Géométrie plane au CRPE

1Angles, triangles et droites remarquables

Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°. Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60° ; dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°).

Exemple. Dans un triangle isocèle dont l'angle au sommet mesure 40°, les deux angles à la base mesurent $(180 - 40) \div 2 = 70$°.

Angles et droites parallèles

Deux droites coupées par une sécante sont parallèles si et seulement si les angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux.

L'inégalité triangulaire

Dans un triangle, chaque côté est plus court que la somme des deux autres.

Exemple. On ne peut pas construire de triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm, car $3 + 4 = 7$ est inférieur à 8.

Les droites remarquables

• La médiatrice d'un segment est perpendiculaire en son milieu ; ses points sont à égale distance des extrémités. Les trois médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.
• La médiane relie un sommet au milieu du côté opposé ; la hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

2Les quadrilatères particuliers

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers.

Démontrer la nature d'un quadrilatère

On part des diagonales : si elles se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme ; si, en plus, elles ont la même longueur, c'est un rectangle ; si elles sont perpendiculaires, c'est un losange ; les deux à la fois, c'est un carré.

Exemple. Les diagonales de EFGH mesurent toutes deux 6 cm, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires : EFGH est à la fois un rectangle et un losange, donc un carré.

Définition ou propriété ?

Au CRPE, on demande souvent de distinguer la définition d'une figure de ses propriétés. Un carré est à la fois un rectangle (4 angles droits) et un losange (4 côtés égaux).

3Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Exemple. ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, donc BC = 10 cm.
Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : si l'hypoténuse mesure 13 et un côté 5, l'autre vaut $\sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Réciproque et contraposée

On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : s'il y a égalité, le triangle est rectangle (réciproque) ; sinon, il ne l'est pas (contraposée).

Exemple. Triangle de côtés 7 cm, 8 cm et 11 cm : $11^2 = 121$ mais $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$. Pas d'égalité : le triangle n'est pas rectangle.

4Le théorème de Thalès et les triangles semblables

Si deux droites sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles (BC) et (MN), alors les longueurs des deux triangles sont proportionnelles. La configuration peut être emboîtée ou en papillon.

Exemple. M est sur [AB], N sur [AC] et (MN) // (BC), avec AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,5 cm et BC = 10 cm. $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{AC} = \dfrac{MN}{10}$, donc AC = 7,5 cm et MN = 6 cm.

La réciproque : démontrer que deux droites sont parallèles

Si les points sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors (MN) et (BC) sont parallèles.

Exemple. AM = 2, AB = 5, AN = 3 et AC = 7,5 : $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $\dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4$. Les rapports sont égaux, donc (MN) // (BC).

Les triangles semblables

Deux triangles sont semblables quand leurs angles sont égaux deux à deux ; leurs côtés sont alors proportionnels. Les triangles de Thalès en sont un cas particulier.

5Symétries, translations et rotations

Ces transformations conservent les longueurs, les angles et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ.

• Symétrie axiale : un pliage le long d'une droite.
• Symétrie centrale : un demi-tour autour d'un point.
• Translation : un glissement en ligne droite, sans tourner.
• Rotation : on tourne autour d'un centre, d'un angle donné, dans un sens donné.

Exemple. Un carré de centre O est inchangé par la rotation de centre O et d'angle 90° : chaque sommet vient sur le suivant. Il a aussi 4 axes de symétrie.

Les erreurs classiques au concours

• Appliquer Pythagore dans un triangle dont on n'a pas justifié qu'il est rectangle.
• Se tromper d'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long.
• Conclure qu'un triangle est rectangle à partir de valeurs arrondies : la réciproque demande une égalité exacte.
• Écrire les rapports de Thalès dans le désordre, par exemple AM/AB = AN/NC au lieu de AN/AC.
• Utiliser la réciproque de Thalès sans vérifier que les points sont alignés dans le même ordre.
• Confondre définition et propriété : deux diagonales de même longueur ne suffisent pas à faire un rectangle.

Ce qui tombe au CRPE : exercices corrigés

Ces exercices des sujets officiels portent sur les notions de cette page. Chaque lien ouvre l'énoncé et son corrigé détaillé, en accès libre.

Les 53 exercices corrigés « Géométrie » →

Questions fréquentes