Sujet CRPE 2023 Mathématiques · Groupement 2 : corrigé

1

Corrigé

Dans le rectangle \(AFED\), les côtés opposés ont la même longueur, donc :

\[AD = EF = 80 \text{ m}.\]

Les points \(A\), \(B\), \(D\) sont alignés, donc :

\[BD = AD - AB = 80 - 50 = 30 \text{ m}.\]

Dans le triangle \(CBD\) rectangle en \(B\), d’après le théorème de Pythagore :

\[CD^2 = CB^2 + BD^2 = 40^2 + 30^2 = 1\text{ }600 + 900 = 2\text{ }500.\]

D’où :

\[CD = \sqrt{2\text{ }500} = 50.\]

Le segment \([CD]\) mesure \(50\) m.

Pour comprendre en détail

Le demi-cercle de diamètre \([CD]\) n’intervient pas dans cette question ; il servira éventuellement pour calculer la longueur de l’arc dans une question de périmètre. Une vérification rapide : les longueurs \(30\), \(40\), \(50\) forment un triplet pythagoricien (multiple de \(3\), \(4\), \(5\)).

2

Corrigé

Le parcours est constitué de \(AF+FE+ED\) (trois côtés du rectangle), du demi-cercle de diamètre \(CD\), puis de \(CB+BA\).

Comme \(AFED\) est un rectangle, \(FE=AD=80\) et \(ED=FA=30\). D'après la question 1, \(CD=50\).

La longueur du demi-cercle est : \(\dfrac{\pi \times CD}{2} = \dfrac{\pi \times 50}{2} = 25\pi\).

Longueur totale : \[30+80+30+25\pi+40+50 = 230+25\pi \approx 230+78\text{,}54 = 308\text{,}54.\]

Arrondie au mètre, la longueur du parcours est donc \(309\) m.

Pour comprendre en détail

L'arrondi au mètre suit la règle habituelle : \(308\text{,}54\) est plus proche de \(309\) que de \(308\).

3

Corrigé

À l’échelle \(1/800\), 1 cm sur le plan représente 800 cm réels, soit 8 m. On obtient les longueurs sur le plan en divisant les longueurs réelles en mètres par 8.

Segment	Longueur réelle (m)	Longueur sur le plan (cm)
\([AB]\)	50	\(50 \div 8 = 6\text{,}25\)
\([BC]\)	40	\(40 \div 8 = 5\)
\([AF] = [DE]\)	30	\(30 \div 8 = 3\text{,}75\)
\([EF] = [AD]\)	80	\(80 \div 8 = 10\)
\([BD]\)	30	\(30 \div 8 = 3\text{,}75\)
\([CD]\)	50	\(50 \div 8 = 6\text{,}25\)

Le demi-cercle a donc un diamètre de \(6\text{,}25\) cm, soit un rayon de \(3\text{,}125\) cm. Étapes de construction :

• Tracer le rectangle \(AFED\) avec \(EF = AD = 10\) cm et \(AF = DE = 3\text{,}75\) cm.
• Placer \(B\) sur \([AD]\) tel que \(AB = 6\text{,}25\) cm ; il reste \(BD = 3\text{,}75\) cm.
• Tracer la perpendiculaire à \((AD)\) passant par \(B\) et placer \(C\) sur cette perpendiculaire tel que \(BC = 5\) cm, du côté indiqué sur le schéma.
• Tracer le segment \([CD]\) de longueur \(6\text{,}25\) cm.
• Tracer le demi-cercle de diamètre \([CD]\) à l’extérieur du triangle \(BCD\), du côté droit de \((CD)\).
• Repasser le parcours \(A \to F \to E \to D\), puis le demi-cercle de \(D\) vers \(C\), puis \(C \to B \to A\), en indiquant le sens par une flèche.

Pour comprendre en détail

4

Corrigé

\(t = 3 \text{ min} = 3 \times 60 = 180 \text{ s}\).

\(v = \dfrac{309}{180} \approx 1\text{,}7167\), donc \(v \approx 1\text{,}72\) m/s (arrondi au centième).

En km/h : \(1\text{,}7167 \times 3\text{,}6 \approx 6\text{,}18\), donc \(v \approx 6\text{,}2\) km/h (arrondi au dixième).

La vitesse moyenne de Killian est d’environ \(1\text{,}72\) m/s, soit \(6\text{,}2\) km/h.

Pour comprendre en détail

Pourquoi cette méthode ? La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par le temps de parcours. Pour obtenir une vitesse en m/s, on convertit d’abord le temps en secondes.

Autre méthode : \(309 \text{ m}\) en \(3 \text{ min}\) soit \(103 \text{ m/min}\), puis \(103 \times 60 = 6\text{ }180 \text{ m/h} = 6\text{,}18 \text{ km/h} \approx 6\text{,}2 \text{ km/h}\).

5.a

Corrigé

\(18 \text{ min} = \dfrac{18}{60} \text{ h} = 0\text{,}3 \text{ h}\).

La distance parcourue est \(d = v \times t = 7 \times 0\text{,}3 = 2\text{,}1 \text{ km} = 2\text{ }100 \text{ m}\).

Le nombre de tours est \(\dfrac{2\text{ }100}{309} \approx 6\text{,}8\).

Sophia peut donc effectuer 6 tours complets.

Pour comprendre en détail

Vérification utile : 6 tours représentent \(6 \times 309 = 1\text{ }854\) m, tandis que 7 tours représentent \(7 \times 309 = 2\text{ }163\) m, ce qui dépasse les \(2\text{ }100\) m parcourus.

Autre méthode possible : convertir directement \(7\) km/h en mètres par minute (environ \(116\text{,}67\) m/min) puis multiplier par 18 min.

5.b

Corrigé

Distance parcourue en 18 min à \(7\) km/h : \(7 \times \dfrac{18}{60} = 2\text{,}1\) km \(= 2\text{ }100\) m.

Nombre de tours complets : \(2\text{ }100 \div 309 \approx 6\text{,}8\), donc 6 tours complets, soit \(6 \times 309 = 1\text{ }854\) m.

Distance restante : \(2\text{ }100 - 1\text{ }854 = 246\) m.

Longueurs cumulées depuis A :
A → F : 30 m, F → E : 80 m, E → D : 30 m, donc \(30+80+30 = 140\) m jusqu’à D.
Le demi-cercle mesure \(\dfrac{50\pi}{2} = 25\pi \approx 78\text{,}5\) m, donc C est atteint à environ \(140+78\text{,}5 = 218\text{,}5\) m.
Puis B est atteint à \(218\text{,}5 + 40 = 258\text{,}5\) m.

Comme \(218\text{,}5 < 246 < 258\text{,}5\), S est sur le segment [CB], à \(246 - 218\text{,}5 \approx 27\text{,}5\) m de C.

Sur le plan à l’échelle \(1/800\), 1 cm représente 8 m, donc \(27\text{,}5 \div 8 \approx 3\text{,}4\) cm.

Conclusion : on place S sur le segment [CB] du plan, à environ \(3\text{,}4\) cm de C.

Pour comprendre en détail

Pourquoi cette méthode ? Le nombre de tours complets ne suffit pas : il faut localiser la position exacte après la distance restante. On utilise donc les distances cumulées le long du parcours dans le sens de course (A→F→E→D→demi-cercle→C→B→A).

On peut aussi remarquer que \(7\) km/h équivaut à \(\dfrac{7000}{60} \approx 116\text{,}7\) m/min, donc \(18 \times 116\text{,}7 \approx 2\text{ }100\) m, ce qui donne le même résultat.

6.a

Corrigé

La moyenne \(m\) est donnée par :

\(m = \dfrac{2 \times 52 + 3 \times 52 + 4 \times 78 + 5 \times 65 + 6 \times 39 + 7 \times 26 + 8 \times 13}{52 + 52 + 78 + 65 + 39 + 26 + 13}\)

\(m = \dfrac{104 + 156 + 312 + 325 + 234 + 182 + 104}{325}\)

\(m = \dfrac{1\text{ }417}{325} \approx 4\text{,}36\)

Le nombre moyen de tours complets effectués est environ \(4\text{,}36\) tours.

Pour comprendre en détail

6.b

Corrigé

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du caractère.

Ici, la valeur maximale est 8 tours et la valeur minimale est 2 tours.

\( \text{Étendue} = 8 - 2 = 6 \) tours.

Pour comprendre en détail

L’étendue s’exprime dans la même unité que le caractère, donc en tours.

6.c

Corrigé

L’effectif total est \(52+52+78+65+39+26+13 = 325\). \(325\) est impair, donc la médiane est la valeur classée au rang \(\dfrac{325+1}{2} = 163\). Effectifs cumulés croissants :

• 2 tours : 52 élèves ;
• 3 tours : \(52+52=104\) élèves ;
• 4 tours : \(104+78=182\) élèves.

La 163e valeur se situe donc dans la modalité « 4 tours ». La médiane de cette série statistique est \(4\) tours.

Pour comprendre en détail

6.d

Corrigé

La médiane est 4 tours. Cela signifie qu’au moins la moitié des élèves ont effectué 4 tours ou moins, et qu’au moins la moitié des élèves ont effectué 4 tours ou plus.

Pour comprendre en détail

6.e

Corrigé

Effectif total : \(N=325\).

Effectifs cumulés croissants : 52 ; 104 ; 182 ; 247 ; 286 ; 312 ; 325.

Pour le premier quartile \(Q_1\), on cherche la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
\(\dfrac{1}{4}N = \dfrac{325}{4} = 81\text{,}25\), donc on vise le rang 82.
D’après les effectifs cumulés, la 82^e valeur est 3 tours, donc \(Q_1 = 3\).

Pour le troisième quartile \(Q_3\), on cherche la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.
\(\dfrac{3}{4}N = \dfrac{3 \times 325}{4} = 243\text{,}75\), donc on vise le rang 244.
D’après les effectifs cumulés, la 244^e valeur est 5 tours, donc \(Q_3 = 5\).

Le premier quartile est 3 tours et le troisième quartile est 5 tours.

Pour comprendre en détail

6.f

Corrigé

Les élèves ayant effectué au moins \(4\) tours sont ceux qui ont effectué \(4\), \(5\), \(6\), \(7\) ou \(8\) tours.

Leur nombre est : \(78+65+39+26+13=221\).

Sur un total de \(325\) élèves, la proportion est \(\dfrac{221}{325}=0\text{,}68\).

Le pourcentage demandé est donc \(0\text{,}68 \times 100 = 68\,\%\).

Ainsi, \(68\,\%\) des élèves ont réussi à faire au moins \(4\) tours.

Pour comprendre en détail

• L'effectif total du tableau est bien \(52+52+78+65+39+26+13=325\), ce qui confirme que la proportion est calculée sur le bon total.
• Autre méthode : on peut calculer le pourcentage des élèves ayant fait moins de \(4\) tours et le soustraire à \(100\,\%\) ; on aboutit au même résultat.

1

Corrigé

Non, un quadrilatère qui possède deux angles droits n’est pas nécessairement un rectangle.

Contre-exemple : un trapèze rectangle possède deux angles droits adjacents (par exemple \(\widehat{A}\) et \(\widehat{D}\)), mais ses deux autres angles ne sont pas droits.

Or, d’après la définition, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.

Un quadrilatère avec seulement deux angles droits ne vérifie donc pas toujours la définition du rectangle.

Pour comprendre en détail

On peut aussi raisonner avec la somme des angles d’un quadrilatère : \(360^\circ\). Si deux angles sont droits, les deux autres ont une somme de \(180^\circ\), mais ils peuvent être par exemple \(80^\circ\) et \(100^\circ\), donc non droits.

2.a

Corrigé

La réponse de l’élève A ne peut pas être admise comme définition mathématique du rectangle car la propriété « les côtés opposés sont de même longueur » n’est pas suffisante pour garantir que le quadrilatère est un rectangle. En effet, tout parallélogramme vérifie cette propriété : ses côtés opposés sont de même longueur. Or un parallélogramme peut ne pas avoir d’angle droit (par exemple un losange non carré) ; il n’est alors pas un rectangle. La condition est donc nécessaire mais non suffisante.

Pour comprendre en détail

Ici, la propriété de l’élève A est vraie pour tout rectangle (condition nécessaire), mais elle est aussi vraie pour d’autres quadrilatères comme les parallélogrammes non rectangles ou les losanges. Pour prouver qu’une propriété n’est pas une définition, il suffit de produire un contre-exemple à la réciproque : un quadrilatère ayant ses côtés opposés de même longueur qui n’est pas un rectangle.

On peut remarquer que pour obtenir une définition correcte, il faudrait ajouter une condition sur les angles, par exemple « un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur et qui possède un angle droit » (ce qui définit bien un rectangle).

2.b

Corrigé

La propriété « avoir des diagonales de même longueur » est vraie pour tout rectangle, mais elle est aussi vérifiée par d’autres quadrilatères. Par exemple, un trapèze isocèle non rectangle possède des diagonales de même longueur sans être un rectangle. Cette condition est donc nécessaire mais pas suffisante : la réponse de l’élève B ne peut pas être admise comme définition mathématique du rectangle.

Pour comprendre en détail

Pour invalider une définition, un seul contre-exemple suffit. Le trapèze isocèle est le contre-exemple le plus simple : ses deux côtés non parallèles sont égaux, ce qui entraîne l’égalité des diagonales, mais ses angles ne sont pas droits. Une confusion classique est de prendre une propriété vraie pour les rectangles (condition nécessaire) et de la croire suffisante pour définir le rectangle.

3

Corrigé

Un rectangle est un parallélogramme. Si ses diagonales sont perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange. Or un losange qui possède quatre angles droits est un carré. Donc un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré.

Pour comprendre en détail

Une autre façon de formuler la propriété : un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré. Ce raisonnement utilise deux caractérisations : les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, et réciproquement un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

4

Corrigé

Le codage indique que les quatre côtés du quadrilatère ABCD ont la même longueur : \(AB = BC = CD = DA\).

Or, un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur est un losange. Le quadrilatère ABCD est donc un losange.

De plus, aucun angle droit n’est codé sur la figure : on ne peut donc pas affirmer que ce quadrilatère est un carré.

Pour comprendre en détail

1

Corrigé

Pour \(a = 2\), on a :

• \(b = 2 \times 2 + 5 = 9\) ;
• \(c = 5 \times 2 - 4 = 6\) ;
• \(d = b \times c = 9 \times 6 = 54\).

Le programme A retourne donc \(54\).

Pour comprendre en détail

Autre méthode : calculer directement \((2 \times 2 + 5)(5 \times 2 - 4) = 9 \times 6 = 54\).

2

Corrigé

Pour \(a=1\text{,}15\) :

\(b = 2 \times 1\text{,}15 +5 = 2\text{,}3+5 = 7\text{,}3\).

\(c = 5 \times 1\text{,}15 -4 = 5\text{,}75-4 = 1\text{,}75\).

\(d = b \times c = 7\text{,}3 \times 1\text{,}75 = 12\text{,}775\).

Le programme A retourne \(12\text{,}775\).

Pour comprendre en détail

Les calculs intermédiaires utilisent la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction. Une erreur fréquente est d’écrire \(2 \times 1\text{,}15 = 2\text{,}15\) au lieu de \(2\text{,}3\) ; on peut poser la multiplication pour sécuriser les calculs décimaux.

3

Corrigé

Le programme A affiche \(d=(2a+5)(5a-4)\).

On cherche \(a\) tel que \(d=0\), c'est-à-dire \((2a+5)(5a-4)=0\).

D'après la propriété du produit nul, cela équivaut à \(2a+5=0\) ou \(5a-4=0\).

• \(2a+5=0\) donne \(2a=-5\), donc \(a=\dfrac{-5}{2}=-2\text{,}5\) ;
• \(5a-4=0\) donne \(5a=4\), donc \(a=\dfrac{4}{5}=0\text{,}8\).

Le programme A retourne \(0\) pour les nombres \(-2\text{,}5\) et \(0\text{,}8\).

Pour comprendre en détail

Le programme A calcule \(d=(2a+5)\times(5a-4)\). Pour trouver les nombres qui rendent ce produit nul, on utilise la propriété du produit nul.

On peut vérifier les résultats en remplaçant : pour \(a=-2\text{,}5\), \(2a+5=0\) ; pour \(a=0\text{,}8\), \(5a-4=0\). Le produit est alors nul dans les deux cas. Développer l'expression serait possible mais moins efficace.

4.a

Corrigé

Le programme B correspond au calcul :

\((2 \times 3 + 5)^2 = (6 + 5)^2 = 11^2 = 121\).

Le programme B retourne donc \(121\).

Pour comprendre en détail

Le programme B traduit l’expression \((2x+5)^2\) : on multiplie par \(2\), on ajoute \(5\), puis on met le tout au carré.

4.b

Corrigé

Programme B avec \( \dfrac34 \) :

• Double de \( \dfrac34 \) : \(2 \times \dfrac34 = \dfrac64 = \dfrac32\).
• Ajouter 5 : \( \dfrac32 + 5 = \dfrac32 + \dfrac{10}{2} = \dfrac{13}{2}\).
• Carré du résultat : \( \left( \dfrac{13}{2} \right)^2 = \dfrac{169}{4} = 42\text{,}25\).

Le programme B retourne \( \dfrac{169}{4} \), soit \(42\text{,}25\).

Pour comprendre en détail

5.a

Corrigé

Le nombre de départ \(3\) est dans la colonne D car, sur la ligne 1 : A1 = \(0\), B1 = \(1\), C1 = \(2\), D1 = \(3\). Le résultat du programme B pour \(3\) se lit donc sur la ligne 2 de cette même colonne, c’est-à-dire en D2. La cellule cherchée est D2.

Pour comprendre en détail

Le tableau est présenté sans les lettres de colonnes : le premier « 1 » de la première ligne est le numéro de ligne, pas une donnée. Dans un tableur, une cellule est repérée par sa colonne (lettre) puis sa ligne (nombre).

5.b

Corrigé

En A2, on peut saisir : =(2*A1+5)^2.
A1 contient le nombre de départ ; en copiant vers la droite, la formule s’adaptera en =(2*B1+5)^2, =(2*C1+5)^2, etc., ce qui correspond au programme B.

Pour comprendre en détail

Une autre formule possible est =PUISSANCE(2*A1+5;2) selon le tableur (séparateur d’argument « ; » en version française).

6.a

Corrigé

Soit \(x\) le nombre choisi. Le programme B calcule \((2x+5)^2\).

On cherche \(x\) tel que \((2x+5)^2=0\).

Or, un carré est nul si et seulement si l’expression élevée au carré est nulle. Donc :

\(2x+5=0\)

\(2x=-5\)

\(x=-\dfrac{5}{2}=-2\text{,}5\).

Le programme B retourne \(0\) pour le nombre de départ \(-2\text{,}5\).

Pour comprendre en détail

Le programme B construit d’abord l’expression \(2x+5\) puis l’élève au carré. L’équation \((2x+5)^2=0\) se résout donc directement en annulant \(2x+5\).

On peut vérifier en remplaçant la valeur trouvée dans \(2x+5\) : on doit obtenir \(0\), ce qui donne bien \(0^2=0\).

6.b

Corrigé

Le nombre de départ trouvé à la question 6.a est \(-2\text{,}5\).

Or \(-2\text{,}5 = -\dfrac{5}{2}\), où \(-5\) et \(2\) sont des entiers relatifs, avec \(2 \neq 0\).

Donc \(-2\text{,}5\) est le quotient de deux entiers : c’est un nombre rationnel.

Conclusion : oui, ce nombre de départ est rationnel.

Pour comprendre en détail

6.c

Corrigé

Le nombre de départ trouvé à la question 6.a est \(-2\text{,}5\). Or, \(-2\text{,}5 = -\dfrac{25}{10}\), qui est une fraction décimale. Par définition, un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale. Donc \(-2\text{,}5\) est un nombre décimal.

Pour comprendre en détail

7

Corrigé

Pour un nombre de départ \(x\) :

Programme A : \((2x+5)(5x-4)\).

Programme B : \((2x+5)^2\).

On cherche \(x\) tel que :

\((2x+5)(5x-4) = (2x+5)^2\)

\((2x+5)(5x-4) - (2x+5)^2 = 0\)

\((2x+5)\big[(5x-4) - (2x+5)\big] = 0\)

\((2x+5)(5x-4-2x-5) = 0\)

\((2x+5)(3x-9) = 0\)

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

• \(2x+5 = 0\) donc \(2x = -5\) donc \(x = -\dfrac{5}{2} = -2\text{,}5\) ;
• \(3x-9 = 0\) donc \(3x = 9\) donc \(x = 3\).

Conclusion : les nombres de départ cherchés sont \(-2\text{,}5\) et \(3\).

Pour comprendre en détail

Une autre méthode consisterait à développer puis factoriser, mais la factorisation directe est plus simple et évite les calculs inutiles.

1.a

Corrigé

La grille comporte \(8 \times 8 = 64\) cases. Les quatre bateaux occupent \(2 + 3 + 3 + 4 = 12\) cases. Le choix d’une case étant équiprobable, la probabilité de toucher un bateau au premier essai est \(\dfrac{12}{64} = \dfrac{3}{16}\).

La probabilité cherchée est donc \(\dfrac{3}{16}\).

Pour comprendre en détail

En situation d’équiprobabilité, on divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

On peut vérifier sur la grille que les 12 cases grisées sont bien les seules issues favorables. La fraction a été simplifiée par 4 : \(\dfrac{12}{64}=\dfrac{3}{16}\).

1.b

Corrigé

La grille comporte \(8 \times 8 = 64\) cases.

Les navires occupent \(2 + 3 + 3 + 4 = 12\) cases, donc la probabilité de toucher un bateau au premier essai est \(\dfrac{12}{64} = \dfrac{3}{16}\).

L’événement « ne toucher aucun bateau » est l’événement contraire de « toucher un bateau ».

Sa probabilité est donc :

\[1 - \dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}\]

La probabilité que Jeanne ne touche aucun bateau au premier essai est \(\dfrac{13}{16}\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi compter directement les cases vides : \(64 - 12 = 52\), d’où une probabilité de \(\dfrac{52}{64} = \dfrac{13}{16}\).

1.c

Corrigé

La grille comporte \(8 \times 8 = 64\) cases.
Notons \(n\) le nombre de cases du bateau cherché.
Au premier essai, les choix étant équiprobables, la probabilité de toucher ce bateau est \(\frac{n}{64}\).

On veut \(\frac{n}{64} = \frac{1}{16}\).

Or \(\frac{1}{16} = \frac{4}{64}\), donc \(n = 4\).

Le bateau qui a une chance sur seize d’être touché est composé de 4 cases.

Pour comprendre en détail

La probabilité s’obtient en comparant le nombre de cases du bateau au nombre total de cases de la grille. Il faut donc exprimer \(\frac{1}{16}\) avec un dénominateur égal à \(64\) pour retrouver le nombre de cases.

1.d

Corrigé

La colonne B comporte 8 cases. Les cases occupées par un bateau dans cette colonne sont B4, B6, B7 et B8, soit 4 cases au total. Chaque case de la colonne B étant choisie de façon équiprobable, la probabilité de toucher un bateau est donc :

\(\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).

Jeanne a donc une chance sur deux de toucher un bateau en choisissant une case de la colonne B.

Pour comprendre en détail

On restreint ici l’expérience aléatoire aux 8 cases de la colonne B, toutes équiprobables. La probabilité se calcule donc comme le quotient du nombre de cases occupées par le nombre total de cases de cette colonne.

2

Corrigé

La case E1 est située sur le bord supérieur de la grille. Ses cases adjacentes par un côté sont donc D1, F1 et E2, soit 3 cases possibles équiprobables.

D’après la grille, le navire touché en E1 occupe les cases E1 et F1. Pour le couler au coup suivant, Jeanne doit toucher la case F1.

Il y a donc 1 issue favorable sur 3 issues possibles, d’où une probabilité de \( \dfrac{1}{3} \).

Pour comprendre en détail

3

Corrigé

La grille comporte \(8 \times 8 = 64\) cases.

Deux cases vides ont déjà été annoncées, il reste donc \(64 - 2 = 62\) cases possibles.

Les navires occupent \(2 + 3 + 3 + 4 = 12\) cases, toutes encore non énoncées puisque les deux premiers tirs étaient « À l'eau ! ».

La probabilité de toucher un bateau au troisième essai est donc \(\dfrac{12}{62} = \dfrac{6}{31}\).

La probabilité demandée est \(\dfrac{6}{31}\).

Pour comprendre en détail

Les deux essais « À l'eau ! » indiquent que les deux cases annoncées étaient vides : elles ne peuvent plus être choisies, mais les cases des bateaux restent toutes présentes dans l'ensemble des choix possibles.

L'erreur classique serait de conserver le dénominateur à \(64\), ou au contraire de retirer aussi des cases de bateaux. Ici, seules des cases vides sont éliminées, ce qui augmente légèrement la probabilité de toucher un bateau par rapport au premier essai.

1

Corrigé

On applique la formule \(C=(F-32)\times\dfrac{5}{9}\) avec \(F=95\).

\(C=(95-32)\times\dfrac{5}{9}=63\times\dfrac{5}{9}=35\).

Donc \(95\,°\text{F}\) correspond à \(35\,°\text{C}\).

Pour comprendre en détail

On peut simplifier \(63\) et \(9\) par \(9\), ce qui donne \(7\times5\), pour éviter de calculer \(63\times5\) puis de diviser par \(9\).

Une vérification possible : repasser en degrés Fahrenheit avec la formule réciproque \(F=\dfrac{9}{5}C+32\) et constater qu’on retrouve \(95\).

2

Corrigé

On remplace \(C\) par \(5\) :

\(5=(F-32)\times \dfrac{5}{9}\).

En multipliant les deux membres par \(\dfrac{9}{5}\) :

\(5 \times \dfrac{9}{5}=F-32\), soit \(9=F-32\).

En ajoutant \(32\) aux deux membres :

\(F=9+32=41\).

Donc \(5\,^\circ\text{C}\) correspond à \(41\,^\circ\text{F}\).

Pour comprendre en détail

La formule donne \(C\) en fonction de \(F\). Pour retrouver \(F\), on applique les opérations inverses dans l’ordre inverse de celui de la formule : \(F\) est d’abord diminué de \(32\), puis multiplié par \(\dfrac{5}{9}\) ; on multiplie donc d’abord par \(\dfrac{9}{5}\), puis on ajoute \(32\).

Autre méthode : à partir de \(C=(F-32)\times \dfrac{5}{9}\), on peut établir la formule inverse \(F=\dfrac{9}{5}C+32\), puis remplacer \(C\) par \(5\).

3

Corrigé

On cherche \(F\) tel que \(C=F\).

En remplaçant \(C\) par \(F\) dans la formule \(C=(F-32)\times\dfrac{5}{9}\), on obtient :

\[F=(F-32)\times\dfrac{5}{9}\]

En multipliant chaque membre par 9 :

\[9F=5(F-32)\]

\[9F=5F-160\]

\[9F-5F=-160\]

\[4F=-160\]

\[F=-40\]

Vérification : si \(F=-40\), alors \(C=(-40-32)\times\dfrac{5}{9}=(-72)\times\dfrac{5}{9}=-40\).

Conclusion : il existe une seule température pour laquelle les deux mesures sont égales : \(-40\,°\text{C} = -40\,°\text{F}\).

Pour comprendre en détail

Une autre méthode possible consiste à exprimer \(F\) en fonction de \(C\), puis à résoudre \(F=C\), mais l’équation obtenue serait équivalente et mènerait à la même solution.

1

Corrigé

Pour \(6\), on lève \(1\) doigt : il reste \(4\) doigts baissés.
Pour \(8\), on lève \(3\) doigts : il reste \(2\) doigts baissés.
La somme des doigts levés donne \(1+3=4\) dizaines.
Le produit des doigts baissés donne \(4\times2=8\) unités.
On obtient donc \(4\) dizaines et \(8\) unités, soit \(48\).
Ainsi, \(6\times8=48\).

Pour comprendre en détail

2.a

Corrigé

Comme chaque main possède 5 doigts, \(5-g\) représente le nombre de doigts baissés de la main gauche et \(5-d\) représente le nombre de doigts baissés de la main droite.

Pour comprendre en détail

Ces deux nombres sont les compléments à 5 du nombre de doigts levés de chaque main. Dans cette règle, les orteils ne sont pas utilisés pour le calcul : ils servent uniquement à représenter la partie « 5 » des nombres, car ils sont toujours levés. La question prépare le calcul des unités, dans lequel on multipliera justement ces nombres de doigts baissés.

2.b

Corrigé

Développons le membre de gauche :

\((5+g)(5+d)=25+5d+5g+gd\).

Développons le membre de droite :

\(10(g+d)+(5-g)(5-d)=10g+10d+(25-5d-5g+gd)\)
\(=25+5g+5d+gd\).

Les deux membres sont donc égaux : \((5+g)(5+d)=10(g+d)+(5-g)(5-d)\).

Pour comprendre en détail

Cette égalité montre pourquoi la règle digitale fonctionne : le membre de gauche est le produit cherché, le membre de droite traduit le nombre de dizaines \(g+d\) et les unités \((5-g)(5-d)\).

2.c

Corrigé

Les nombres multipliés sont \(5+g\) et \(5+d\), avec \(g\) et \(d\) entiers compris entre \(0\) et \(5\) ; ce sont donc bien des entiers de \(5\) à \(10\).

D’après la question 2.b, on a : \((5+g)(5+d)=10(g+d)+(5-g)(5-d)\).

Dans cette égalité, \(g+d\) est la somme des doigts levés, donc \(10(g+d)\) représente des dizaines ; \((5-g)(5-d)\) est le produit des doigts baissés, donc des unités. L’égalité étant vraie pour toutes les valeurs entières de \(g\) et \(d\) comprises entre \(0\) et \(5\), la règle de calcul est valide pour tout produit de deux entiers compris entre \(5\) et \(10\), quitte à convertir les unités en dizaines lorsque le produit des doigts baissés dépasse \(9\).

Pour comprendre en détail

L’égalité de la question 2.b démontre la règle pour tous les couples possibles de doigts levés, et pas seulement sur un exemple.

La restriction \(0 \le g \le 5\) et \(0 \le d \le 5\) est essentielle : chaque main lève entre \(0\) et \(5\) doigts, les cinq orteils étant toujours levés pour représenter le nombre de départ.