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Sujet CRPE 2025 Mathématiques · Groupement 2 : corrigé

Durée : 3 heures20 points5 exercices

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Exercice 1 – Nombres décimaux, rationnels, divisibilitéVoir le corrigé ↓

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : $\dfrac{35}{7}$ n'est pas un nombre décimal.

Affirmation 2 : $22\text{,}9$ est un nombre rationnel.

Affirmation 3 : la somme de sept nombres entiers consécutifs est un multiple de $7$.

Un nombre entier positif est parfait signifie qu'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts (tout diviseur hormis lui-même). Par exemple, $6$ est un nombre parfait car $6=1+2+3$.
Affirmation 4 : $496$ est un nombre parfait.

Affirmation 5 : quel que soit le nombre réel positif $x$, la racine carrée de $x$ est inférieure ou égale à $x$.

Affirmation 6 : tout rectangle a pour axes de symétrie ses diagonales.

Voir le corrigé de l'exercice 1

1

Corrigé

$\dfrac{35}{7}=5$, qui est un nombre entier, donc un nombre décimal.

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule ; tout entier est décimal ($5=5\text{,}0$). Une fraction n'est pas forcément « non décimale » parce qu'elle s'écrit avec une barre de fraction.

2

Corrigé

$22\text{,}9=\dfrac{229}{10}$ : quotient de deux entiers, donc rationnel.

L'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

À retenir : tout décimal est rationnel ($\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$) : on l'écrit avec une puissance de $10$ au dénominateur.

3

Corrigé

Soit $n$ le plus petit des sept entiers. La somme vaut :

$n+(n+1)+\cdots+(n+6)=7n+(1+2+3+4+5+6)=7n+21=7(n+3)$.

C'est un multiple de $7$ : l'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Autre façon : en prenant l'entier central $m$, les sept entiers sont $m-3,\dots,m+3$ ; les termes opposés s'annulent et la somme vaut $7m$.

Un exemple ($1+2+\cdots+7=28=7\times4$) ne prouve rien ; la démonstration avec une lettre est nécessaire.

4

Corrigé

$496=2^4\times31$. Ses diviseurs sont $1,2,4,8,16$ et $31,62,124,248,496$.

Somme des diviseurs stricts : $1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$.

$496$ est égal à la somme de ses diviseurs stricts : l'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Regroupement : $1+2+4+8+16=31$ et $31\times(1+2+4+8+16)=31\times31=961$ donnent la somme de tous les diviseurs $31\times32=992=2\times496$ ; en retirant $496$ lui-même il reste $496$ ✔.

Les premiers nombres parfaits sont $6$, $28$, $496$, $8\text{ }128$.

5

Corrigé

Contre-exemple : $x=0\text{,}25$. On a $\sqrt{0\text{,}25}=0\text{,}5$ et $0\text{,}5>0\text{,}25$.

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

En fait $\sqrt{x}\leqslant x$ seulement pour $x=0$ ou $x\geqslant1$. Entre $0$ et $1$, la racine carrée d'un nombre est plus grande que lui ($\sqrt{0\text{,}01}=0\text{,}1$).

6

Corrigé

Contre-exemple : un rectangle non carré, de longueur $4$ et de largeur $2$. Dans la symétrie d'axe une diagonale, le sommet voisin d'une extrémité de la diagonale n'a pas pour image un sommet du rectangle (les côtés $4$ et $2$ ne se correspondent pas).

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Les axes de symétrie d'un rectangle sont les deux médianes (droites passant par les milieux de côtés opposés). Les diagonales ne sont des axes de symétrie que pour un carré, ou plus généralement pour un losange.

S'entraîner sur le même thèmeNombres et arithmétique →Géométrie →Vrai-faux →

📘 Revoir la méthode : fiches Nombres et arithmétique · Géométrie dans Les fiches magiques CRPE →

Exercice 2 – Pourcentages, proportionnalité, volumesVoir le corrigé ↓

Claire, éleveuse et productrice de lait fabrique et commercialise du beurre. Elle utilise $8$ L de lait pour fabriquer $1$ L de crème fraîche. Pour produire $1$ kg de beurre, $3$ L de cette crème sont nécessaires. L'éleveuse possède $248$ vaches. Chaque vache fournit en moyenne $30$ L de lait chaque jour.

La transformation du lait en crème entraîne une réduction du volume. Montrer que cette réduction est de $87\text{,}5\,\%$.

Déterminer la masse de beurre, en kilogrammes, que peut espérer fabriquer Claire chaque jour, si elle utilise la totalité du lait produit par ses vaches.

3.a

Claire décide de vendre son beurre en plaquette de $250$ g. Chaque plaquette a une forme pouvant être assimilée à un pavé droit dont les dimensions sont $10$ cm de longueur, $6\text{,}5$ cm de largeur et $3\text{,}5$ cm de hauteur. Déterminer le volume d'une plaquette de beurre. On exprimera le résultat en cm$^3$.

3.b

On donne la formule permettant de calculer la masse volumique $\rho$ du beurre, $\rho=\dfrac{m}{V}$ avec $m$ la masse du beurre et $V$ son volume. La masse volumique du lait est de $1\text{,}03$ kg/L. Comparer la masse volumique du beurre avec celle du lait.

4.a

Pour emballer chaque plaquette de beurre, Claire utilise une feuille rectangulaire de papier alimentaire de dimensions $23$ cm et $20$ cm. Montrer qu'il est possible d'emballer une plaquette de beurre dans le papier alimentaire choisi par Claire. Une réponse sous la forme d'un schéma sera acceptée.

4.b

On note A l'aire totale de la surface du pavé droit représentant la plaquette de beurre. Calculer A en cm$^2$.

4.c

Claire pense que l'aire A représente au moins $60\,\%$ de l'aire de la feuille de papier alimentaire. A-t-elle raison ?

5.a

Claire fixe le prix du beurre à $2\text{,}5$ € la plaquette. Afin de tenir la comptabilité de ses ventes mensuelles de plaquettes de beurre, elle utilise la feuille de calcul ci-dessous.

Feuille de calcul « Ventes mars 2025 ». Colonnes A (client), B (nombre de plaquettes vendues), C (prix total, vide). Lignes 3 à 8 : coopérative laitière 18400 ; supermarché A 8800 ; supermarché B 6100 ; épicerie fine 1300 ; vendeur marché 1438 ; vente à la ferme 327. Ligne 9 : TOTAL, cellules vides.

Proposer une formule qui peut être saisie dans la cellule B9 pour obtenir le nombre total de plaquettes de beurre vendues en mars 2025. Aucune justification n'est attendue.

5.b

Proposer une formule qui peut être saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas pour compléter la colonne C. Aucune justification n'est attendue.

Voir le corrigé de l'exercice 2

1

Corrigé

$8$ L de lait donnent $1$ L de crème : le volume passe de $8$ à $1$.

$\dfrac{1-8}{8}=-\dfrac78=-0\text{,}875$ : le volume diminue de $87\text{,}5\,\%$.

Pour comprendre en détail

Autre lecture : la crème représente $\dfrac18=12\text{,}5\,\%$ du volume de lait, donc on perd $100-12\text{,}5=87\text{,}5\,\%$.

2

Corrigé

Lait : $248\times30=7\text{ }440$ L par jour.

Crème : $\dfrac{7\text{ }440}{8}=930$ L.

Beurre : $\dfrac{930}{3}=310$ kg.

Claire peut fabriquer $310$ kg de beurre par jour.

Pour comprendre en détail

Vérification en sens inverse : $310$ kg de beurre demandent $310\times3=930$ L de crème, soit $930\times8=7\text{ }440$ L de lait ✔.

3.a

Corrigé

$V=10\times6\text{,}5\times3\text{,}5=227\text{,}5$ cm$^3$.

3.b

Corrigé

$m=250$ g $=0\text{,}25$ kg et $V=227\text{,}5$ cm$^3=0\text{,}2275$ L.

$\rho=\dfrac{0\text{,}25}{0\text{,}2275}\approx1\text{,}10$ kg/L.

$1\text{,}10>1\text{,}03$ : la masse volumique du beurre (d'après ces données) est supérieure à celle du lait.

Pour comprendre en détail

En g/cm$^3$, le résultat est le même : $\dfrac{250}{227\text{,}5}\approx1\text{,}10$ g/cm$^3$, car $1$ kg/L $=1$ g/cm$^3$. C'est la cohérence des unités qui compte : il faut comparer à une grandeur exprimée dans la même unité que $1\text{,}03$ kg/L.

4.a

Corrigé

Le patron du pavé en « croix » se compose d'une bande de quatre faces autour de la plaquette, de longueur $6\text{,}5+3\text{,}5+6\text{,}5+3\text{,}5=20$ cm et de hauteur $10$ cm, avec deux faces de $6\text{,}5\times3\text{,}5$ cm collées au-dessus et au-dessous de la bande.

Ce patron tient dans un rectangle de $20$ cm sur $10+3\text{,}5+3\text{,}5=17$ cm, qui est contenu dans la feuille de $23$ cm sur $20$ cm. Il est donc possible d'emballer la plaquette.

Patron du pavé dans la feuille (échelle $1$ cm $\to10$ px)

Pour comprendre en détail

On peut aussi justifier sans patron : en enroulant la feuille autour du pavé dans le sens de la largeur de $23$ cm, il faut couvrir le tour de la section $6\text{,}5\times3\text{,}5$, soit $20$ cm $\leqslant23$ cm ; dans l'autre sens, $20$ cm couvrent les $10$ cm de longueur plus les rabats de chaque extrémité ($10+3\text{,}5+3\text{,}5=17\leqslant20$).

4.b

Corrigé

$\mathrm{A}=2\times(10\times6\text{,}5+10\times3\text{,}5+6\text{,}5\times3\text{,}5)=2\times(65+35+22\text{,}75)=2\times122\text{,}75=245\text{,}5$ cm$^2$.

Pour comprendre en détail

Les trois types de faces sont : dessus-dessous ($10\times6\text{,}5$), côtés ($10\times3\text{,}5$), bouts ($6\text{,}5\times3\text{,}5$), chacun en double d'où le facteur $2$.

4.c

Corrigé

Aire de la feuille : $23\times20=460$ cm$^2$.

$\dfrac{245\text{,}5}{460}\approx0\text{,}534$, soit environ $53\text{,}4\,\%$, inférieur à $60\,\%$.

Claire a tort.

Pour comprendre en détail

Autre contrôle : $60\,\%$ de $460$ cm$^2$ font $276$ cm$^2$, et $245\text{,}5<276$ ✔.

5.a

Corrigé

En B9 : =SOMME(B3:B8) (ou =B3+B4+B5+B6+B7+B8).

Pour comprendre en détail

Le résultat affiché serait $36\text{ }365$ plaquettes.

5.b

Corrigé

En C3 : =B3*2,5 (avec une virgule décimale dans un tableur en français).

Pour comprendre en détail

Recopiée vers le bas, elle devient =B4*2,5, =B5*2,5… La référence à B s'adapte à chaque ligne, le prix $2\text{,}5$ reste le même. Pour changer le prix facilement, on pourrait le mettre dans une cellule dédiée (par exemple E1) et écrire =B3*$E$1.

S'entraîner sur le même thèmeTableur →Pourcentages et proportionnalité →Aires et volumes →

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Exercice 3 – Probabilités, expériences indépendantes, événement contraireVoir le corrigé ↓

La pratique du saut en longueur comprend une course d'élan suivie d'un saut. Une planche d'appel est placée sur la piste d'élan. Si le pied de l'athlète touche ou dépasse cette planche, le saut n'est pas mesuré. Dans ces deux cas, on dit que l'athlète a « mordu ». Si l'athlète n'a pas « mordu », on dit que le saut est réussi.

Pour chaque saut de l'athlète Jean-Baptiste, on considère que :

les événements « toucher la planche », « dépasser la planche » et « réussir le saut » sont équiprobables,
le succès ou l'échec d'un saut n'influence pas le saut suivant.

Jean-Baptiste effectue deux sauts. Pour chaque question, les résultats seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible.

Déterminer la probabilité que Jean-Baptiste réussisse chacun de ses deux sauts.

Déterminer la probabilité qu'il « morde » au premier saut et qu'il réussisse le second.

Déterminer la probabilité qu'il « morde » exactement une fois.

Déterminer la probabilité qu'il « morde » au moins une fois lors de ses deux sauts.

Voir le corrigé de l'exercice 3

1

Corrigé

Pour un saut, les trois événements « toucher », « dépasser » et « réussir » sont équiprobables et forment toutes les issues possibles : chacun a la probabilité $\dfrac13$.

Les deux sauts étant indépendants : $P=\dfrac13\times\dfrac13=\dfrac19$.

Pour comprendre en détail

Un arbre pondéré à deux niveaux (réussi $\dfrac13$ / mordu $\dfrac23$ à chaque saut) donne les quatre chemins : RR ($\dfrac19$), RM ($\dfrac29$), MR ($\dfrac29$), MM ($\dfrac49$) ; leur somme vaut $1$.

Attention : « mordre » regroupe deux événements (toucher ou dépasser) : $P(\text{mordre})=\dfrac13+\dfrac13=\dfrac23$, et non $\dfrac13$.

2

Corrigé

$P(\text{mordre au 1}^{\text{er}}\text{ saut})=\dfrac13+\dfrac13=\dfrac23$ et $P(\text{réussir le 2}^{\text{e}})=\dfrac13$.

$P=\dfrac23\times\dfrac13=\dfrac29$.

3

Corrigé

Deux issues disjointes : mordre puis réussir ($\dfrac29$), ou réussir puis mordre ($\dfrac13\times\dfrac23=\dfrac29$).

$P=\dfrac29+\dfrac29=\dfrac49$.

Pour comprendre en détail

Erreur fréquente : ne compter qu'un seul des deux ordres. « Exactement une fois » comprend « M puis R » et « R puis M ».

4

Corrigé

L'événement contraire est « ne pas mordre du tout », c'est-à-dire « réussir les deux sauts », de probabilité $\dfrac19$.

$P=1-\dfrac19=\dfrac89$.

Pour comprendre en détail

Vérification en additionnant les cas : exactement une fois ($\dfrac49$) et deux fois ($\dfrac23\times\dfrac23=\dfrac49$) : $\dfrac49+\dfrac49=\dfrac89$ ✔.

S'entraîner sur le même thèmeNombres et arithmétique →Probabilités →Aires et volumes →

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Exercice 4 – Thalès, Pythagore, équationsVoir le corrigé ↓

Alice et Bob vivent dans deux maisons situées de part et d'autre d'un ruisseau. Ils décident de construire un pont sur le ruisseau pour se rendre d'une maison à l'autre. Pour placer le pont, ils hésitent entre les deux possibilités. La figure ci-dessous représente le schéma qu'Alice et Bob ont réalisé de leur quartier. Les points A et B représentent leurs maisons respectives, la droite (IJ) représente le ruisseau et le point P la position du pont. Sur ce schéma et dans tout l'exercice, on considère le ruisseau rectiligne et sa largeur négligeable.

On sait que $\text{IJ}=120$ m, $\text{IA}=30$ m et $\text{JB}=46$ m. On note $x$ la longueur, en mètre, du segment [IP].

Schéma : la droite (IJ) horizontale ; A au-dessus de I avec (AI) perpendiculaire à (IJ) ; B au-dessous de J avec (BJ) perpendiculaire à (IJ) ; P entre I et J sur (IJ).

Première possibilité : le pont sera placé à l'intersection du segment reliant les deux maisons et du segment représentant le ruisseau. La figure 1 ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle) représente la modélisation de cette première possibilité.

Figure 1 : le segment [AB] coupe la droite (IJ) en P. (AI) et (BJ) sont perpendiculaires à (IJ).

Déterminer la longueur du segment [IP] dans cette configuration. On donnera le résultat arrondi au mètre.

2.a

Deuxième possibilité : le pont sera placé sur le ruisseau à égale distance des deux maisons. La figure 2 ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle) représente la modélisation de cette seconde possibilité.

Figure 2 : P est sur (IJ) tel que PA = PB (marques d'égalité sur [AP] et [PB]). (AI) et (BJ) sont perpendiculaires à (IJ).

Déterminer $\text{AP}^2$ et $\text{PB}^2$ en fonction de $x$.

2.b

En déduire que la longueur du segment [IP], arrondie au mètre, est égale à $65$ m.

3.a

Le pont est construit selon la seconde possibilité. Alice part de chez elle pour se rendre chez Bob en suivant le chemin [AP] puis [PB]. Elle marche à une vitesse moyenne de $4\text{,}5$ km/h. Combien de temps met-elle pour parcourir ce trajet ? Donner le résultat en minutes et secondes, arrondi à la seconde.

3.b

Bob part de chez lui en courant pour se rendre chez Alice en suivant le chemin [BP] puis [PA]. Il met $57$ s pour parcourir ce trajet. Déterminer sa vitesse en km/h. Arrondir le résultat à l'unité.

Voir le corrigé de l'exercice 4

1

Corrigé

(AI) et (BJ) sont perpendiculaires à (IJ), donc parallèles. Les points A, P, B d'une part et I, P, J d'autre part sont alignés. D'après le théorème de Thalès dans les triangles PIA et PJB :

$\dfrac{\text{PI}}{\text{PJ}}=\dfrac{\text{IA}}{\text{JB}}$, soit $\dfrac{x}{120-x}=\dfrac{30}{46}$.

$46x=30\,(120-x)$ donc $76x=3\text{ }600$ et $x=\dfrac{3\text{ }600}{76}\approx47\text{,}4$.

$\text{IP}\approx$ $47$ m.

Pour comprendre en détail

Raccourci : le triangle PIA et le triangle PJB sont semblables, de rapport $\dfrac{30}{46}$. Comme $\text{IP}+\text{PJ}=120$, $\text{IP}=120\times\dfrac{30}{30+46}=120\times\dfrac{30}{76}$ (on partage $120$ dans le rapport $30:46$).

Attention : $\text{PJ}=120-x$ et non $x$. Vérification : $\text{PJ}\approx72\text{,}6$ et $\dfrac{47\text{,}4}{72\text{,}6}\approx0\text{,}653\approx\dfrac{30}{46}$ ✔.

2.a

Corrigé

Dans le triangle AIP rectangle en I : $\text{AP}^2=\text{IA}^2+\text{IP}^2=30^2+x^2=x^2+900$.

Dans le triangle BJP rectangle en J, avec $\text{PJ}=120-x$ : $\text{PB}^2=\text{JB}^2+\text{PJ}^2=46^2+(120-x)^2=(120-x)^2+2\text{ }116$.

2.b

Corrigé

$\text{AP}=\text{PB}$ donc $\text{AP}^2=\text{PB}^2$ :

$x^2+900=(120-x)^2+2\text{ }116=14\text{ }400-240x+x^2+2\text{ }116$.

Les termes en $x^2$ s'annulent : $900=16\text{ }516-240x$, donc $240x=15\text{ }616$ et $x=\dfrac{15\text{ }616}{240}\approx65\text{,}07$.

$\text{IP}\approx$ $65$ m (arrondi au mètre).

Pour comprendre en détail

L'équation est du premier degré malgré le carré : l'égalité des carrés annule les $x^2$. On pouvait aussi écrire la différence $\text{PB}^2-\text{AP}^2=0$.

Vérification : pour $x=65$, $\text{AP}^2=65^2+900=5\text{ }125$ et $\text{PB}^2=55^2+2\text{ }116=5\text{ }141$ : très proches (l'écart vient de l'arrondi de $x$).

3.a

Corrigé

Avec $x\approx65\text{,}07$ : $\text{AP}^2=x^2+900\approx5\text{ }134$ donc $\text{AP}\approx71\text{,}65$ m, et $\text{AP}+\text{PB}=2\,\text{AP}\approx143\text{,}3$ m.

$4\text{,}5$ km/h $=\dfrac{4\text{ }500}{3\text{ }600}=1\text{,}25$ m/s.

Durée : $\dfrac{143\text{,}3}{1\text{,}25}\approx114\text{,}6$ s, soit environ $115$ s $=$ $1$ min $55$ s.

Pour comprendre en détail

En gardant $x=65$ (valeur arrondie), on trouve $\text{AP}=\sqrt{5\text{ }125}\approx71\text{,}59$ m et une durée d'environ $114\text{,}5$ s, soit encore $115$ s : le résultat ne dépend pas de l'arrondi de $x$.

Attention : $114\text{,}6$ s ne s'écrit pas $1$ min $14\text{,}6$ s : $114\text{,}6=60+54\text{,}6$, donc $1$ min $55$ s une fois arrondi à la seconde.

3.b

Corrigé

La distance est la même : environ $143\text{,}3$ m en $57$ s.

$v=\dfrac{143\text{,}3}{57}\approx2\text{,}514$ m/s, soit $2\text{,}514\times3\text{,}6\approx9\text{,}05$ km/h.

Bob court à environ $9$ km/h.

Pour comprendre en détail

À retenir : pour passer de m/s à km/h, on multiplie par $3\text{,}6$ ($1$ m/s $=3\text{,}6$ km/h).

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Exercice 5 – Algorithmique, Scratch, rotationVoir le corrigé ↓

On considère le programme ci-dessous écrit à l'aide du logiciel Scratch.

Script Scratch : quand drapeau cliqué ; demander « valeur de a ? » et attendre ; mettre a à réponse ; aller à x : 0 y : 0 ; s'orienter à 90 ; effacer tout ; stylo en position d'écriture ; avancer de a pas ; tourner à gauche de 135 degrés ; avancer de a fois racine de 2 pas ; tourner à gauche de 135 degrés ; avancer de a pas.

Lorsque le drapeau de la première instruction est cliqué, le lutin demande la valeur de $a$ puis il trace une figure à l'écran. On admet que la figure tracée est un triangle rectangle isocèle. On rappelle que « s'orienter à $90$ » signifie que le lutin s'oriente vers la droite.

On suppose pour cette question que $a=40$. Tracer sur la copie, à la règle graduée et au compas, la figure obtenue à l'écran en choisissant comme échelle $1$ cm pour représenter $10$ pas. Laisser apparents les traits de construction. Aucune justification n'est attendue.

Indiquer l'orientation du lutin à la fin du programme. Aucune justification n'est attendue.

On modifie le programme de trois façons différentes. On obtient les trois programmes ci-dessous.

Programme A : le script de départ inséré dans « répéter 4 fois » avec, à la fin du bloc, tourner à gauche de 90 degrés puis avancer de (a + 10) pas. Programme B : le script de départ simplement inséré dans « répéter 4 fois ». Programme C : le script de départ dans « répéter 4 fois » avec, à la fin du bloc, tourner à gauche de 90 degrés puis ajouter 10 à a.

Chacun des trois programmes permet d'obtenir l'une des quatre figures ci-dessous.

Figure 1 : un carré posé sur une pointe avec ses deux diagonales. Figure 2 : quatre triangles rectangles de tailles croissantes, côte à côte sur une même droite. Figure 3 : quatre triangles rectangles identiques côte à côte, reliés par une même base. Figure 4 : quatre triangles rectangles emboîtés, avec un angle droit commun.

Associer, sans justifier, chaque programme à la figure correspondante.

Voir le corrigé de l'exercice 5

1

Corrigé

Avec $a=40$ pas, soit $4$ cm à l'échelle demandée, la figure est un triangle rectangle isocèle dont l'angle droit est au point de départ O, avec deux côtés de $4$ cm (le lutin va de O vers la droite, puis revient par l'hypoténuse de $4\sqrt2\approx5\text{,}7$ cm, puis redescend vers O).

Construction : tracer une droite et marquer O ; placer A sur la droite à $4$ cm de O ; construire la perpendiculaire en O (arcs de centres P et Q, symétriques par rapport à O, qui se coupent en R) ; reporter $4$ cm au compas depuis O pour placer B sur cette perpendiculaire ; tracer [AB].

Triangle de côtés $4$ cm, $4$ cm, $4\sqrt2$ cm avec les traits de construction

Pour comprendre en détail

Pourquoi cette figure ?

Départ en $(0\,;0)$, cap $90$ (vers la droite) : le lutin avance de $a$ jusqu'en $(a\,;0)$ ; il tourne à gauche de $135^\circ$, son cap devient $90-135=-45$, vers le haut à gauche ; il avance de $a\sqrt2$ et arrive en $(0\,;a)$ ; il tourne encore de $135^\circ$ à gauche, cap $-180=180$, vers le bas ; il avance de $a$ et revient en $(0\,;0)$. La figure est le triangle de sommets $(0\,;0)$, $(a\,;0)$, $(0\,;a)$.

Le côté $a\sqrt2$ est l'hypoténuse : $a^2+a^2=\left(a\sqrt2\right)^2$.

2

Corrigé

Le lutin est orienté à $90-135-135=-180$, c'est-à-dire à $180$ : vers le bas.

Pour comprendre en détail

Tourner à gauche diminue le cap (dans Scratch, $0$ = haut, $90$ = droite, $180$ = bas, $-90$ = gauche). Les caps $-180$ et $180$ désignent la même direction.

3

Corrigé

Programme A : figure 3.

Programme B : figure 1.

Programme C : figure 4.

Pour comprendre en détail

Le point de départ de chaque tour

À la fin d'un triangle, le lutin est de nouveau en $(0\,;0)$ avec le cap $180$ (question 2).

Programme B : il repart avec le cap $180$ (vers le bas) depuis le même point. Les quatre tours tracent quatre triangles identiques tournés de $90^\circ$ à chaque fois autour de O, qui forment un carré sur la pointe avec ses deux diagonales : figure 1.
Programme A : le « tourner de $90^\circ$ » redonne le cap $90$ (vers la droite), puis le lutin avance de $a+10$ : le triangle suivant démarre à $10$ pas à droite du précédent, avec la même taille ($a$ ne change pas) et le même sens. Les triangles sont identiques, alignés sur une même base : figure 3.
Programme C : le « tourner de $90^\circ$ » redonne le cap $90$ et le lutin reste en O ; puis $a$ augmente de $10$. Chaque tour retrace un triangle plus grand, de même sommet O et de même angle droit : triangles emboîtés, figure 4.

La figure 2 (triangles de tailles croissantes alignés) ne correspond à aucun des trois programmes.

S'entraîner sur le même thèmeGéométrie →Algorithmique et Scratch →

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