1Écrire et calculer une expression littérale
Dans une expression littérale, une lettre désigne un nombre quelconque ou inconnu. Pour alléger l'écriture, on supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse, et on écrit le nombre en premier.
Exemple. $3 \times x \times 4 = 12x$ et $x \times x = x^2$. Pour réduire, on regroupe les termes de même nature : $2a + 5 + 3a - 1 = 5a + 4$.
Substituer une lettre par un nombre
On remet les signes × sous-entendus, on remplace la lettre par sa valeur entre parenthèses, puis on calcule en respectant les priorités.
Exemple. Pour $x = -2$ : $3x^2 - 2x = 3 \times (-2)^2 - 2 \times (-2) = 12 + 4 = 16$.
▶ Vidéo · Expression littérale : calculer avec xQue vaut $2x + 3x$ ?
On additionne des termes de même nature : 2 fois $x$ plus 3 fois $x$ font 5 fois $x$.
Pour $x = 3$, combien vaut $2x^2$ ?
Le carré porte sur $x$ seulement : $2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$.
2Développer et factoriser
Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est l'inverse. On utilise la distributivité : $k(a + b) = ka + kb$, et la double distributivité :
Exemple. $3(2x - 5) = 6x - 15$ et $(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.
Factoriser avec un facteur commun
On repère le facteur présent dans chaque terme, puis on l'écrit devant une parenthèse.
Exemple. $6x^2 + 9x = 3x \times 2x + 3x \times 3 = 3x(2x + 3)$.
Les identités remarquables
Exemple. $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ et $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$. En calcul mental : $99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$.
Quelle est la forme développée de $4(x - 2)$ ?
Le 4 multiplie chaque terme de la parenthèse : $4 \times x - 4 \times 2 = 4x - 8$.
A-t-on $(x + 3)^2 = x^2 + 9$ ?
Il manque le double produit : $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
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3Résoudre une équation
Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Pour la trouver, on obtient des équations équivalentes en ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres, ou en les multipliant ou divisant par un même nombre non nul.
Exemple. $5x - 7 = 2x + 8$, donc $3x - 7 = 8$, puis $3x = 15$ et $x = 5$. On vérifie : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$.
▶ Vidéo · Résoudre une équationL'équation produit nul
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Exemple. $(x - 4)(2x + 6) = 0$ équivaut à $x - 4 = 0$ ou $2x + 6 = 0$ : les solutions sont 4 et −3.
Les inéquations
On procède comme pour une équation, mais on change le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Exemple. $-2x + 1 > 7$, donc $-2x > 6$, puis $x < -3$ (division par −2 : le sens change).
▶ Vidéo · Ces équations sont-elles « produit nul » ?Quelle est la solution de $4x + 3 = 15$ ?
$4x = 15 - 3 = 12$, donc $x = 12 \div 4 = 3$.
Le nombre 2 est-il solution de $x^2 = 2x$ ?
Pour $x = 2$ : $2^2 = 4$ et $2 \times 2 = 4$, l'égalité est vraie.
4Programmes de calcul, preuves et mise en équation
Question très fréquente au CRPE : on teste un programme de calcul sur quelques nombres, on fait une conjecture, puis on la prouve avec une lettre. Des exemples ne prouvent rien ; en revanche, un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation.
Exemple. Programme : choisir un nombre, lui ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre de départ, soustraire le carré du nombre de départ.
Avec 5 : $(5 + 3) \times 5 - 25 = 15$. On conjecture que le résultat est le triple du nombre de départ.
Preuve avec $x$ : $(x + 3) \times x - x^2 = x^2 + 3x - x^2 = 3x$.
Démontrer une propriété sur les entiers
On écrit un entier quelconque $n$, un nombre pair $2n$, un nombre impair $2n + 1$, des entiers consécutifs $n$, $n + 1$, $n + 2$.
Exemple. La somme de trois entiers consécutifs vaut $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$ : c'est toujours un multiple de 3.
Mettre un problème en équation
Quatre étapes : choisir l'inconnue, traduire l'énoncé par une équation, la résoudre, puis vérifier et répondre par une phrase.
Exemple. Léa a trois fois l'âge de son frère. Dans 5 ans, la somme de leurs âges sera 34. Si le frère a $x$ ans : $(x + 5) + (3x + 5) = 34$, donc $4x = 24$ et $x = 6$. Le frère a 6 ans, Léa 18 ans (vérification : $11 + 23 = 34$).
▶ Vidéo · Le défi des âgesPour montrer qu'une affirmation générale est fausse, il suffit…
Un seul cas où l'affirmation est fausse suffit à la réfuter.
La somme de deux entiers consécutifs est toujours…
$n + (n + 1) = 2n + 1$ : c'est un nombre impair.
Les erreurs classiques au concours
- Écrire (a + b)² = a² + b² en oubliant le double produit 2ab.
- Mal distribuer le signe moins : −(x − 3) = −x + 3, pas −x − 3.
- Confondre 2x et x² : x + x = 2x mais x × x = x².
- Substituer un nombre négatif sans parenthèses : (−3)² = 9, alors que −3² = −9.
- Croire qu'on a prouvé une propriété générale après l'avoir vérifiée sur quelques exemples.
- Oublier de changer le sens d'une inégalité quand on divise par un nombre négatif.
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Ce qui tombe au CRPE : exercices corrigés
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Questions fréquentes
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme, par exemple 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser fait l'inverse : on transforme une somme en produit en mettant en évidence un facteur commun, par exemple 6x + 9 = 3(2x + 3).
Comment prouver le résultat d'un programme de calcul au CRPE ?
On appelle x le nombre de départ, on écrit chaque étape du programme avec x, puis on développe et on réduit l'expression obtenue. Si on trouve par exemple 3x, le résultat est toujours le triple du nombre choisi.
Comment résoudre une équation du premier degré ?
On regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre en ajoutant ou soustrayant la même quantité aux deux membres, puis on divise par le coefficient de x. On termine en vérifiant la solution dans l'équation de départ.
Faut-il connaître les identités remarquables pour le CRPE ?
Oui : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a − b)(a + b) = a² − b². Elles servent à développer, à factoriser et à calculer mentalement, comme 99² = (100 − 1)² = 9 801.
Le calcul littéral tombe-t-il souvent au CRPE ?
Oui, surtout sous forme de programmes de calcul à tester puis à prouver, de mises en équation et d'affirmations à justifier. 41 exercices des annales corrigées sur Campus XYZ portent sur ce thème.