Sujet CRPE 2026 Mathématiques · Groupement 1 : corrigé

1

Corrigé

• Sport : \(40\,\%\times300=0\text{,}4\times300=120\) élèves.
• Musique et sport : \(60\,\%\times75=0\text{,}6\times75=45\) élèves.

Pour comprendre en détail

Ordre de remplissage

1. Total colonne « instrument » : \(75\) (donné).
2. Total ligne « sport » : \(0\text{,}4\times300=120\).
3. Case « sport et instrument » : \(60\,\%\) des \(75\) musiciens, soit \(45\).
4. Le reste par différences : \(120-45=75\) ; \(75-45=30\) ; \(300-120=180\) ; \(300-75=225\) ; \(180-30=150\).

Contrôle

Ligne « pas de sport » : \(30+150=180\) ✔ ; colonne « pas d'instrument » : \(75+150=225\) ✔.

2

Corrigé

Élèves ne pratiquant aucune des deux activités : \(150\). Donc \(300-150=150\) élèves pratiquent au moins une activité.

\(P=\dfrac{150}{300}=\dfrac12\).

Pour comprendre en détail

Deux méthodes

• Par l'évènement contraire : \(P(\text{aucune})=\dfrac{150}{300}=\dfrac12\), donc \(P(\text{au moins une})=1-\dfrac12=\dfrac12\).
• Par addition des cases : \(45+75+30=150\) élèves, d'où \(\dfrac{150}{300}=\dfrac12\).

3

Corrigé

On choisit parmi les \(120\) sportifs ; \(45\) d'entre eux jouent d'un instrument.

\(P=\dfrac{45}{120}=\dfrac{3}{8}\).

Pour comprendre en détail

Simplification : \(\dfrac{45}{120}=\dfrac{15\times3}{15\times8}=\dfrac38\), irréductible car \(3\) et \(8\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\).

1

Corrigé

On ajoute \(3\) carreaux : un carreau au bout de la ligne du haut, et une colonne de \(2\) carreaux au bloc du dessous.

Le nombre de carreaux augmente donc de \(3\) à chaque étape : \(1\), \(4\), \(7\), \(10\), …

Pour comprendre en détail

Lecture des figures

À l'étape \(n\), le motif est formé d'une ligne de \(n\) carreaux en haut et, en dessous, d'un bloc de \(2\) lignes de \(n-1\) carreaux. D'une étape à la suivante, la ligne du haut s'allonge de \(1\) et le bloc s'élargit d'une colonne de \(2\) : \(1+2=3\) carreaux de plus.

2

Corrigé

Étape \(5\) : \(10+3=13\) carreaux.

Étape \(20\) : on fait \(19\) ajouts de \(3\) depuis l'étape \(1\), soit \(1+19\times3=58\) carreaux.

Pour comprendre en détail

Vérification avec la description du motif

Étape \(20\) : ligne du haut de \(20\) carreaux, bloc de \(2\times19=38\) carreaux, total \(58\) ✔.

3

Corrigé

En B3 : =B2+3

(Autre possibilité, à partir du numéro d'étape : =3*A3-2.)

Pour comprendre en détail

Deux logiques de calcul

• Récurrente : =B2+3 (« le nombre précédent plus \(3\) »). En étirant, B4 contient =B3+3, etc.
• Explicite : =3*A3-2, qui utilise la formule de la question 4. Elle a l'avantage de ne pas dépendre des lignes précédentes.

4

Corrigé

À l'étape \(n\) : \(1+3(n-1)=3n-2\) carreaux.

Pour comprendre en détail

Deux justifications

• Par les ajouts : \(1\) carreau au départ, puis \(n-1\) ajouts de \(3\) : \(1+3(n-1)=3n-2\).
• Par la forme du motif : \(n\) carreaux en haut et \(2(n-1)\) dans le bloc : \(n+2n-2=3n-2\).

Vérification

\(n=1\) : \(1\) ✔ ; \(n=4\) : \(10\) ✔ ; \(n=20\) : \(58\) ✔.

5

Corrigé

\(3n-2=100\Leftrightarrow3n=102\Leftrightarrow n=34\) : oui, le motif compte \(100\) carreaux à l'étape \(34\).

\(3n-2=2\text{ }000\Leftrightarrow3n=2\text{ }002\). Or \(2\text{ }002\) n'est pas divisible par \(3\) (\(2+0+0+2=4\)) : \(n\) ne serait pas entier. Non, aucune étape ne compte exactement \(2\text{ }000\) carreaux.

Pour comprendre en détail

Autre regard : le reste dans la division par 3

\(3n-2=3(n-1)+1\) : le nombre de carreaux est toujours un multiple de \(3\) plus 1. \(100=3\times33+1\) convient ; \(2\text{ }000=3\times666+2\) ne convient pas.

Encadrement : étape \(667\) : \(1\text{ }999\) carreaux ; étape \(668\) : \(2\text{ }002\) carreaux. On « saute » \(2\text{ }000\).

1.a

Corrigé

Les cinq angles au centre \(\widehat{AOB}\), \(\widehat{BOC}\), \(\widehat{COD}\), \(\widehat{DOE}\), \(\widehat{EOA}\) sont égaux (les cinq côtés sont égaux) et forment un tour complet de \(360°\).

Donc \(\widehat{DOC}=\dfrac{360°}{5}=72°\).

Pour comprendre en détail

Pourquoi les angles au centre sont-ils égaux ?

Les triangles \(OAB\), \(OBC\), …, \(OEA\) ont tous deux côtés égaux au rayon du cercle et un troisième côté égal au côté du pentagone : ils sont superposables. Leurs angles au sommet O sont donc égaux.

1.b

Corrigé

O est le centre du cercle passant par C et D, donc \(\text{OC}=\text{OD}\) (rayons). Le triangle \(OCD\) est isocèle en O.

Il n'est pas équilatéral : son angle en O mesure \(72°\ne60°\).

Pour comprendre en détail

Ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\dfrac{180°-72°}{2}=54°\). Ce résultat sert à la question suivante.

1.c

Corrigé

Dans le triangle isocèle \(OCD\) : \(\widehat{OCD}=\dfrac{180°-72°}{2}=54°\). De même, dans \(OBC\) : \(\widehat{OCB}=54°\).

\(\widehat{DCB}=\widehat{OCD}+\widehat{OCB}=54°+54°=108°\).

Pour comprendre en détail

Méthode

On utilise la somme des angles d'un triangle (\(180°\)) et l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle.

Formule générale

Un angle d'un polygone régulier à \(n\) côtés mesure \(180°-\dfrac{360°}{n}\). Pour \(n=5\) : \(180°-72°=108°\) ✔.

1.d

Corrigé

Le pentagone a cinq angles égaux de \(108°\) : \(5\times108°=540°\).

Pour comprendre en détail

Autre méthode (valable pour tout pentagone)

Les cinq triangles de sommet O ont une somme d'angles de \(5\times180°=900°\). On retire le tour complet au centre (\(360°\)) : \(900°-360°=540°\).

2.a

Corrigé

\(\text{JK}=\text{KL}\) et \(\widehat{JKL}=90°\) : JKL est un triangle rectangle isocèle en K.

\(\text{LM}=\text{MN}\) et \(\widehat{LMN}=90°\) : LMN est un triangle rectangle isocèle en M.

Pour comprendre en détail

Il faut citer les deux propriétés (rectangle et isocèle) et préciser le sommet. Les angles aigus de chacun de ces triangles mesurent \(45°\).

2.b

Corrigé

Dans le triangle JKL rectangle en K, d'après le théorème de Pythagore :

\(\text{JL}^2=\text{JK}^2+\text{KL}^2=10^2+10^2=200\), donc \(\text{JL}=\sqrt{200}\) cm.

De même, dans LMN rectangle en M : \(\text{LN}^2=10^2+10^2=200\), donc \(\text{LN}=\sqrt{200}\) cm.

Pour comprendre en détail

On peut aussi écrire \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt2\approx14\text{,}1\) cm : c'est la diagonale d'un carré de côté \(10\) cm.

1

Corrigé

Le nombre de dizaines vaut \(12\) : X s'écrit \(12u\text{,}d\) (chiffres \(1\), \(2\), \(u\), \(d\)), avec \(u\ne0\), \(d\ne0\) et \(u=3d\).

Comme \(u\le9\), \(d\) vaut \(1\), \(2\) ou \(3\) : X peut valoir \(123\text{,}1\), \(126\text{,}2\) ou \(129\text{,}3\).

Il y a trois valeurs possibles : l'affirmation 1 est fausse.

Pour comprendre en détail

Pourquoi X a-t-il cette forme ?

« \(12\) dizaines » signifie \(120\le X<130\) : X commence par \(12\). Quatre chiffres en tout, tous non nuls : il reste exactement le chiffre des unités et celui des dixièmes.

Recherche exhaustive

2

Corrigé

Contre-exemple : \(20=4\times5=10\times2\) est multiple de \(4\) et de \(10\), mais \(20\) n'est pas multiple de \(40\).

L'affirmation 2 est fausse.

Pour comprendre en détail

Explication

Les multiples communs de \(4\) et \(10\) sont les multiples de leur PPCM : \(4=2^2\), \(10=2\times5\), \(\text{PPCM}=2^2\times5=20\). Ce n'est pas \(4\times10=40\), car \(4\) et \(10\) ont le facteur \(2\) en commun.

3

Corrigé

Soit \(P\) le prix d'un produit.

• Offre 1 : on paie \(P+0\text{,}5P=1\text{,}5P\) pour \(2\) produits, soit \(0\text{,}75P\) le produit (\(-25\,\%\)).
• Offre 2 : on paie \(P\) pour \(1\text{,}5\) produit, soit \(\dfrac{P}{1\text{,}5}\approx0\text{,}667P\) le produit (environ \(-33\,\%\)).

Le prix par unité de produit n'est pas le même : l'affirmation 3 est fausse (l'offre 2 est plus avantageuse).

Pour comprendre en détail

Avec un exemple chiffré

Produit à \(12\) € : offre 1, \(12+6=18\) € pour \(2\) produits, soit \(9\) € l'unité. Offre 2, \(12\) € pour \(1\text{,}5\) produit, soit \(8\) € l'unité.

Pourquoi l'intuition trompe

Dans les deux cas apparaît « \(50\,\%\) », mais pas sur la même grandeur : l'offre 1 réduit le prix d'un des deux produits, l'offre 2 augmente la quantité pour le même prix.

4

Corrigé

Soit \(x\) un nombre décimal : \(x=\dfrac{a}{10^n}\) avec \(a\) entier.

\(\dfrac{x}{4}=x\times0\text{,}25=\dfrac{a}{10^n}\times\dfrac{25}{100}=\dfrac{25a}{10^{n+2}}\), qui est un nombre décimal.

L'affirmation 4 est vraie.

Pour comprendre en détail

Exemples

\(7\div4=1\text{,}75\) ; \(0\text{,}3\div4=0\text{,}075\). Tester des exemples illustre mais ne prouve pas : il faut le raisonnement général.

Pourquoi ça marche avec 4 et pas avec 3

\(4=2^2\) divise une puissance de \(10\) (\(100=4\times25\)). Avec \(3\), ce n'est plus vrai : \(1\div3=0\text{,}333\ldots\) n'est pas décimal.

1

Corrigé

Entre O et U il y a \(8\) intervalles : une graduation vaut \(\dfrac18\).

A est à \(4\) graduations de O : \(a=\dfrac48=\dfrac12\). B est à \(11\) graduations de O : \(b=\dfrac{11}{8}\).

Pour comprendre en détail

Méthode

L'unité (de O à U) est partagée en \(8\) parts égales : chaque intervalle représente \(\dfrac18=0\text{,}125\).

\(a=4\times\dfrac18=\dfrac12=0\text{,}5\) et \(b=11\times\dfrac18=\dfrac{11}{8}=1\text{,}375\).

2.a

Corrigé

\(\dfrac{0+\frac12}{2}=\dfrac14\). Le milieu de [OA] a pour abscisse \(\dfrac14\) (\(=0\text{,}25\)).

Pour comprendre en détail

Sur l'axe, c'est la graduation située à \(2\) intervalles de O (la moitié des \(4\) intervalles de O à A) : \(\dfrac28=\dfrac14\) ✔.

2.b

Corrigé

\(\dfrac{0+\frac{11}{8}}{2}=\dfrac{11}{16}\). Le milieu de [OB] a pour abscisse \(\dfrac{11}{16}\) (\(=0\text{,}6875\)).

Pour comprendre en détail

Ici le milieu ne tombe pas sur une graduation : il est situé à \(5\text{,}5\) intervalles de O, entre les graduations \(\dfrac58\) et \(\dfrac68\). On a bien \(\dfrac{5\text{,}5}{8}=\dfrac{11}{16}\).

3

Corrigé

Un point appartient à [AB] si et seulement si son abscisse est comprise entre \(\dfrac12\) et \(\dfrac{11}{8}\).

Point C : \(a=\dfrac12=0\text{,}5\) et \(0\text{,}45<0\text{,}5\). C est à gauche de A : C n'appartient pas à [AB].

Point D : on écrit les fractions avec le dénominateur \(24\) : \(\dfrac12=\dfrac{12}{24}\), \(\dfrac43=\dfrac{32}{24}\), \(\dfrac{11}{8}=\dfrac{33}{24}\). Comme \(12<32<33\), on a \(\dfrac12<\dfrac43<\dfrac{11}{8}\) : D appartient à [AB].

Pour comprendre en détail

Choisir la bonne écriture

• Pour C, l'écriture décimale suffit : \(a=0\text{,}5\), et \(0\text{,}45<0\text{,}50\) (comparer les dixièmes : \(4<5\)).
• Pour D, \(\dfrac43=1\text{,}333\ldots\) n'a pas d'écriture décimale finie : on compare des fractions de même dénominateur. \(24\) est le plus petit multiple commun de \(2\), \(3\) et \(8\).

Autre démarche pour D

\(\dfrac43=1+\dfrac13\) et \(\dfrac{11}{8}=1+\dfrac38\). Il suffit de comparer \(\dfrac13\) et \(\dfrac38\) : \(\dfrac13=\dfrac{8}{24}<\dfrac{9}{24}=\dfrac38\). Donc \(\dfrac43<\dfrac{11}{8}\), et bien sûr \(\dfrac43>1>\dfrac12\).