Multiples, diviseurs, PGCD et PPCM au CRPE

1Multiples, diviseurs et critères de divisibilité

$a$ est un multiple de $b$ (et $b$ est un diviseur de $a$) s'il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$. Autrement dit, la division euclidienne de $a$ par $b$ tombe juste : le reste est nul.

Exemple. $84 = 7 \times 12$ : 84 est un multiple de 7 et de 12 ; 7 et 12 sont des diviseurs de 84.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre

On cherche les diviseurs par paires en testant 1, 2, 3… et on s'arrête dès que les deux nombres de la paire se croisent.

Exemple. $36 = 1 \times 36$ ; $2 \times 18$ ; $3 \times 12$ ; $4 \times 9$ ; $6 \times 6$. Donc les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.

Les critères de divisibilité

Exemple. Pour 2 718, la somme des chiffres vaut 18 : 2 718 est divisible par 3 et par 9. Mais 18 n'est pas un multiple de 4, donc 2 718 n'est pas divisible par 4.

2Nombres premiers et décomposition

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n'est donc pas premier. Les premiers à connaître : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Montrer qu'un nombre est premier

On teste la division par 2, 3, 5, 7, 11… et on s'arrête dès que le carré du diviseur testé dépasse le nombre.

Exemple. Pour 97, il suffit de tester 2, 3, 5 et 7 (car $11^2 = 121$ dépasse 97). Aucun ne divise 97 : il est premier. À l'inverse, $91 = 7 \times 13$ n'est pas premier.

Décomposer en produit de facteurs premiers

Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit, de façon unique à l'ordre près, comme un produit de nombres premiers. On divise successivement par 2, puis 3, puis 5…

Exemple. $360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.

3PGCD et PPCM

Le PGCD est le plus grand diviseur commun de deux nombres ; le PPCM est leur plus petit multiple commun non nul.

PGCD par les décompositions

On garde les facteurs communs, avec leur plus petit exposant.

Exemple. $36 = 2^2 \times 3^2$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, donc $\text{PGCD}(36\,;60) = 2^2 \times 3 = 12$.

PGCD par l'algorithme d'Euclide

On enchaîne les divisions euclidiennes ; le PGCD est le dernier reste non nul.

Exemple. $60 = 36 \times 1 + 24$, puis $36 = 24 \times 1 + 12$, puis $24 = 12 \times 2 + 0$ : le PGCD est 12.

PPCM

On garde tous les facteurs, avec leur plus grand exposant.

Exemple. $12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$, donc $\text{PPCM}(12\,;18) = 2^2 \times 3^2 = 36$.

PGCD ou PPCM : reconnaître le problème

• Partager en lots identiques, le plus grand nombre de lots, la plus grande taille possible → PGCD.
  36 roses et 60 tulipes en bouquets identiques : au plus 12 bouquets de 3 roses et 5 tulipes.
• Deux phénomènes qui se reproduisent et dont on cherche quand ils coïncident → PPCM.
  Un bus toutes les 12 min, un autre toutes les 18 min : ils repartent ensemble au bout de 36 min.

4Simplifier une fraction

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Pour l'obtenir en une seule étape, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemple. $\text{PGCD}(84\,;126) = 42$, donc $\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 \div 42}{126 \div 42} = \dfrac{2}{3}$.

Si le PGCD vaut 1, la fraction est déjà irréductible : c'est le cas de $\dfrac{21}{13}$.

Les erreurs classiques au concours

• Croire que 1 est premier : il n'a qu'un seul diviseur.
• Penser qu'un nombre impair est premier : 9, 21 ou 91 = 7 × 13 ne le sont pas.
• Appliquer le critère de divisibilité par 4 au dernier chiffre au lieu des deux derniers chiffres.
• Pour le PGCD, garder le plus grand exposant (c'est la règle du PPCM).
• Donner une fraction simplifiée mais pas irréductible : 18/42 = 9/21 se simplifie encore en 3/7.

Ce qui tombe au CRPE : exercices corrigés

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Questions fréquentes