Dérivées usuelles

1. Définition

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$. Si cette fonction admet en tout point de $I$ un nombre dérivé, alors on dit que la fonction est dérivable sur $I$.

On appelle fonction dérivée de $f$, notée $f’$ sur $I$ la fonction qui à tout $x$ associe son nombre dérivé $f'(x)$.

Ne pas confondre $f’$ et $f'(x)$ !

📘 $f’$ est la fonction dérivée. $f'(x)$ est le nombre dérivé en $x$.

2. Exemple avec $f(x) = x^2$

Soit la fonction carré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. $a$ est un nombre réel fixé.

Calculons le nombre dérivé en $a$ :

Pour $h \neq 0 $, on a :

$ \dfrac { f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac {(a+h)^2 – a^2} { h} = \dfrac {a^2+2ah +h^2 – a^2} {h} = \dfrac {h ( 2a+h)}{h} = 2a + h$

Si $h$ tend vers 0 alors $2a+h $ tend vers $2a$ .
On en déduit que $f'(a) = 2a$.
On déduit que la fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R} $ et sa fonction dérivée est définie sur $\mathbb {R} $ par :

$ f'(x) = 2x$

C’est la première formule importante à connaître !

Tu vas voir dans le prochain cours les formules de dérivation des fonctions “usuelles”, ce qui nous permet de calculer directement un nombre dérivé, sans passer par la formule du taux d’accroissement 🥳.