Théorème des gendarmes
Voyons maintenant l’analogue du théorème des gendarmes vu dans le chapitre des suites pour les fonctions.
1. Le théorème des gendarmes 👮♂️ 👮🏻
Soient $f,g,h$ trois fonctions définies sur $]a, +\infty[$ et $l$ un réel tel que :
$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ pour $x \in ]a,+\infty[$ et
$\underset{x \to +\infty}{\lim}g(x) = \underset{x \to +\infty}{\lim} h(x) = l$ alors :
$$\underset{x \to +\infty}{\lim}f(x) = l$$
Ce théorème dit que si une fonction $f$ est prise en sandwich entre deux fonctions qui convergent vers une même limite finie $l$, alors la fonction $f$ converge vers la même limite.
D’ailleurs, on l’appelle également le théorème du sandwich ! 🥪
2. À quoi sert ce théorème ?
Ce théorème permet de trouver la limite d’une fonction lorsque son expression est “compliquée”. Il suffit alors de l’encadrer par deux fonctions plus “simples” dont on connait la limite.
Tu vas l’utiliser très souvent lorsque tu vois une fonction $sin$ ou $cos$, que tu encadres avec $-1$ et $1$.
Graphique interactif 👆
On voit que $h$ se fait presser par $f$ et $g$ vers $3$.
On remarquera en plus que malgré la difficulté de l’expression de la fonction $h$, on a réussi grâce à l’encadrement par 2 fonctions simples dont on sait simplement calculer les limites à l’infini, à déterminer grâce au théorème des gendarmes la limite de $h$ en $+\infty$.
Questions flash ⚡️
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ tel que $\forall x\in \mathbb{R}$, $0 \leq f(x) \leq \frac{1}{x}$.
Que peut-on dire à l’aide du théorème des gendarmes ?
On a encadré $f$ par deux fonctions qui tendent vers $0$ en $\pm \infty$.
On a minoré par $0$ qui tend vers $0$ en $\pm \infty$ et on a majoré par $\frac{1}{x}$ qui tend aussi vers $0$ en $\pm \infty$.
Que peut-on conclure ?
Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ tel que $\forall x\in \mathbb{R}$, $0 \leq g(x) \leq e^{-x}$.
Que peut-on dire à l’aide du théorème des gendarmes ?
On a encadré $g(x)$ par deux fonctions qui tendent vers $0$ en $+ \infty$.
On a minoré par $0$ qui tend vers $0$ en $+ \infty$ et on a majoré par $e^{-x}$ qui tend aussi vers $0$ en $+ \infty$.
On applique donc le théorème des gendarmes pour conclure que $\underset{x\to + \infty}{\lim}g(x)=0$.
On ne peut pas conclure la même chose en $-\infty$ comme $\underset{x\to – \infty}{\lim}e^{-x}=+\infty$, notre majoration ne nous apprend donc rien sur le comportement de $g$ en $-\infty$.
On a encadré $g(x)$ par deux fonctions qui tendent vers $0$ en $+ \infty$.
On a minoré par $0$ qui tend vers $0$ en $+ \infty$ et on a majoré par $e^{-x}$ qui tend aussi vers $0$ en $+ \infty$.
On applique donc le théorème des gendarmes pour conclure que $\underset{x\to + \infty}{\lim}g(x)=0$.
On ne peut pas conclure la même chose en $-\infty$ comme $\underset{x\to – \infty}{\lim}e^{-x}=+\infty$, notre majoration ne nous apprend donc rien sur le comportement de $g$ en $-\infty$.
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Bien joué !!
On a encadré $f$ par deux fonctions qui tendent vers $0$ en $\pm \infty$.
On a minoré par $0$ qui tend vers $0$ en $\pm \infty$ et on a majoré par $\frac{1}{x}$ qui tend aussi vers $0$ en $\pm \infty$.
On applique donc le théorème des gendarmes pour conclure que $\underset{x\to – \infty}{\lim}f(x)=0$ et $\underset{x\to + \infty}{\lim}f(x)=0$.