Exponentielles de base $a$
Dans les cours précédents, nous avons fait la connaissance de la fonction exponentielle de base $e$. On étend maintenant la notion d’exponentielle à la fonction exponentielle de base $a$.
On définit exponentielle de base $a$ la fonction :
$\begin{array}{ccccc} f : && \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}_{+}^* \\ & & x & \mapsto & a^x \ \end{array}$
où $a$ est la base et est un nombre réel strictement positif.
On établit ainsi le lien avec la fonction exponentielle de base $e$ : $a^x = e^{x \ln a}$
Attention
Il faut bien faire la différence entre les fonctions exponentielles et les fonctions puissances. Dans la fonction puissance, définie par exemple par $f(x) = x^2$, l’exposant est fixé et la base varie, alors que dans la fonction exponentielle définie par exemple par $f(x) = 2^x$, la base est fixée et l’exposant varie.
Faisons varier la base $a$ 👆
Soit $f$ une fonction exponentielle de base $a$.
Jouons avec la courbe représentative de $f$ en faisant varier $a$ avec le curseur bleu :
Question 1
Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $f$ est-elle strictement croissante ?
En faisant varier le curseur, on observe que:
Pour $a<0$, la fonction $f$ n'est pas définie.
Pour $a>0$, $f$ peut être croissante ou décroissante.
Pour $0< a <1$, $f$ est décroissante.
Pour $a>1$, $f$ est croissante.
Question 2
En faisant varier $a$, on observe que toutes les courbes $C_f$ passent par un point fixe.
Quelles sont ses coordonnées ?
Pour tout $a>0$, $f(0)=a^0=1$.
Toutes les courbes $C_f$ passent donc par le point de coordonnées $(0;1)$.
Pour tout $a>0$, $f(0)=a^0=1$.
Toutes les courbes $C_f$ passent donc par le point de coordonnées $(0;1)$.
Question 3
Lorsque $a=1$, la fonction $f$…
Lorsque $a=1$, $f(x)=1^x=1$.
La fonction est donc constante .
Lorsque $a=1$, $f(x)=1^x=1$.
La fonction est donc constante .
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Pour $a>1$, la fonction définie par $f(x) = a^x$ est croissante.