1
Un triangle est rectangle ; les côtés de l'angle droit mesurent \(3\) cm et \(4\) cm. Combien mesure l'hypoténuse ?
B\(5\) cm
Pythagore : \(3^{2}+4^{2}=9+16=25\), donc l'hypoténuse mesure \(\sqrt{25}=5\) cm.
Le piège de la réponse AOn additionne les côtés : \(3+4=7\). Le théorème porte sur les carrés.
Le piège de la réponse COn oublie de prendre la racine carrée : \(25\) est le carré de l'hypoténuse.
Le piège de la réponse DOn multiplie les côtés : \(3\times4=12\).
Rappel de coursThéorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : \(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\).
2
Un triangle a des côtés de \(5\) cm, \(12\) cm et \(13\) cm. Est-il rectangle ?
AOui
Le plus grand côté mesure \(13\) : \(13^{2}=169\) et \(5^{2}+12^{2}=25+144=169\). L'égalité est vérifiée : d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle.
Le piège de la réponse BLe calcul \(5^{2}+12^{2}=169=13^{2}\) montre au contraire qu'il est rectangle.
Le piège de la réponse CLes longueurs suffisent : la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure.
Le piège de la réponse DUn triangle rectangle n'a pas besoin d'être isocèle ; ici les trois côtés sont différents.
Rappel de coursRéciproque de Pythagore : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle. Si l'égalité est fausse, il ne l'est pas.
3
Un triangle a deux angles de \(50^\circ\) et \(60^\circ\). Combien mesure le troisième angle ?
C\(70^\circ\)
La somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\) : \(180-50-60=70^\circ\).
Le piège de la réponse AC'est la somme des deux angles donnés, pas le troisième.
Le piège de la réponse BOn utilise \(360^\circ\) (somme des angles d'un quadrilatère) au lieu de \(180^\circ\).
Le piège de la réponse DOn fait la différence \(60-50\), sans lien avec la propriété des angles.
Rappel de coursLa somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\) ; celle d'un quadrilatère vaut \(360^\circ\). Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme \(90^\circ\).
4
Un quadrilatère a des diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu. C'est forcément :
AUn rectangle
Des diagonales qui se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme. Si elles ont en plus la même longueur : c'est un rectangle.
Le piège de la réponse BLe losange a des diagonales perpendiculaires, pas forcément de même longueur.
Le piège de la réponse CUn carré convient, mais ce n'est pas forcément un carré : il faudrait aussi des diagonales perpendiculaires.
Le piège de la réponse DLes diagonales d'un trapèze ne se coupent pas en leur milieu, sauf s'il s'agit d'un parallélogramme.
Rappel de coursDiagonales qui se coupent en leur milieu : parallélogramme. De même longueur en plus : rectangle. Perpendiculaires : losange. Les deux à la fois : carré.
5
Un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires. C'est forcément :
BUn losange
Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Le piège de la réponse ALe rectangle se reconnaît à des diagonales de même longueur, pas perpendiculaires.
Le piège de la réponse CPour un carré, il faudrait en plus des diagonales de même longueur.
Le piège de la réponse DDes diagonales perpendiculaires ne disent rien sur les angles du quadrilatère.
Rappel de coursUn losange a ses quatre côtés de même longueur. C'est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires, ou dont deux côtés consécutifs sont égaux.
6
Dans un triangle \(ABC\), \(M\) est sur \([AB]\), \(N\) sur \([AC]\) et \((MN)\parallel(BC)\). On a \(AM=2\), \(AB=6\) et \(BC=9\). Combien vaut \(MN\) ?
D\(3\)
Thalès : \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{2}{6}=\dfrac{MN}{9}\), donc \(MN=\dfrac{9\times2}{6}=3\).
Le piège de la réponse ARaisonnement additif : on retire à \(BC\) la différence \(6-2=4\). Thalès utilise des rapports, pas des différences.
Le piège de la réponse BOn inverse le rapport : \(\dfrac{9\times6}{2}=27\), plus grand que \(BC\), c'est impossible.
Le piège de la réponse COn divise \(BC\) par \(2\) : on utilise \(AM\) au lieu du rapport \(\dfrac{AM}{AB}\).
Rappel de coursThéorème de Thalès : si \((MN)\parallel(BC)\), alors \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\). Le petit triangle est une réduction du grand : toutes ses longueurs sont multipliées par le même nombre.
7
Combien d'axes de symétrie a un carré ?
A\(4\)
Un carré a \(4\) axes : les \(2\) médiatrices des côtés et les \(2\) diagonales.
Le piège de la réponse BOn oublie les diagonales (ou les médiatrices) : c'est le cas d'un rectangle non carré.
Le piège de la réponse CUn seul axe, c'est par exemple le cas d'un triangle isocèle non équilatéral.
Le piège de la réponse DOn compte deux fois chaque axe.
Rappel de coursNombre d'axes de symétrie : carré \(4\), rectangle non carré \(2\), losange non carré \(2\), triangle équilatéral \(3\), triangle isocèle \(1\), cercle une infinité. Un parallélogramme quelconque n'en a aucun.
8
Le point \(M\) est sur la médiatrice du segment \([AB]\) et \(MA=4\) cm. Combien mesure \(MB\) ?
D\(4\) cm
Tout point de la médiatrice de \([AB]\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\) : \(MB=MA=4\) cm.
Le piège de la réponse AOn double \(MA\) sans raison : la médiatrice donne l'égalité \(MA=MB\).
Le piège de la réponse BOn confond avec le milieu du segment : \(M\) n'est pas forcément le milieu de \([AB]\).
Le piège de la réponse CLa propriété de la médiatrice suffit pour conclure.
Rappel de coursLa médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants des deux extrémités : \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\) si et seulement si \(MA=MB\).
9
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), avec \(AB=6\) cm et \(BC=10\) cm. Combien mesure \(AC\) ?
C\(8\) cm
\(BC\) est l'hypoténuse : \(AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=100-36=64\), donc \(AC=8\) cm.
Le piège de la réponse AOn soustrait les longueurs : \(10-6=4\). Il faut soustraire les carrés.
Le piège de la réponse BOn additionne les longueurs : l'hypoténuse doit pourtant rester le plus long côté.
Le piège de la réponse DOn additionne les carrés comme si \(BC\) n'était pas l'hypoténuse : \(AC\) serait alors plus long que \(BC\).
Rappel de coursPour calculer un côté de l'angle droit, on utilise Pythagore avec une soustraction : \(AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\). On vérifie que l'hypoténuse reste le plus long côté.
10
Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet principal mesure \(40^\circ\). Combien mesure chacun des deux autres angles ?
B\(70^\circ\)
Les deux angles à la base sont égaux : \(\dfrac{180-40}{2}=\dfrac{140}{2}=70^\circ\).
Le piège de la réponse AOn oublie de partager \(180-40\) entre les deux angles à la base.
Le piège de la réponse COn croit que les trois angles sont égaux : c'est le cas du triangle équilatéral (\(60^\circ\) chacun).
Le piège de la réponse DOn calcule \(90-40\) comme si le triangle était rectangle.
Rappel de coursUn triangle isocèle a deux angles égaux, les angles à la base. Si l'angle au sommet principal mesure \(a\), chaque angle à la base vaut \(\dfrac{180-a}{2}\). Un triangle équilatéral a trois angles de \(60^\circ\).
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