Étude théorique des limites

Exercice 1​🟠🟠​⚪​

1. Donner des encadrements de $x \mapsto \sin(x)$ et $x \mapsto \cos(x)$ sur $\mathbb{R}$.
2. Déterminer la limite en $+\infty$ de :
$f : x \mapsto \dfrac{\sin(x)}{x^2}$
3. Déterminer la limite en $+\infty$ de :
$f : x\mapsto \dfrac{1+\cos(x)}{x\sqrt{x}}$

1. On sait sur $\mathbb{R}$ que $\sin$ et $\cos$ sont encadrés par $-1$ et $1$
2. En utilisant l’encadrement de $\sin$ on a que pour $x \in \mathbb{R}$, $\dfrac{-1}{x^2}\leq\dfrac{\sin(x)}{x^2}\leq \dfrac{1}{x^2}$ Or $\frac{1}{x^2}$ tend vers $0$ en $+\infty$. Donc, d’après le théorème des gendarmes, on en déduit que $\dfrac{\sin(x)}{x^2}$ tend vers $0$ en $+\infty$
3. En utilisant l’encadrement de $\cos$, on a que pour $x$ réel non nul $\dfrac{1-1}{x\sqrt{x}} \leq \dfrac{1+\cos(x)}{x\sqrt{x}} \leq \dfrac{2}{x\sqrt{x}}$
Or comme $\dfrac{1}{x\sqrt{x}}$ tend vers $0 $ en $+\infty$, par théorème des gendarmes, $\dfrac{1+\cos(x)}{x\sqrt{x}}$ tend vers $0$.

Exercice 2🟢​⚪​⚪

1. Déterminer des encadrement par des fonctions affines de :
$f : x \in \mathbb{R} \mapsto x-1 + \sin(x)$ $g : x \in \mathbb{R} \mapsto \cos(x) -2x$
2. Déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions précédentes

1. Comme on sait que $\sin$ et $\cos$ sont encadrés par $-1$ et $1$, on a l’encadrement $x-1 -1\leq f(x) \leq x-1 +1$ autrement dit $x-2 \leq f(x) \leq x$
Pour $g$ on a de même $-1-2x \leq g(x) \leq 1-2x$
2. Par encadrement on en déduit que $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et tend vers $+\infty$ en $+\infty$
Par encadrement on en déduit que $g$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$ et tend vers $+\infty$ en $-\infty$

Exercice 3​🟠🟠​⚪​

On considère l’application définie pour $x>0$ par : $f(x) = \dfrac{\cos(x)+2}{x}$

1. Montrer que pour $x>0$, $f(x) \leq \frac{3}{x}$
2. En déduire la limite de $f$ en $0^+$

1. On utilise l’encadrement de $\cos$ en $-1$ $1$. On a ainsi $\dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq \dfrac{3}{x} $ et donc $f(x) \leq \frac{3}{x}$
2. en utilisant l’encadrement et le théorème des gendarmes on a que $f(x)$ tend vers $0$ en $0^+$