Proportionnalité et pourcentages au CRPE

1Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe des valeurs de l'une à celles de l'autre en multipliant toujours par le même nombre non nul : le coefficient de proportionnalité.

Exemple. 3 kg de pommes coûtent 7,50 € et 5 kg coûtent 12,50 €. On a $7{,}5 \div 3 = 2{,}5$ et $12{,}5 \div 5 = 2{,}5$ : le prix est proportionnel à la masse, le coefficient est 2,5 (le prix d'un kilo).

Tester avec les produits en croix

Si $a$ correspond à $b$ et $c$ à $d$, il y a proportionnalité si et seulement si $a \times d = b \times c$.

Exemple. Pour 4 → 10 et 6 → 15 : $4 \times 15 = 60$ et $10 \times 6 = 60$, le tableau est proportionnel.

Sur un graphique

Une situation de proportionnalité se représente par des points alignés avec l'origine du repère. Des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine ne suffisent pas.

Exemple. Un taxi facture 3 € de prise en charge puis 1,50 € par kilomètre : 10 km coûtent 18 €, mais 20 km coûtent 33 €, pas le double. Le prix n'est pas proportionnel à la distance.

2Calculer une quatrième proportionnelle

Quand trois valeurs sont connues, on calcule la quatrième. Au CRPE, il faut connaître plusieurs procédures, car on demande souvent d'analyser celles d'élèves :

• passage par l'unité : on calcule la valeur pour 1, puis on multiplie ;
• coefficient de proportionnalité : on multiplie par le même nombre d'une ligne à l'autre ;
• linéarité : on additionne ou on multiplie des colonnes connues ;
• produit en croix : $x = \dfrac{b \times c}{a}$, efficace mais peu explicable à l'école.

Exemple. 4 cahiers coûtent 6 €. Combien coûtent 10 cahiers ?
Unité : 1 cahier coûte $6 \div 4 = 1{,}5$ €, donc 10 cahiers coûtent 15 €.
Linéarité : $10 = 4 + 4 + 2$, donc le prix vaut $6 + 6 + 3 = 15$ €.

Les échelles

Une échelle est un coefficient de proportionnalité : $\text{échelle} = \dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$, les deux distances étant dans la même unité. À l'échelle $\frac{1}{25\,000}$, 1 cm sur la carte représente 25 000 cm, soit 250 m.

Exemple. Sur un plan, 5 cm représentent 2 km, soit 200 000 cm. L'échelle est $\dfrac{5}{200\,000} = \dfrac{1}{40\,000}$.

Partager selon un ratio

Deux nombres $a$ et $b$ sont dans le ratio 2 : 3 si $\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3}$ : pour 2 parts de l'un, il y a 3 parts de l'autre, soit 5 parts en tout.

Exemple. On partage 40 billes dans le ratio 3 : 5. Il y a 8 parts de $40 \div 8 = 5$ billes : on obtient 15 billes et 25 billes.

3Calculer avec des pourcentages

Un pourcentage est une proportion écrite sur une base 100 : $t\,\% = \dfrac{t}{100}$. Ainsi 25 %, $\dfrac{1}{4}$ et 0,25 désignent la même proportion.

Les trois calculs à maîtriser

• Prendre $t\,\%$ d'une quantité : on la multiplie par $\dfrac{t}{100}$.
• Calculer un pourcentage : $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100$.
• Retrouver le total : on divise la partie par $\dfrac{t}{100}$.

Exemple. 30 % de 80 élèves : $0{,}3 \times 80 = 24$ élèves.
18 élèves sur 24 sont demi-pensionnaires : $\dfrac{18}{24} = 0{,}75$, soit 75 %.
15 % des élèves, soit 12 élèves, font du judo : il y a $12 \div 0{,}15 = 80$ élèves.

Pourcentage d'un pourcentage

Prendre $t_1\,\%$ de $t_2\,\%$ revient à multiplier les deux proportions.

Exemple. 40 % des élèves sont des filles et 25 % d'entre elles font du judo : $0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1$. Les judokates représentent 10 % des élèves.

4Augmentations, réductions et évolutions successives

Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. Ce nombre est le coefficient multiplicateur.

Exemple. Un jeu à 80 € est soldé à −25 % : $80 \times 0{,}75 = 60$ €. Un article à 50 € HT avec une TVA de 20 % coûte $50 \times 1{,}2 = 60$ € TTC.

Calculer un taux d'évolution

$\text{taux} = \dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.

Exemple. Un effectif passe de 40 à 50 élèves : $\dfrac{50 - 40}{40} = 0{,}25$, soit une hausse de 25 %.

Enchaîner deux évolutions

On multiplie les coefficients, on n'additionne jamais les pourcentages.

Exemple. Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$. Le prix baisse de 4 %, il ne revient pas à sa valeur de départ.

Retrouver la valeur de départ

On divise par le coefficient multiplicateur.

Exemple. Un article coûte 72 € TTC avec une TVA de 20 % : le prix HT vaut $72 \div 1{,}2 = 60$ €, et non $72 - 20\,\%$.

Les erreurs classiques au concours

• Croire qu'une situation où les deux grandeurs augmentent ensemble est forcément proportionnelle : un tarif avec des frais fixes ne l'est pas.
• Conclure à la proportionnalité parce que les points sont alignés, sans vérifier que la droite passe par l'origine.
• Calculer une échelle sans mettre les deux distances dans la même unité.
• Dans un ratio 2 : 3, prendre les 2/3 du total au lieu des 2/5.
• Additionner deux pourcentages successifs : +10 % puis +10 % font +21 %, pas +20 %.
• Retrouver un prix HT en retirant 20 % du prix TTC : il faut diviser par 1,2.

Ce qui tombe au CRPE : exercices corrigés

Ces exercices des sujets officiels portent sur les notions de cette page. Chaque lien ouvre l'énoncé et son corrigé détaillé, en accès libre.

Les 55 exercices corrigés « Pourcentages et proportionnalité » →

Questions fréquentes