1
\(3\) cahiers coûtent \(6\) €. Le prix est proportionnel au nombre de cahiers. Combien coûtent \(5\) cahiers ?
A\(10\) €
Un cahier coûte \(\dfrac{6}{3}=2\) €, donc \(5\) cahiers coûtent \(5\times2=10\) €.
Le piège de la réponse BDe \(3\) à \(5\) cahiers on ajoute \(2\), alors on ajoute \(2\) € au prix : ce raisonnement additif est faux en situation de proportionnalité.
Le piège de la réponse COn calcule \(3\times5\) : on mélange le nombre de cahiers et le prix.
Le piège de la réponse DOn calcule \(6\times5\) : c'est le prix de \(15\) cahiers, pas de \(5\).
Rappel de coursDans une situation de proportionnalité, on passe par la valeur unitaire (le prix d'un objet), par le coefficient de proportionnalité ou par la linéarité (additionner ou multiplier les colonnes d'un tableau). Ajouter la même quantité aux deux grandeurs ne conserve pas la proportionnalité.
2
Dans un tableau de proportionnalité, \(4\) correspond à \(10\). À quoi correspond \(6\) ?
A\(15\)
Le coefficient vaut \(\dfrac{10}{4}=2{,}5\), donc \(6\times2{,}5=15\). Ou bien : \(6=4+2\) et \(2\) est la moitié de \(4\), d'où \(10+5=15\).
Le piège de la réponse BOn ajoute \(2\) aux deux nombres (de \(4\) à \(6\), donc de \(10\) à \(12\)) : raisonnement additif.
Le piège de la réponse COn calcule \(6+10\) au lieu d'utiliser le coefficient.
Le piège de la réponse DOn multiplie par \(4\) au lieu de \(2{,}5\).
Rappel de coursDeux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité. Par linéarité : si \(4\to10\), alors \(2\to5\) et \(6\to15\).
3
Combien vaut \(20\ \%\) de \(60\) ?
C\(12\)
\(\dfrac{20}{100}\times60=12\). Ou : \(10\ \%\) de \(60\) vaut \(6\), donc \(20\ \%\) vaut \(12\).
Le piège de la réponse AOn divise \(60\) par \(20\) : prendre \(20\ \%\) n'est pas diviser par \(20\).
Le piège de la réponse BOn calcule \(60-20\) : on retire \(20\) au lieu de prendre \(20\ \%\).
Le piège de la réponse DOn multiplie par \(2\) au lieu de \(0{,}2\).
Rappel de coursPrendre \(t\ \%\) d'une quantité revient à la multiplier par \(\dfrac{t}{100}\). En calcul mental, \(10\ \%\) s'obtient en divisant par \(10\) ; on en déduit \(20\ \%\), \(30\ \%\) ou \(5\ \%\).
4
Un article coûte \(40\) €. Son prix augmente de \(10\ \%\). Quel est son nouveau prix ?
B\(44\) €
L'augmentation vaut \(10\ \%\) de \(40\), soit \(4\) €. Nouveau prix : \(40+4=44\) €, ou directement \(40\times1{,}1=44\).
Le piège de la réponse AOn ajoute \(10\) € au lieu de \(10\ \%\).
Le piège de la réponse COn applique une baisse de \(10\ \%\) au lieu d'une hausse.
Le piège de la réponse DC'est le montant de l'augmentation, pas le nouveau prix.
Rappel de coursAugmenter de \(t\ \%\) revient à multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; diminuer de \(t\ \%\) revient à multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\). Par exemple, \(+10\ \%\) correspond à \(\times1{,}1\) et \(-25\ \%\) à \(\times0{,}75\).
5
Un prix de \(80\) € baisse de \(25\ \%\). Quel est le nouveau prix ?
C\(60\) €
\(25\ \%\) de \(80\), c'est le quart de \(80\), soit \(20\) €. Nouveau prix : \(80-20=60\) €, ou \(80\times0{,}75=60\).
Le piège de la réponse AOn retire \(25\) € au lieu de \(25\ \%\).
Le piège de la réponse BC'est le montant de la baisse, pas le nouveau prix.
Le piège de la réponse DOn applique une hausse de \(25\ \%\) au lieu d'une baisse.
Rappel de coursPourcentages à reconnaître : \(50\ \%\) est la moitié, \(25\ \%\) le quart, \(75\ \%\) les trois quarts, \(10\ \%\) le dixième. On calcule le montant de la variation puis on l'ajoute ou on le retire, ou bien on multiplie directement par le coefficient.
6
Un prix augmente de \(10\ \%\), puis baisse de \(10\ \%\). Au final :
BIl a baissé de \(1\ \%\)
On multiplie par \(1{,}1\) puis par \(0{,}9\) : \(1{,}1\times0{,}9=0{,}99\). Le prix final vaut \(99\ \%\) du prix de départ : il a baissé de \(1\ \%\).
Le piège de la réponse AOn croit que \(+10\ \%\) et \(-10\ \%\) se compensent, mais la baisse porte sur un prix plus grand.
Le piège de la réponse COn ne garde que la dernière évolution.
Le piège de la réponse DLe sens est inversé : \(0{,}99\) est inférieur à \(1\), donc c'est une baisse.
Rappel de coursDes pourcentages successifs ne s'additionnent pas : on multiplie les coefficients multiplicateurs. Une hausse de \(t\ \%\) suivie d'une baisse de \(t\ \%\) donne toujours une baisse.
7
Sur une carte à l'échelle \(\dfrac{1}{25\,000}\), \(4\) cm représentent dans la réalité :
D\(1\) km
\(4\times25\,000=100\,000\) cm, soit \(1\,000\) m, c'est-à-dire \(1\) km.
Le piège de la réponse AErreur de conversion : \(100\,000\) cm font \(1\) km, pas \(10\) km.
Le piège de la réponse BErreur de conversion : \(100\,000\) cm font \(1\,000\) m, pas \(100\) m.
Le piège de la réponse COn lit \(100\,000\) comme des mètres : ce sont des centimètres.
Rappel de coursUne échelle \(\dfrac{1}{n}\) signifie que \(1\) cm sur le plan représente \(n\) cm dans la réalité : c'est une situation de proportionnalité. On calcule en cm, puis on convertit (\(1\) m \(=100\) cm, \(1\) km \(=100\,000\) cm).
8
Une classe de \(25\) élèves compte \(15\) filles. Quel est le pourcentage de filles ?
D\(60\ \%\)
\(\dfrac{15}{25}=\dfrac{60}{100}\), soit \(60\ \%\).
Le piège de la réponse AOn confond l'effectif (\(15\) filles) et le pourcentage.
Le piège de la réponse BC'est le pourcentage de garçons : \(\dfrac{10}{25}=40\ \%\).
Le piège de la réponse COn calcule \(25-15=10\) : c'est le nombre de garçons, pas un pourcentage.
Rappel de coursPour exprimer une part en pourcentage, on calcule la proportion \(\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}\), puis on l'écrit avec le dénominateur \(100\) (ou on multiplie par \(100\)).
9
Une voiture roule à vitesse constante et parcourt \(150\) km en \(2\) h. Quelle distance parcourt-elle en \(3\) h ?
B\(225\) km
En \(1\) h elle parcourt \(\dfrac{150}{2}=75\) km, donc en \(3\) h : \(3\times75=225\) km. Ou : \(3\) h \(=2\) h \(+1\) h, donc \(150+75=225\) km.
Le piège de la réponse AC'est la distance en \(1\) h : on s'arrête à la valeur unitaire.
Le piège de la réponse COn double \(150\) : c'est la distance en \(4\) h.
Le piège de la réponse DOn calcule \(150\times3\) en oubliant que \(150\) km correspondent à \(2\) h, pas à \(1\) h.
Rappel de coursÀ vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée. On passe par l'unité (la distance en \(1\) heure) ou par la linéarité (\(3\) h \(=2\) h \(+1\) h).
10
Après une hausse de \(20\ \%\), un prix vaut \(60\) €. Quel était le prix avant la hausse ?
A\(50\) €
Le prix initial \(p\) vérifie \(p\times1{,}2=60\), donc \(p=\dfrac{60}{1{,}2}=50\) €. Vérification : \(20\ \%\) de \(50\) vaut \(10\), et \(50+10=60\).
Le piège de la réponse BOn retire \(20\ \%\) de \(60\) : la hausse portait sur l'ancien prix, pas sur \(60\).
Le piège de la réponse COn retire \(20\) € au lieu d'inverser la hausse de \(20\ \%\).
Le piège de la réponse DOn applique une deuxième hausse de \(20\ \%\) au lieu de revenir en arrière.
Rappel de coursPour retrouver une valeur avant une évolution, on divise par le coefficient multiplicateur : après une hausse de \(20\ \%\), on divise par \(1{,}2\). Retirer \(20\ \%\) du nouveau prix ne redonne pas l'ancien.
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