1Effectifs, fréquences et diagrammes
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît ; sa fréquence est son effectif divisé par l'effectif total (souvent en pourcentage). On représente les données par un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire ou une courbe.
Exemple. Dans une classe de 25 élèves, 10 font du football : la fréquence vaut $\dfrac{10}{25} = 0{,}4$, soit 40 %. Dans un diagramme circulaire, cette catégorie occupe un angle de $0{,}4 \times 360 = 144$°.
Sur 20 élèves, 5 portent des lunettes. Quelle est la fréquence ?
$\dfrac{5}{20} = 0{,}25$, soit 25 %.
Dans un diagramme circulaire, une catégorie de fréquence 50 % occupe un angle de…
La moitié du disque : $0{,}5 \times 360 = 180$°.
2Calculer une moyenne
La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre. Quand une valeur apparaît plusieurs fois, on multiplie chaque valeur par son effectif : c'est la moyenne pondérée.
Exemple. Notes 12, 15, 9 et 14 : moyenne $= \dfrac{50}{4} = 12{,}5$.
5 élèves ont 8, 10 élèves ont 12 et 5 élèves ont 16 : moyenne $= \dfrac{5 \times 8 + 10 \times 12 + 5 \times 16}{20} = \dfrac{240}{20} = 12$.
Le piège de la moyenne de deux groupes
On ne fait pas la moyenne des moyennes : on repasse par les sommes.
Exemple. 20 élèves ont 12 de moyenne et 10 élèves ont 15 : $\dfrac{20 \times 12 + 10 \times 15}{30} = \dfrac{390}{30} = 13$, et non 13,5.
Retrouver une donnée manquante
Exemple. La moyenne de 5 notes vaut 12, donc leur somme vaut 60. Si quatre notes sont 10, 14, 11 et 13 (somme 48), la cinquième vaut $60 - 48 = 12$.
▶ Vidéo · Calculer une moyenne et une moyenne pondéréeQuelle est la moyenne de 8, 10 et 12 ?
$\dfrac{8 + 10 + 12}{3} = \dfrac{30}{3} = 10$.
La moyenne d'une série est-elle forcément une valeur de la série ?
La moyenne de 1 et 2 vaut 1,5, qui n'est pas dans la série.
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3Médiane et étendue
La médiane partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : elle mesure la dispersion.
Exemple. 3, 5, 8, 8, 10, 12, 15 : 7 valeurs, la médiane est la 4e, soit 8.
4, 6, 7, 9, 11, 20 : 6 valeurs, la médiane est la moyenne des 3e et 4e : $\dfrac{7 + 9}{2} = 8$. L'étendue vaut $20 - 4 = 16$.
Avec un tableau d'effectifs
On cumule les effectifs jusqu'à atteindre la valeur du milieu. Pour un effectif total de 25, la médiane est la 13e valeur.
▶ Vidéo · Médiane et quartiles : méthode de calculQuelle est la médiane de 2, 9, 4, 7, 5 ?
On range d'abord : 2, 4, 5, 7, 9. La valeur du milieu est 5.
Quelle est l'étendue de 12, 3, 18, 7 ?
$18 - 3 = 15$.
4Choisir et interpréter un indicateur
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane ne l'est pas. Au CRPE, on demande souvent de comparer deux séries ou de dire quel indicateur est le plus pertinent, en rédigeant une phrase de conclusion.
Exemple. Salaires mensuels : 1 500 €, 1 600 €, 1 700 €, 1 800 € et 9 000 €. La moyenne vaut 3 120 €, mais la médiane, 1 700 €, décrit mieux le salaire « typique ».
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des étendues très différentes : la plus petite étendue indique les résultats les plus réguliers.
On ajoute une valeur très grande à une série. Quel indicateur change le plus ?
La moyenne prend en compte la valeur de chaque donnée, la médiane seulement son rang.
10 élèves ont 10 de moyenne et 30 élèves ont 14. Quelle est la moyenne des 40 élèves ?
$\dfrac{10 \times 10 + 30 \times 14}{40} = \dfrac{520}{40} = 13$.
Les erreurs classiques au concours
- Calculer la médiane sans ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
- Faire la moyenne des moyennes de deux groupes d'effectifs différents.
- Oublier les effectifs dans une moyenne pondérée.
- Confondre le rang de la médiane avec sa valeur : la médiane de 25 valeurs est la 13e valeur, pas 13.
- Calculer une fréquence en divisant par le mauvais total.
- Conclure sans phrase ni comparaison, alors que la question demande d'interpréter.
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Questions fréquentes
Comment calculer une médiane au CRPE ?
On range les valeurs dans l'ordre croissant. Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu ; s'il est pair, c'est la moyenne des deux valeurs du milieu.
Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?
La moyenne tient compte de la valeur de toutes les données, elle est donc influencée par les valeurs extrêmes. La médiane partage la série en deux moitiés et n'est pas influencée par ces valeurs.
Comment calculer une moyenne pondérée ?
On multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient), on additionne ces produits, puis on divise par la somme des effectifs.
À quoi sert l'étendue ?
L'étendue, différence entre la plus grande et la plus petite valeur, mesure la dispersion d'une série : plus elle est petite, plus les valeurs sont regroupées.
Les statistiques tombent-elles souvent au CRPE ?
Oui, souvent à partir de résultats d'élèves, de courses ou d'enquêtes. 22 exercices des annales corrigées sur Campus XYZ portent sur les statistiques.