Sujet CRPE 2025 Mathématiques · Groupement 3 : corrigé

1

Corrigé

Série rangée : \(4\ ;\ 6\ ;\ 8\ ;\ 9\ ;\ 10\ ;\ 10\ ;\ 12\ ;\ 14\ ;\ 15\ ;\ 16\ ;\ 17\).

L'effectif est \(11\) (impair) : la médiane est la \(6^{\text{e}}\) valeur, soit \(10\).

L'affirmation est fausse : la médiane vaut \(10\), pas \(11\).

Pour comprendre en détail

Le nombre \(11\) est l'effectif de la série, ce qui explique l'erreur courante : le rang de la médiane est \(\dfrac{11+1}{2}=6\), la valeur de ce rang est \(10\).

2

Corrigé

\(v=\dfrac{100}{9\text{,}79}\approx10\text{,}21\) m/s.

\(10\text{,}21\times3\text{,}6\approx36\text{,}8\) km/h, inférieur à \(37\) km/h.

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Contrôle sans calculatrice : à \(37\) km/h, soit \(\dfrac{37}{3\text{,}6}\approx10\text{,}28\) m/s, on mettrait \(\dfrac{100}{10\text{,}28}\approx9\text{,}73\) s. Noah Lyles a mis \(9\text{,}79\) s, donc plus : il est plus lent que \(37\) km/h.

3

Corrigé

Contre-exemple : un carré de côté \(1\) a pour aire \(1\), un carré de côté \(2\) a pour aire \(4\). Le côté a été multiplié par \(2\) mais l'aire par \(4\), pas par \(2\).

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

L'aire est \(c^2\) : fonction du second degré, pas linéaire. En multipliant le côté par \(k\), on multiplie l'aire par \(k^2\).

4

Corrigé

B est sur [AC] donc \(\text{AC}=\text{AB}+\text{BC}=3+5=8\) cm.

(BD) et (CE) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{BD}}{\text{CE}}\), soit \(\dfrac38=\dfrac{\text{BD}}{12}\).

\(\text{BD}=\dfrac{3\times12}{8}=4\text{,}5\) cm, et non \(4\text{,}4\) cm : l'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

1

Corrigé

F : le chiffre des unités est \(4\).

C : le chiffre des centaines est le double de celui des unités : \(2\times4=8\).

A : le nombre est compris entre \(1\text{ }000\) et \(4\text{ }000\) : il s'écrit \(\overline{k\,8\,t\,4}\) avec \(k\in\{1;2;3\}\) (chiffre des milliers) et \(t\) le chiffre des dizaines.

D : son nombre de centaines est \(10k+8\), qui vaut \(18\), \(28\) ou \(38\). Seul \(18\) est un multiple de \(9\) : \(k=1\). Le nombre est \(\overline{1\text{ }8\,t\,4}\).

B : multiple de \(3\) : la somme des chiffres \(1+8+t+4=13+t\) est un multiple de \(3\), donc \(t\in\{2\,;5\,;8\}\) : \(1\text{ }824\), \(1\text{ }854\), \(1\text{ }884\).

E : non divisible par \(4\) : un nombre est divisible par \(4\) si ses deux derniers chiffres forment un multiple de \(4\). \(24\) et \(84\) sont des multiples de \(4\) ; \(54\) n'en est pas un (\(54=4\times13+2\)).

Le nombre cherché est \(1\text{ }854\).

Pour comprendre en détail

Vérification avec les six indices

1

Corrigé

Somme : \(411+423+457+452+458+428+438+444+496=4\text{ }007\).

Il y a \(9\) valeurs : \(\dfrac{4\text{ }007}{9}\approx445\text{,}2\).

La masse moyenne est d'environ \(445\) kg par habitant.

Pour comprendre en détail

2

Corrigé

Déchets des ménages : \(20\text{,}1+13\text{,}4=33\text{,}5\) Mt, sur un total de \(310\text{,}5\) Mt.

\(\dfrac{33\text{,}5}{310\text{,}5}\approx0\text{,}108\), soit environ \(11\,\%\).

Pour comprendre en détail

Ordre de grandeur : \(310\text{,}5\) est proche de \(300\) et \(\dfrac{33\text{,}5}{300}\approx0\text{,}11\) ✔.

3.a

Corrigé

Masse du lotissement : \(60\times88=5\text{ }280\) kg.

\(0\text{,}2\) t \(=200\) kg pour \(1\) m\(^3\), donc \(V=\dfrac{5\text{ }280}{200}=26\text{,}4\) m\(^3\).

Pour comprendre en détail

3.b

Corrigé

\(5\text{ }280\times0\text{,}55=2\text{ }904\) kg.

Le lotissement obtient environ \(2\text{ }904\) kg de compost.

Pour comprendre en détail

Contrôle : \(50\,\%\) de \(5\text{ }280\) font \(2\text{ }640\), et \(5\,\%\) font \(264\) : \(2\text{ }640+264=2\text{ }904\) ✔.

A.1

Corrigé

Il y a \(6\times10=60\) issues équiprobables (couples \((a\,;b)\), \(a\) pour le dé à \(6\) faces, \(b\) pour celui à \(10\) faces).

\(35=5\times7=1\times35=\ldots\) : seul le couple \((5\,;7)\) convient (le dé à \(6\) faces ne donne ni \(7\) ni \(35\), et le dé à \(10\) faces ne donne pas \(35\)).

\(P=\dfrac1{60}\).

A.2

Corrigé

Les couples de produit \(16\) sont \((2\,;8)\) et \((4\,;4)\) (\((1\,;16)\) et \((8\,;2)\) sont impossibles).

\(P=\dfrac2{60}=\dfrac1{30}\).

Pour comprendre en détail

A.3

Corrigé

Le produit n'est pas multiple de \(3\) si et seulement si aucun des deux nombres n'est multiple de \(3\).

Dé à \(6\) faces : \(4\) valeurs sur \(6\) non multiples de \(3\) (\(1,2,4,5\)) ; dé à \(10\) faces : \(7\) sur \(10\) (tout sauf \(3,6,9\)).

\(P(\text{non multiple})=\dfrac46\times\dfrac7{10}=\dfrac{28}{60}=\dfrac7{15}\), donc \(P=1-\dfrac7{15}=\dfrac8{15}\).

Pour comprendre en détail

Vérification par dénombrement : \(2\times10=20\) couples avec \(a\in\{3;6\}\), plus \(4\times3=12\) couples avec \(a\notin\{3;6\}\) et \(b\in\{3;6;9\}\) : \(32\) couples sur \(60\), soit \(\dfrac{32}{60}=\dfrac8{15}\) ✔.

B.1

Corrigé

\(\dfrac{10}{3}=\dfrac{9+1}{3}=3+\dfrac13\).

Pour comprendre en détail

Le \(3\) est le quotient de la division euclidienne de \(10\) par \(3\) (\(10=3\times3+1\)) et \(\dfrac13\) est « reste sur diviseur ».

B.2

Corrigé

Il y a \(10\times6=60\) couples (numérateur ; dénominateur). L'entier est \(0\) si \(n

\(d=2\) : \(n=1\) (\(1\) cas) ; \(d=3\) : \(2\) cas ; \(d=4\) : \(3\) ; \(d=5\) : \(4\) ; \(d=6\) : \(5\). Total : \(15\) cas.

\(P=\dfrac{15}{60}=\dfrac14\).

Pour comprendre en détail

Pour \(d=1\), aucun numérateur \(n\geqslant1\) n'est strictement inférieur à \(1\) : \(0\) cas.

B.3

Corrigé

\(\dfrac nd\) est entier si \(d\) divise \(n\) :

\(d=1\) : \(10\) cas ; \(d=2\) : \(5\) (\(2,4,6,8,10\)) ; \(d=3\) : \(3\) (\(3,6,9\)) ; \(d=4\) : \(2\) (\(4,8\)) ; \(d=5\) : \(2\) (\(5,10\)) ; \(d=6\) : \(1\) (\(6\)).

Total : \(10+5+3+2+2+1=23\) cas sur \(60\) : \(P=\dfrac{23}{60}\).

Pour comprendre en détail

\(\dfrac{23}{60}\) est irréductible (\(23\) est premier et ne divise pas \(60\)).

1.a

Corrigé

Rayon : \(r=\dfrac52=2\text{,}5\) cm.

\(V=\dfrac12\times\dfrac43\pi r^3=\dfrac23\pi\times2\text{,}5^3=\dfrac23\pi\times15\text{,}625\approx32\text{,}7\) cm\(^3\).

Pour comprendre en détail

1.b

Corrigé

\(V_{\text{cylindre}}=\pi\times2\text{,}5^2\times h\) doit valoir au moins \(\dfrac23\pi\times2\text{,}5^3\).

\(h=\dfrac{\frac23\pi\times2\text{,}5^3}{\pi\times2\text{,}5^2}=\dfrac23\times2\text{,}5=\dfrac53\approx1\text{,}67\) cm.

La hauteur minimale est d'environ \(17\) mm.

Pour comprendre en détail

Les \(\pi\) et deux facteurs \(2\text{,}5\) se simplifient : \(h=\dfrac23r\) pour un cylindre de même rayon que la demi-sphère. On obtient \(h\) sans passer par la valeur arrondie \(32\text{,}7\), ce qui évite une perte de précision.

Contrôle avec les valeurs numériques : \(\dfrac{32\text{,}7}{\pi\times6\text{,}25}\approx1\text{,}67\) cm ✔.

1.c

Corrigé

Le patron comprend :

• deux disques de rayon \(2\text{,}5\) cm (diamètre \(50\) mm) ;
• un rectangle de hauteur \(h\approx17\) mm et de longueur égale à la circonférence du disque : \(2\pi\times25\approx157\) mm.

Pour comprendre en détail

Le rectangle s'enroule autour des disques : sa longueur est le périmètre d'un disque, \(2\pi r\), et sa largeur la hauteur du cylindre. Les disques ne sont à coller qu'à un seul endroit du rectangle sur chaque bord.

2.a

Corrigé

Le cuilleron contient \(32\text{,}7\) cm\(^3=32\text{,}7\) mL.

Masse : \(\dfrac{90\times32\text{,}7}{100}\approx29\text{,}43\) g, soit environ \(29\) g.

Pour comprendre en détail

Avec le volume exact \(32\text{,}725\) cm\(^3\), on trouve \(29\text{,}45\) g : même arrondi, \(29\) g.

2.b

Corrigé

Une bougie utilise \(\approx29\text{,}43\) g de cire (une louche pleine).

\(\dfrac{1\text{ }000}{29\text{,}43}\approx33\text{,}98\) : on peut fabriquer \(33\) bougies entières.

Pour comprendre en détail

3.a

Corrigé

Diagonale du carré de côté \(4\) cm : \(d^2=4^2+4^2=32\), donc \(d=\sqrt{32}=4\sqrt2\approx5\text{,}66\) cm.

La diagonale mesure environ \(5\text{,}7\) cm (\(57\) mm).

Pour comprendre en détail

Formule à retenir : la diagonale d'un carré de côté \(c\) vaut \(c\sqrt2\).

3.b

Corrigé

Soit S le sommet, O le centre de la base, A un sommet de la base. Le triangle SOA est rectangle en O, avec \(\text{SA}=4\) cm (arête latérale) et \(\text{AO}=\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\) cm.

\(\text{SO}^2=\text{SA}^2-\text{AO}^2=16-8=8\), donc \(h=\text{SO}=\sqrt8=2\sqrt2\approx2\text{,}83\) cm.

La hauteur est d'environ \(28\) mm.

Pour comprendre en détail

On utilise la demi-diagonale exacte (\(2\sqrt2\), de carré \(8\)) plutôt que la valeur arrondie \(2\text{,}85\), pour éviter une erreur d'arrondi sur la hauteur.

3.c

Corrigé

Volume du moule : \(V=\dfrac13\times4^2\times2\sqrt2=\dfrac{32\sqrt2}{3}\approx15\text{,}1\) cm\(^3\).

\(15\text{,}1<32\text{,}7\) : le moule est trop petit, il ne peut pas recevoir une louche pleine.

Pour comprendre en détail

Avec la hauteur arrondie \(2\text{,}8\) cm : \(\dfrac13\times16\times2\text{,}8\approx14\text{,}9\) cm\(^3\), même conclusion.

4.a

Corrigé

L1 : répéter 3 fois ; L2 : tourner de 120 degrés.

Pour comprendre en détail

Un angle intérieur d'un triangle équilatéral vaut \(60^\circ\), mais le lutin tourne de l'angle extérieur \(180-60=120\) à chaque sommet. Contrôle : \(3\times120=360\), un tour complet.

4.b

Corrigé

L3 : répéter 4 fois ; L4 : avancer de 40 pas ; L5 : tourner à droite de 90 degrés.

Pour comprendre en détail

Fonctionnement d'un tour de boucle

Le lutin trace d'abord un triangle de côté \(40\) pas (donc \(4\) cm) sur le côté du carré qu'il longe, puis avance de \(40\) pas le long de ce côté (c'est ce déplacement qui dessine le carré) et tourne à droite de \(90^\circ\) pour longer le côté suivant. Comme les triangles se tracent avec des rotations à gauche, ils sont à l'extérieur du carré. Il y a \(4\) côtés, donc \(4\) tours.

5.a

Corrigé

En B5 : =SOMME(B2:B4)

Pour comprendre en détail

Recopiée vers la droite, elle devient =SOMME(C2:C4) : la colonne change, les lignes restent \(2\) à \(4\).

5.b

Corrigé

En D2 : =(B2*3+C2*4)*1,05

Pour comprendre en détail

Les parenthèses sont indispensables : le coefficient \(1\text{,}05\) s'applique à la longueur totale nécessaire. Recopiée vers le bas, la formule devient =(B3*3+C3*4)*1,05, etc. Résultats : \(92\text{,}4\) ; \(94\text{,}5\) ; \(93\text{,}45\) cm.

5.c

Corrigé

Bougies A : \(12+10+7=29\), soit \(29\times3=87\) cm de mèche. Bougies B : \(13+15+17=45\), soit \(45\times4=180\) cm.

Longueur nécessaire : \(87+180=267\) cm. Avec \(5\,\%\) de plus : \(267\times1\text{,}05=280\text{,}35\) cm.

La directrice doit commander \(280\text{,}35\) cm de mèche, soit environ \(2\text{,}80\) m.

Pour comprendre en détail

Vérification en additionnant les trois classes : \(92\text{,}4+94\text{,}5+93\text{,}45=280\text{,}35\) ✔.