1
Quel est le plus petit multiple de \(6\) supérieur à \(40\) ?
B\(42\)
Les multiples de \(6\) sont \(36,\ 42,\ 48,\dots\) : \(42=6\times7\) est le premier à dépasser \(40\).
Le piège de la réponse A\(36\) est bien un multiple de \(6\), mais il est inférieur à \(40\).
Le piège de la réponse C\(46\) est proche de \(40\), mais \(46\) n'est pas dans la table de \(6\) : \(46=6\times7+4\).
Le piège de la réponse D\(48=6\times8\) est bien un multiple de \(6\) supérieur à \(40\), mais ce n'est pas le plus petit : \(42\) convient avant.
Rappel de coursUn multiple de \(n\) est un nombre de la table de \(n\), c'est-à-dire \(n\times k\) avec \(k\) entier. Pour trouver le plus petit multiple au-dessus d'un seuil, on cherche combien de fois \(n\) tient dans le seuil, puis on prend le multiple suivant.
2
Lequel de ces nombres est divisible par \(9\) ?
B\(252\)
La somme des chiffres de \(252\) vaut \(2+5+2=9\), qui est un multiple de \(9\) : \(252=9\times28\).
Le piège de la réponse A\(2+5+5=12\) est un multiple de \(3\) mais pas de \(9\) : \(255\) est divisible par \(3\), pas par \(9\).
Le piège de la réponse C\(2+5+4=11\) n'est ni un multiple de \(3\) ni de \(9\).
Le piège de la réponse D\(2+5+8=15\) est un multiple de \(3\) mais pas de \(9\) : piège classique entre critère de \(3\) et critère de \(9\).
Rappel de coursUn nombre est divisible par \(3\) si la somme de ses chiffres l'est, et divisible par \(9\) si cette somme est un multiple de \(9\). Divisible par \(9\) entraîne divisible par \(3\), mais pas l'inverse.
3
Combien le nombre \(24\) a-t-il de diviseurs ?
C\(8\)
Les diviseurs de \(24\) sont \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\) : cela fait \(8\) diviseurs.
Le piège de la réponse AOn oublie \(1\) et \(24\) : tout nombre est divisible par \(1\) et par lui-même.
Le piège de la réponse BOn confond avec le plus grand diviseur différent de \(24\) : \(12\) est un diviseur de \(24\), pas leur nombre.
Le piège de la réponse DAvec \(24=2^{3}\times3^{1}\), on additionne les exposants \(3+1\) au lieu de calculer \((3+1)\times(1+1)\).
Rappel de coursOn trouve les diviseurs par paires \(a\times b\), sans oublier \(1\) ni le nombre lui-même. Si \(n=p^{\alpha}\times q^{\beta}\) avec \(p\) et \(q\) premiers, le nombre de diviseurs est \((\alpha+1)(\beta+1)\).
4
Parmi ces nombres, lequel est premier ?
D\(59\)
\(59\) n'est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\), ni par \(7\) : il n'a que \(1\) et lui-même pour diviseurs.
Le piège de la réponse A\(51=3\times17\) (la somme des chiffres \(5+1=6\) est un multiple de \(3\)).
Le piège de la réponse B\(57=3\times19\) : il paraît premier, mais la somme des chiffres \(12\) est un multiple de \(3\).
Le piège de la réponse C\(63=7\times9\) : un nombre de la table de \(7\) n'est pas premier.
Rappel de coursUn nombre premier a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même. Pour tester un nombre inférieur à \(100\), il suffit de vérifier qu'il n'est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\), ni par \(7\). Attention : \(1\) n'est pas premier.
5
Quel est le PGCD de \(18\) et \(30\) ?
D\(6\)
Diviseurs de \(18\) : \(1,2,3,6,9,18\) ; de \(30\) : \(1,2,3,5,6,10,15,30\). Le plus grand en commun est \(6\).
Le piège de la réponse A\(3\) divise bien \(18\) et \(30\), mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : \(6\) convient aussi.
Le piège de la réponse B\(9\) divise \(18\) mais ne divise pas \(30\).
Le piège de la réponse C\(90\) est le PPCM de \(18\) et \(30\) (plus petit multiple commun) : on confond PGCD et PPCM.
Rappel de coursLe PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun. On peut lister les diviseurs de chaque nombre, ou utiliser les décompositions en facteurs premiers : on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant.
6
Quel est le PPCM de \(15\) et \(20\) ?
B\(60\)
Multiples de \(15\) : \(15,30,45,60\) ; de \(20\) : \(20,40,60\). Le premier multiple commun est \(60\).
Le piège de la réponse A\(15\times20=300\) est bien un multiple commun, mais pas le plus petit.
Le piège de la réponse C\(30\) est un multiple de \(15\) mais pas de \(20\).
Le piège de la réponse D\(5\) est le PGCD de \(15\) et \(20\) : on confond PGCD et PPCM.
Rappel de coursLe PPCM de deux nombres est leur plus petit multiple commun non nul. On liste les multiples de chacun jusqu'au premier commun, ou on utilise les décompositions : tous les facteurs avec le plus grand exposant. On a aussi \(\text{PGCD}\times\text{PPCM}=a\times b\).
7
Le PGCD de \(12\) et \(35\) est \(1\). Que peut-on en conclure ?
AIls sont premiers entre eux
Deux nombres dont le PGCD est \(1\) sont premiers entre eux. Ici \(12=2^{2}\times3\) et \(35=5\times7\) n'ont aucun facteur premier commun.
Le piège de la réponse B\(12\) et \(35\) ne sont pas premiers (\(12=3\times4\), \(35=5\times7\)) : « premiers entre eux » ne veut pas dire « premiers ».
Le piège de la réponse CC'est l'inverse : une fraction est irréductible quand le PGCD du numérateur et du dénominateur vaut \(1\).
Le piège de la réponse DIls ont toujours \(1\) en commun : c'est précisément ce que dit \(\text{PGCD}=1\).
Rappel de coursDeux entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est \(1\), c'est-à-dire si leur PGCD vaut \(1\). Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
8
On coupe une planche de \(90\) cm et une planche de \(60\) cm en morceaux de même longueur, les plus longs possible, sans aucune chute. Quelle est la longueur d'un morceau ?
A\(30\) cm
On cherche le plus grand diviseur commun de \(90\) et \(60\) : \(90=30\times3\) et \(60=30\times2\), donc \(30\) cm.
Le piège de la réponse B\(180\) est le PPCM de \(90\) et \(60\) : plus long que les planches elles-mêmes, c'est impossible.
Le piège de la réponse C\(15\) divise bien \(90\) et \(60\), mais on veut les morceaux les plus longs possible : \(30\) convient.
Le piège de la réponse D\(20\) divise \(60\) mais pas \(90\) : il resterait une chute de \(10\) cm.
Rappel de coursUn partage ou un découpage en parts égales, sans reste, avec des parts les plus grandes possible, se résout avec le PGCD des quantités. Reconnaître le PGCD, c'est repérer « le plus grand » et « sans reste ».
9
Deux feux clignotent, l'un toutes les \(6\) secondes, l'autre toutes les \(8\) secondes. Ils clignotent ensemble à l'instant \(0\). Dans combien de secondes clignoteront-ils de nouveau ensemble ?
C\(24\) s
On cherche le PPCM de \(6\) et \(8\) : multiples de \(6\) : \(6,12,18,24\) ; de \(8\) : \(8,16,24\). Premier commun : \(24\).
Le piège de la réponse A\(6\times8=48\) est un multiple commun, mais pas le premier : \(24\) arrive avant.
Le piège de la réponse B\(2\) est le PGCD de \(6\) et \(8\), pas leur PPCM : les feux ne peuvent pas se retrouver au bout de \(2\) s.
Le piège de la réponse D\(12\) est un multiple de \(6\) mais pas de \(8\) : le second feu ne clignote pas à cet instant.
Rappel de coursDes événements qui se répètent à intervalles réguliers et qui coïncident à nouveau après un certain temps se traitent avec le PPCM des périodes : on cherche le « plus petit instant commun » non nul.
10
Soit \(a=2^{3}\times3\) et \(b=2^{2}\times3^{2}\). Quel est le PGCD de \(a\) et \(b\) ?
A\(2^{2}\times3\)
On garde chaque facteur commun avec le plus petit exposant : \(2^{2}\) (entre \(2^{3}\) et \(2^{2}\)) et \(3^{1}\) (entre \(3^{1}\) et \(3^{2}\)). Donc \(2^{2}\times3=12\).
Le piège de la réponse BC'est le PPCM : on a pris le plus grand exposant de chaque facteur au lieu du plus petit.
Le piège de la réponse COn a pris le plus grand exposant pour \(2\) (\(3\)) et le plus petit pour \(3\) : il faut le plus petit pour les deux.
Le piège de la réponse DC'est \(b\) lui-même : \(3^{2}\) ne divise pas \(a=2^{3}\times3\), donc ce n'est pas un diviseur commun.
Rappel de coursÀ partir des décompositions en facteurs premiers : le PGCD est le produit des facteurs communs avec le plus petit exposant ; le PPCM est le produit de tous les facteurs rencontrés avec le plus grand exposant.
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