Annales CRPE · Mathématiques › 2026 · M2
Sujet CRPE 2026 Mathématiques · Session supplémentaire Versailles · Créteil : corrigé
Exercice 1 – Pourcentages, TVA, budget (3 points)Voir le corrigé ↓
Une directrice d'école fait des recherches pour budgéter une sortie pédagogique pour les \(40\) élèves de l'école.
On rappelle que : TTC signifie Toutes Taxes Comprises ; HT signifie Hors Taxe ; TVA signifie Taxe sur la Valeur Ajoutée. Le prix TTC correspond au prix HT auquel s'ajoute le montant de la TVA.
| Tarif pour le transport | Tarif pour le musée (TTC) | Tarif pour le repas (TTC) |
|---|---|---|
| Compagnie A : \(350\) € pour la location du car et \(1\text{,}80\) € par kilomètre parcouru, prix TTC Compagnie B : \(290\) € de location du car et \(2\text{,}45\) € par kilomètre parcouru, prix TTC Compagnie C : un tarif fixe à \(585\) € HT et un taux de TVA de \(10\,\%\) |
Tarif accompagnateur : \(35\) € Tarif élève : \(23\) € |
Tarif accompagnateur : \(7\text{,}95\) € Tarif élève : \(4\text{,}55\) € |
Voir le corrigé de l'exercice 1
1
Corrigé
Compagnie A : \(350+1\text{,}80\times150=350+270=620\) €.
Compagnie B : \(290+2\text{,}45\times150=290+367\text{,}5=657\text{,}50\) €.
Compagnie C : \(585\times1\text{,}10=643\text{,}50\) € TTC.
La compagnie A est la plus avantageuse (\(620\) €).
Pour comprendre en détail
Méthode
Pour comparer, il faut des prix de même nature : ici tous TTC. Les compagnies A et B sont déjà TTC ; pour la compagnie C, on ajoute \(10\,\%\) de TVA, ce qui revient à multiplier par \(1+\dfrac{10}{100}=1\text{,}10\).
| Compagnie | Calcul | Prix TTC |
|---|---|---|
| A | \(350+1\text{,}8\times150\) | \(620\) € |
| B | \(290+2\text{,}45\times150\) | \(657\text{,}50\) € |
| C | \(585\times1\text{,}1\) | \(643\text{,}50\) € |
2
Corrigé
Transport : \(620\) €.
Musée : \(40\times23+4\times35=920+140=1\text{ }060\) €.
Repas : \(40\times4\text{,}55+4\times7\text{,}95=182+31\text{,}80=213\text{,}80\) €.
Budget global : \(620+1\text{ }060+213\text{,}80=\) \(1\text{ }893\text{,}80\) € TTC.
Pour comprendre en détail
Vérification : \(620+1\text{ }060=1\text{ }680\), puis \(1\text{ }680+213\text{,}80=1\text{ }893\text{,}80\).
3
Corrigé
Subvention de la mairie : \(8\times40=320\) €.
Montant restant : \(1\text{ }893\text{,}80-320=1\text{ }573\text{,}80\) €.
Participation de la coopérative : \(0\text{,}20\times1\text{ }573\text{,}80=\) \(314\text{,}76\) €.
Pour comprendre en détail
La mairie verse \(8\) € par élève : les accompagnateurs ne comptent pas dans la subvention.
Vérification : \(20\,\%=\dfrac15\), et \(1\text{ }573\text{,}80\div5=314\text{,}76\).
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 2 – Fractions, Thalès, algorithmique (3 points)Voir le corrigé ↓
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
La figure ci-contre n'est pas à l'échelle. Les points A, B, D sont alignés. Les points A, C, E sont alignés. \(\text{AB}=5\) cm ; \(\text{BD}=15\) cm ; \(\text{AC}=7\) cm ; \(\text{AE}=21\) cm.
Affirmation 2 : les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
On considère le script ci-dessous.
On précise que la variable « réponse » contient le nombre entier choisi par l'utilisateur.
Affirmation 3 : quel que soit le nombre entier choisi par l'utilisateur, l'exécution de ce script affiche toujours pendant deux secondes un multiple de \(8\).
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
L'affirmation est fausse.
Contre-exemple : \(\dfrac12\) et \(\dfrac12\) sont rationnels non entiers, mais \(\dfrac12+\dfrac12=1\) est un entier.
Pour comprendre en détail
Méthode : le contre-exemple
Une affirmation générale est réfutée par un seul cas où elle échoue. Ici, on cherche deux rationnels non entiers dont la somme est entière : \(\dfrac13+\dfrac23=1\), ou \(1\text{,}5+2\text{,}5=4\), ou \(\dfrac12+\dfrac12=1\) conviennent.
2
Corrigé
Les points A, B, D d'une part, A, C, E d'autre part, sont alignés dans le même ordre. \(\text{AD}=\text{AB}+\text{BD}=5+15=20\) cm.
\(\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}}=\dfrac{5}{20}=\dfrac14\) et \(\dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}=\dfrac{7}{21}=\dfrac13\).
\(\dfrac14\neq\dfrac13\) : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles. L'affirmation est fausse.
Pour comprendre en détail
Méthode
Avec deux droites sécantes en A, B et D sur l'une, C et E sur l'autre, on compare les rapports \(\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}}\) et \(\dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}\) :
- s'ils sont égaux (et les points alignés dans le même ordre), la réciproque de Thalès donne le parallélisme ;
- s'ils sont différents, la contraposée de Thalès prouve que les droites ne sont pas parallèles (si elles l'étaient, les rapports seraient égaux).
Vérification : si (BC) et (DE) étaient parallèles, on aurait \(\text{AE}=4\times\text{AC}=28\) cm, pas \(21\) cm.
3
Corrigé
Avec \(n\) le nombre choisi : \(\text{Etape1}=(n+2)^2\), \(\text{Etape2}=(n-2)^2\).
\(\text{Résultat}=(n+2)^2-(n-2)^2=(n^2+4n+4)-(n^2-4n+4)=8n\).
\(8n\) est un multiple de \(8\) pour tout entier \(n\) : l'affirmation est vraie.
Pour comprendre en détail
Méthode
Pour prouver une propriété valable pour tout entier, on ne teste pas des valeurs : on raisonne avec une lettre \(n\).
Dans la soustraction, les termes en \(n^2\) et le terme \(4\) s'annulent : il ne reste que les termes en \(n\).
Autre rédaction : identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=n+2\), \(b=n-2\) : \((4)(2n)=8n\).
Test : \(n=5\) donne \(49-9=40=8\times5\) ✔ ; \(n=0\) donne \(4-4=0=8\times0\), multiple de \(8\) ✔ ; \(n=-3\) donne \(1-25=-24=8\times(-3)\) ✔.
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Exercice 3 – Cercle, périmètre, aires (5 points)Voir le corrigé ↓
Un enseignant évoque le siège d'Alésia mis en place par Jules César et ses légionnaires romains afin d'encercler Vercingétorix et ses troupes gauloises. Pour faire le lien avec cette situation historique, cet enseignant propose deux situations décrites dans les deux parties suivantes.
Partie A
Durant ce siège, les Romains ont construit deux palissades circulaires entourant Alésia. Elles sont assimilables à deux cercles concentriques \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) représentés ci-dessous :
\(\mathcal{C}_1\) est un cercle de rayon \(2\text{,}5\) km. \(\mathcal{C}_2\) est un cercle de rayon \(3\text{,}4\) km.
Partie B
Vercingétorix aurait été accompagné de \(70\text{ }512\) soldats répartis en \(62\text{ }426\) fantassins et \(8\text{ }086\) cavaliers.
Pour attaquer la palissade \(\mathcal{C}_1\), une stratégie envisageable aurait été de positionner les soldats en plusieurs troupes de sorte que :
- le nombre de fantassins soit le même dans chaque troupe ;
- le nombre de cavaliers soit le même dans chaque troupe ;
- tous les soldats appartiennent à une troupe.
Voir le corrigé de l'exercice 3
A.1
Corrigé
\(L=2\pi\times2\text{,}5=5\pi\approx15\text{,}708\) km, soit environ \(15\text{,}7\) km.
Pour comprendre en détail
Rappel
Périmètre d'un cercle de rayon \(r\) : \(2\pi r\) (ou \(\pi d\) avec \(d=2r\) le diamètre).
Ici \(r=2\text{,}5\) km, donc \(L=2\times\pi\times2\text{,}5=5\pi\). Avec la touche \(\pi\) de la calculatrice : \(5\pi=15\text{,}7079\ldots\) ; arrondi au dixième : \(15\text{,}7\) km. Avec \(\pi\approx3\text{,}14\) : \(5\times3\text{,}14=15\text{,}7\) ✔.
A.2
Corrigé
La longueur de la palissade est \(5\pi\) km \(\approx15\text{ }708\) m (\(15\text{ }700\) m avec la valeur arrondie) ; \(\dfrac{15\text{ }708}{650}\approx24\text{,}2\).
Au bout de \(24\) jours, la palissade n'est pas terminée : il faut \(25\) jours.
Pour comprendre en détail
Méthode
Le nombre de jours est le quotient de la longueur totale par la longueur construite chaque jour, en gardant la même unité : \(5\pi\) km \(\approx15\text{ }708\) m, et \(15\text{ }708\div650\approx24\text{,}17\) (avec la valeur arrondie \(15\text{,}7\) km \(=15\text{ }700\) m : \(24\text{,}15\)).
Après \(24\) jours : \(24\times650=15\text{ }600\) m, il manque encore plus de \(100\) m. Le \(25^{\text{e}}\) jour permet de finir : \(25\times650=16\text{ }250\) m \(\geqslant15\text{ }708\) m.
A.3
Corrigé
\(\mathcal{A}=\pi\times3\text{,}4^2-\pi\times2\text{,}5^2=\pi\,(11\text{,}56-6\text{,}25)=5\text{,}31\,\pi\approx16\text{,}68\) km\(^2\).
Les Romains pouvaient occuper environ \(17\) km\(^2\).
Pour comprendre en détail
Méthode
La surface entre deux cercles concentriques (une « couronne ») a pour aire : aire du disque extérieur \(-\) aire du disque intérieur.
- Disque de rayon \(3\text{,}4\) : \(\pi\times3\text{,}4^2=11\text{,}56\,\pi\approx36\text{,}32\) km\(^2\).
- Disque de rayon \(2\text{,}5\) : \(\pi\times2\text{,}5^2=6\text{,}25\,\pi\approx19\text{,}63\) km\(^2\).
- Différence : \(36\text{,}32-19\text{,}63\approx16\text{,}68\) km\(^2\), soit \(17\) km\(^2\) au km\(^2\) près.
On factorise pour limiter les erreurs d'arrondi : \(\pi(3\text{,}4^2-2\text{,}5^2)=5\text{,}31\,\pi\).
B.1
Corrigé
\(62\text{ }426=2\times31\text{ }213\) ; \(31\text{ }213=7\times4\text{ }459\) ; \(4\text{ }459=7\times637\) ; \(637=7\times91\) ; \(91=7\times13\).
\(62\text{ }426=\) \(2\times7^4\times13\).
Pour comprendre en détail
Méthode : divisions successives par des nombres premiers
| Nombre | Diviseur premier | Quotient |
|---|---|---|
| \(62\text{ }426\) | \(2\) (il est pair) | \(31\text{ }213\) |
| \(31\text{ }213\) | \(7\) | \(4\text{ }459\) |
| \(4\text{ }459\) | \(7\) | \(637\) |
| \(637\) | \(7\) | \(91\) |
| \(91\) | \(7\) | \(13\) |
| \(13\) | \(13\) | \(1\) |
On a écarté \(3\) (somme des chiffres de \(31\text{ }213\) : \(1+0+\ldots=10\), non multiple de \(3\)) et \(5\) (ne finit ni par \(0\) ni par \(5\)) ; on teste ensuite \(7\), qui divise \(31\text{ }213\).
Vérification : \(7^4=2\text{ }401\) ; \(2\times2\text{ }401\times13=4\text{ }802\times13=62\text{ }426\) ✔.
B.2
Corrigé
\(62\text{ }426=2\times7^4\times13\) et \(8\text{ }086=2\times13\times311\). Les facteurs communs sont \(2\) et \(13\) (chacun à la puissance \(1\)).
Le plus grand diviseur commun est \(2\times13=26\) et les diviseurs communs sont les diviseurs de \(26\) : \(1\ ;\ 2\ ;\ 13\ ;\ 26\).
Pour comprendre en détail
Méthode
Tout diviseur commun de deux nombres divise leur PGCD, et le PGCD s'obtient en gardant les facteurs premiers communs au plus petit exposant : ici \(2^1\times13^1=26\).
Les diviseurs de \(26=2\times13\) s'obtiennent en combinant ses facteurs : \(1\), \(2\), \(13\), \(2\times13=26\).
B.3
Corrigé
Le nombre de troupes divise \(62\text{ }426\) et \(8\text{ }086\) : c'est un diviseur commun. Le maximum est donc \(\text{PGCD}=26\) : \(26\) troupes.
Fantassins par troupe : \(62\text{ }426\div26=\) \(2\text{ }401\). Cavaliers par troupe : \(8\text{ }086\div26=\) \(311\).
Pour comprendre en détail
Vérification : \(26\times2\text{ }712=70\text{ }512\) ✔ (nombre total de soldats, avec \(2\text{ }712=2\text{ }401+311\)).
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Exercice 4 – Probabilités, dénombrement, fractions (3,5 points)Voir le corrigé ↓
Une enseignante propose un jeu avec différents types de dés équilibrés :
- deux dés à six faces numérotées de \(1\) à \(6\) ;
- un dé à huit faces numérotées de \(1\) à \(8\) ;
- un dé à quatre faces portant des nombres de \(1\) à \(4\).
Chaque joueur lance deux dés et additionne les deux nombres indiqués. Soan lance les deux dés à six faces. Thaïs lance le dé à quatre faces et le dé à huit faces. Dans chacune des expériences aléatoires, on s'intéresse à la somme des deux nombres indiqués sur les dés.
Voir le corrigé de l'exercice 4
1
Corrigé
Plus petite somme : \(1+1=2\). Plus grande : \(6+6=12\).
Les sommes possibles sont tous les entiers de \(2\) à \(12\) : \(2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\,;9\,;10\,;11\,;12\).
Pour comprendre en détail
Tableau des sommes (Soan)
| 1er dé \ 2e dé | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Ce tableau, utile pour les questions suivantes, contient \(6\times6=36\) cases équiprobables.
2
Corrigé
Les issues favorables sont : \((5\,;6)\), \((6\,;5)\) pour la somme \(11\) et \((6\,;6)\) pour la somme \(12\), soit \(3\) issues sur \(36\).
\(P=\dfrac{3}{36}=\) \(\dfrac{1}{12}\).
Pour comprendre en détail
Méthode
Les \(36\) couples \((a\,;b)\) sont équiprobables ; on compte ceux qui conviennent : somme \(11\) : \((5\,;6)\) et \((6\,;5)\) ; somme \(12\) : \((6\,;6)\).
\(P=\dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{3\times1}{3\times12}=\dfrac1{12}\).
3
Corrigé
Il y a \(4\times8=32\) issues équiprobables. Somme \(=3\) : \(2\) couples ; somme \(=6\) : \(4\) ; somme \(=9\) : \(4\) ; somme \(=12\) : \(1\).
Total favorable : \(2+4+4+1=11\). \(P=\) \(\dfrac{11}{32}\) (fraction irréductible).
Pour comprendre en détail
Tableau des sommes (Thaïs) : dé à 4 faces en ligne, dé à 8 faces en colonne
| 4 faces \ 8 faces | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Cases en gras : \(2+4+4+1=11\) multiples de \(3\) sur \(32\) cases.
\(11\) est premier et ne divise pas \(32\) : la fraction \(\dfrac{11}{32}\) est irréductible.
4
Corrigé
Soan : somme \(8\) avec \((2\,;6),(3\,;5),(4\,;4),(5\,;3),(6\,;2)\) : \(\dfrac{5}{36}\).
Thaïs : somme \(8\) avec \((1\,;7),(2\,;6),(3\,;5),(4\,;4)\) : \(\dfrac{4}{32}=\dfrac18\).
\(\dfrac{5}{36}=\dfrac{10}{72}\) et \(\dfrac18=\dfrac{9}{72}\) : \(\dfrac5{36}>\dfrac18\). Soan a raison.
Pour comprendre en détail
Méthode
Les deux expériences n'ont pas le même nombre d'issues (\(36\) et \(32\)) : il faut comparer des probabilités (des fractions), pas des nombres d'issues (\(5\) contre \(4\)).
- Soan : \(\dfrac{5}{36}\approx0\text{,}139\).
- Thaïs : \(\dfrac{4}{32}=\dfrac18=0\text{,}125\).
Le dénominateur commun \(72\) est le \(\text{PPCM}(36,8)\). Autre vérification : produits en croix, \(5\times8=40>36=4\times9\) ✔. L'écart est faible mais réel.
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Exercice 5 – Volumes, cubes, conversion (5,5 points)Voir le corrigé ↓
Une enseignante de CM2 utilise des cubes d'arête \(1\) cm, qui sont appelés cubes unités, dans les deux situations de cet exercice. Les deux situations sont indépendantes.
Situation A
Les solides représentés ci-dessous sont constitués de cubes unités empilés les uns au-dessus des autres.
Situation B
Les cubes sont utilisés pour un travail autour des motifs réguliers qui prennent la forme suivante.
Il y a deux cubes à l'étape n°1. Il y a cinq cubes à l'étape n°2. Il y a dix cubes à l'étape n°3.
Voir le corrigé de l'exercice 5
1
Corrigé
Le solide A se décompose en un bloc bas de \(3\times3\times2=18\) cubes (le mur y compris pour ses deux premières couches) et, au-dessus, la partie haute du mur de \(1\times3\times3=9\) cubes.
\(V_A=18+9=\) \(27\) cm\(^3\).
Pour comprendre en détail
Méthode : compter par couches
Les deux couches du bas forment un carré complet de \(3\times3\) ; au-dessus, il ne reste que le mur, avec \(3\) cubes par couche.
Autre décomposition : le mur de \(1\times3\times5=15\) cubes et le bloc devant, \(2\times3\times2=12\) cubes : \(15+12=27\) ✔.
2
Corrigé
Solide B : \(2\) rangées de \(9\) cubes sur la première couche, donc \(18\), auxquels s'ajoutent, sur la rangée du fond, \(0+1+2+2+2+2+0+0+0=9\) cubes : \(V_B=27\) cm\(^3\).
Solide C (pyramide) : \(5^2+4^2+3^2+2^2+1^2=25+16+9+4+1=55\) : \(V_C=55\) cm\(^3\).
\(V_A=V_B=27\) cm\(^3\) et \(V_C=55\) cm\(^3\) : A et B ont le même volume, et C a un volume plus grand (un peu plus du double).
Pour comprendre en détail
Autre comptage du solide B : \(9\) colonnes de \(2\) cubes en profondeur, soit \(9\) cubes sur la rangée de devant (hauteur \(1\)) et \(18\) sur celle du fond : \(9+18=27\).
Deux solides de formes très différentes (A et B) peuvent donc avoir le même volume : le volume ne dépend que du nombre de cubes, pas de leur disposition.
3
Corrigé
La base de C est un carré de \(5\times5\) et sa hauteur est \(5\) cubes : le plus petit cube qui le contient a pour arête \(5\) cm.
Volume de ce cube : \(5^3=125\) cm\(^3\). Il faut ajouter \(125-55=\) \(70\) cubes.
Pour comprendre en détail
Méthode
Le solide D est un cube qui contient C sans le modifier. Le plus petit possible a pour arête \(5\) (c'est la dimension de la base et la hauteur de C) : \(5\times5\times5=125\) cubes unités.
Cubes à ajouter : \(125-55=70\). On peut le vérifier par couches : \((25-25)+(25-16)+(25-9)+(25-4)+(25-1)=0+9+16+21+24=70\) ✔.
4
Corrigé
\(1\) L \(=1\) dm\(^3=1\text{ }000\) cm\(^3\), donc un cube de \(10\) cm d'arête.
Le solide D est un cube de \(5\) cm d'arête : sur chaque arête du grand cube on place \(10\div5=2\) solides D.
Nombre de solides D : \(2\times2\times2=8\), ou \(\dfrac{1\text{ }000}{125}=\) \(8\) solides D.
Pour comprendre en détail
Cohérence géométrique : un cube d'arête \(10\) cm contient \(2\) cubes d'arête \(5\) cm sur chaque arête, soit \(2^3=8\) cubes.
1
Corrigé
À l'étape \(n\), le motif est un carré de \(n\times n\) cubes plus \(1\) cube : \(n^2+1\).
Étape \(4\) : \(4^2+1=\) \(17\) cubes.
Pour comprendre en détail
Repérer la régularité
| Étape | Carré | Cube en plus | Total |
|---|---|---|---|
| 1 | \(1^2=1\) | 1 | 2 |
| 2 | \(2^2=4\) | 1 | 5 |
| 3 | \(3^2=9\) | 1 | 10 |
| 4 | \(4^2=16\) | 1 | 17 |
Les nombres \(2,5,10,17\ldots\) sont les carrés parfaits augmentés de \(1\).
Autre point de vue : les écarts entre les termes sont \(3,5,7,\ldots\) (nombres impairs successifs), donc après \(10\) on ajoute \(7\) : \(17\) ✔.
2
Corrigé
\(50^2+1=2\text{ }500+1=\) \(2\text{ }501\) cubes.
Pour comprendre en détail
Pourquoi la formule ?
Dessiner ou compter jusqu'à l'étape \(50\) serait long : on généralise. À l'étape \(n\), il y a \(n\) lignes de \(n\) cubes, plus un cube. Pour \(n=50\) : \(50\times50+1=2\text{ }501\).
3
Corrigé
On cherche \(n\) tel que \(n^2+1=626\), c'est-à-dire \(n^2=625\).
\(625=25^2\) et \(n>0\) : \(n=25\). C'est l'étape n°\(25\).
Pour comprendre en détail
4
Corrigé
On aurait \(n^2+1=172\), soit \(n^2=171\). Or \(13^2=169\lt171\lt196=14^2\) : \(171\) n'est pas le carré d'un entier.
Il n'existe donc pas d'entier \(n\) convenable : non, on ne peut pas avoir \(172\) cubes dans un motif.
Pour comprendre en détail
Avec la calculatrice : \(\sqrt{171}\approx13\text{,}08\), qui n'est pas entier.
Étapes voisines : \(13^2+1=170\) cubes et \(14^2+1=197\) cubes : on « saute » \(172\).
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