjonction de cas selon le reste de la division euclidienne de $n$ par 6, et on se rend compte que quelque soit le reste, $n^3-n$ est bien divisible par 6, soit on sait qu’être divisible par 6, c’est être divisible par 2 et par 3 en même temps (car les deux nombres sont premiers entre eux ! Souvenez vous vos cours de collège).
Dans ce cas, effectuons d’abord une disjonction de cas sur la parité de $n$ :
– Cas 1 : $n$ pair, alors $n=2k$ pour $k$ entier, donc $n^3-n = 2k(2k-1)(2k+1)$ qui est bien pair donc divisible par 2
– Cas 2 : $n$ impair, alors $n=2k+1$ pour $k$ entier, donc $n^3-n = (2k+1)2k(2k+2)$ également pair.
Dans les deux cas, $n^3-n$ divisible par 2.
Ensuite, deuxième disjonction de cas :
– Cas 1 : $n=3k$, alors $n^3-n = 3k(3k-1)(3k+1)$
– Cas 2 : $n=3k+1$, alors $n^3-n = (3k+1)3k(3k+2)$
– Cas 3 : $n=3k+2$, alors $n^3-n = (3k+2)(3k+1)(3k+3) = 3(3k+2)(3k+1)(k+1)$
Dans tous les cas, $n^3-n$ est divisible par 3, donc comme il est divisible par 3 et 2, $n^3-n$ est divisible par 6.
B- Équivalence
On appelle équivalence entre $P$ et $Q$, et on note $P\Leftrightarrow Q$, la proposition $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$. Cela permet de dire qu’il n’y a pas de différence entre avoir $P$ et avoir $Q$, si on a l’un on l’autre, et réciproquement.
Un raisonnement par équivalence consiste en une succession d’équivalence entre plusieurs propositions. ($P\Leftrightarrow Q$ puis $Q\Leftrightarrow R$ puis $R\Leftrightarrow S$, et par transitivité de l’équivalence, on en déduit la proposition $P\Leftrightarrow S$)
Ce type de raisonnement s’utilise généralement pour démontrer une équivalence, pour résoudre une équation, une inéquation ou un système.
Pour montrer l’équivalence $P\Leftrightarrow Q$, on peut :
– Soit démontrer successivement les deux implications $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$.
– Ou bien raisonner par équivalence en modifiant $P$ de proche en proche jusqu’à obtenir $Q$ en préservant les équivalences à toutes les étapes.
Exemple :
Montrer que $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2$, $(x^2+y^2=0)\Leftrightarrow (x=y=0)$.
Dans cet exemple, procédons par double implication :
$\Leftarrow$ : ce sens est assez immédiat, soit $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ tels que $x=y=0$, alors $x^2+y^2=0^2+0^2=0$ donc ce sens est prouvé
$\Rightarrow$ : cette fois ci, supposons que pour un couple $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, $x^2+y^2=0$. Alors, $0\leq x^2 \leq x^2+y^2 = 0$ car le carré d’un nombre réel est toujours positif. On a donc montré que $x^2=0$ donc $x=0$. Par symétrie des rôles joués par $x$ et $y$ (cette phrase signifie que tout ce qu’on a fait avec $x$, on aurait pu le faire avec $y$, donc toutes les conclusions que l’on a pu faire sur $x$, on peut les faire sur $y$), $y=0$ d’où le résultat.
On a donc prouvé les deux sens de l’équivalence, donc la propriété est prouvée !
Voici un petit exercice mêlant disjonction de cas et équivalence !
Soit $a,b\in\mathbb{R}$, résoudre le système $\mathcal{E}$ :
$\left\{\begin{matrix}
x + (3-a)y = 0 \\
(2-a)x + 2y = b
\end{matrix}\right.$
On cherche l’ensemble $\mathcal{S} \subset \mathbb{R}^2$ des couples $(x,y)$ vérifiant les deux égalités de $\mathcal{E}$.
$$ \mathcal{E} \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x = (a-3)y \\
(2-a)(a-3)y + 2y = (-a^2+5a-4)y = b
\end{matrix}\right.$$
Si l’on veut diviser par $-a^2+5a-4$, il faut vérifier que cette quantité est non nulle. Le discriminant du polynôme du second degré $X^2-5X+4$ vaut $\Delta = (-5)^2-4\cdot 4\cdot 1 = 9$ donc les racines de ce polynôme sont $\dfrac{5\pm 3}{2}$, donc $1$ ou $4$.
Place à la disjonction de cas, je pense que vous vous doutez ce que vont être les différents cas :
Premier cas : on suppose $a\notin \{1,4\}$. Dans ce cas,
$$\mathcal{E} \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
y &= \dfrac{b}{-a^2+5a-4} \\
x &= \dfrac{b(a-3)}{-a^2+5a-4} \\
\end{matrix}\right.$$
On a donc $\mathcal{S} = \{\left(\dfrac{b(a-3)}{-a^2+5a-4}, \dfrac{b}{-a^2+5a-4}\right)\}$
Le fait d’avoir raisonné par équivalence nous épargne le fait de vérifier que ce couple est bien solution.
Second cas : on suppose que $a\in {1,4}$.
Dans ce cas, le système devient :
$$
\mathcal{E} \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x &= (a-3)y \\
0 = b
\end{matrix}\right.
$$
donc le système a aucune solution si $b\neq 0$, et si $b=0$, l’ensemble solution est une droite de $\mathbb{R}^2$, $\mathcal{S} = {((a-3)y,y), y\in\mathbb{R}}$
C- Contraposée
Le raisonnement par contraposée permet de démontrer qu’une implication du type ‘$P\Rightarrow Q$’ est vraie. Ce raisonnement se base sur l’équivalence entre l’assertion ‘$P\Rightarrow Q$’ et l’assertion ‘non $Q \Rightarrow$ non $P $’. Donc si l’on souhaite montrer l’assertion $P\Rightarrow Q$, on montre en faite que si non $Q$ est vraie alors non $P$ est vraie.
Un petit exemple en français pour vous convaincre de la véracité de cette propriétés, normalement vous devriez être convaincus que les deux phrases suivantes sont équivalentes :
(1) – S’il pleut, je mets mon parapluie
(2) – Si je ne mets pas mon parapluie, il ne pleut pas.
Question flash ⚡️
Si l’on se place dans le formalisme avec les $P$ et les $Q$, en considérant que la phrase (1) représente $P\Rightarrow Q$ et (2) représente $\neg Q \Rightarrow \negP$, quelle groupe de mot prend la place de $P$ ?
En effet, la proposition $P$ est le groupe de mot « il pleut », et la proposition $Q$ correspond à « je mets mon parapluie »
Un exercice très classique où il est judicieux de raisonner par contraposée est le suivant :
Soit $n\in\mathbb{N}$, montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
Raisonnons par contraposée : montrons que si $n$ n’est pas pair (donc impair), alors $n^2$ n’est pas pair (donc impair) :
Soit $n\in\mathbb{N}$ un entier impair, il existe $k$ entier tel que $n=2k+1$. Alors, $n^2=(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$ : $n^2$ est bien impair, donc on a prouvé par contraposée que si $n^2$ est pair, alors $n$ l’est aussi !
Dans le prochain cours, on découvrira des types de raisonnement un peu plus évolués, accrochez vous ça va secouer !
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En effet, le dénominateur change de signe en fonction de si $x$ est supérieur ou inférieur à 1. Et si $x=1$, on est face à une valeur interdite, d’où l’intérêt de distinguer les trois cas !