Théorème de comparaison
Soient deux fonctions $f,g$ définis sur un intervalle $]a,+\infty[$ tel que $f(x) \leq g(x)$.
Si $f$ et $g$ admettent des limites en $+\infty$.
Si $\underset{x \to +\infty}{\lim}f(x) = + \infty$ alors $\underset{x \to +\infty}{\lim}g(x) = +\infty$
D’autre part, si $\underset{x \to +\infty}{\lim}g(x) = – \infty$ alors $\underset{x \to +\infty}{\lim}g(x) = -\infty$
Dit autrement
Si $f$ tend vers $+\infty$, elle porte $g$ vers $+\infty$
Et inversement si $g$ tend vers $-\infty$, $f$ est écrasée vers $-\infty$ par $g$.
Graphique interactif 👆
On voit dans le graphique ci-dessous que si $f$ tend vers $+\infty$, $g$ est portée vers $+\infty$ par $f$.
Questions flash ⚡️
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ tel que $\forall x\in \mathbb{R}$, $f(x) \leq x$. Que peut-on dire à l’aide du théorème de comparaison ?
C’est pas grave, la prochaine fois sera la bonne! On a majoré $f$ par une fonction $x \mapsto x$ qui tend vers $-\infty$ quand $x $ tend vers $-\infty$. On peut donc conclure que $\underset{x\to – \infty}{\lim}f(x)=-\infty$.
Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ tel que $\forall x\in \mathbb{R}$, $\sqrt{x} \leq g(x)$
Que peut-on dire à l’aide du théorème de comparaison ?
Bien joué !! On a minoré $g(x)$ par une fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ qui tend vers $+\infty$ quand $x $ tend vers $+\infty$. On peut donc conclure que $\underset{x\to + \infty}{\lim}g(x)=+\infty$.
C’est pas grave, la prochaine fois sera la bonne!
On a minoré $g(x)$ par une fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ qui tend vers $+\infty$ quand $x $ tend vers $+\infty$. On peut donc conclure que $\underset{x\to + \infty}{\lim}g(x)=+\infty$.
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Bien joué !! On a majoré $f(x)$ par une fonction $x \mapsto x$ qui tend vers $-\infty$ quand $x $ tend vers $-\infty$. On peut donc conclure que $\underset{x\to – \infty}{\lim}f(x)=-\infty$.